3.2.1函数的单调性教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 

函数的单调性《教学设计》

【教学目标】

1 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】  函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算【教学方法】启发引导与自主探究讨论相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学

【教学过程】

Ⅰ.创设情境，引入课题

我从生活中的几句话引入课题。通过引导学生观察图象，数形结合，以进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数 y = x + 1 ，y = x 2  图象，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图想上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。

Ⅱ.讲授新课，探索新知

一、增、减函数的图象刻画

在函数定义域的某个子区间上，如果从左向右看：图象一直上升,增函数；从左向右看：图象一直下降，减函数。

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．完成对函数单调性的第一次认识．

 

 

 

【设计意图】为了说明单调性是函数的局部性质。

 

问题 1：用函数的图象表示函数有什么缺点（ 目的是为了说明图象刻画单调性不能作为定义）？

问题 2：思考:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x 从小到大依次取值时，函数值 y 的变化情况如何？

 

分别列表作出函数y = x + 1, y = x2  x ≥ 0 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

答：函数y = x + 1在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数y = x 2 在[0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大。

三、从变化趋势刻画函数的单调性

问题 3：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数f(x) 在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x) 在该区间上为增函数；

如果函数f(x) 在某个区间上随自变量 x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x) 在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

问题 4:从变化趋势的角度刻画函数的单调性，解决了图象法的缺点了么（ 目的是为了说明变化趋势也不能作为单调性的定义）？

三、增、减函数的定义

问题 5：如何从解析式的角度说明 f(x) = x 2 在[0,+∞) 为增函数？

(1)  在给定区间内取两个数，例如 1 和 2，因为 12<22,所以f(x) = x 2 在[0,+∞)为增函数．

(2)  仿(1) ，取很多组验证均满足，所以f(x) = x 2 在[0,+∞) 为增函数．

(3)  任取 x1, x2   ∈ [0,+∞), 且x1  < x2  , 都有 f(x1 ) < f(x2 ) ，所以 f(x) = x 2  在[0,+∞) 为增函数．

说明：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1 , x2 ．

问题6：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

(1)板书定义

(2)巩固概念

思考：（1）对于函数 y= f(x) ，若在区间 D上，当 x＝1, 2, 3, 4, 时, 相应