第一章 直角三角形的边角关系【章末复习】课件 --2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了直角三角形边角关系的核心内容，涵盖锐角三角函数概念、特殊角值、解直角三角形依据及应用，通过表格归纳特殊角三角函数值，分步解析测高、方向角等实际问题，构建“概念-计算-应用”的知识网络。 其亮点在于设计“基础计算-实际应用-中考链接”的分层练习，如通过测量东方明珠高度的探究活动，培养学生用数学眼光分析现实问题的能力，结合计算器操作、综合应用题训练数学思维，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 章末复习 第一章 直角三角形的边角关系 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 锐角三角函数 知识梳理 三角函数基本概念 特殊角 三角函数 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C=90° 解直角三角形的应用 一、锐角三角函数 1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°， a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． (1) ∠A的正弦：sinA＝　　　　　　　　＝　　　； (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　. 2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系： tanA 的值越大，梯子越陡; sinA 的值越大，梯子越陡; cosA 的值越小，梯子越陡. 3. 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 30°，45°，60°角的三角函数值 二、特殊角的三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 三角 函数 锐角 a 1. 解直角三角形的依据 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． 三边关系：　 　； 三角关系：　 ； 边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ， tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 三、解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素． 解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 1. 利用计算器求三角函数值． 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. （有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 四、锐角三角函数的计算 第一步：按计算器 、 、 键， 2. 利用计算器求锐角的度数． 第二步：然后输入函数值 屏幕显示答案（按实际需要进行精确） 第一步：按计算器 、 、 键， 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 1.仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 五、三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 2.方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 α l h h : l （1）坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . （2）坡度（或坡比） 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —. h l （3）坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 3. 坡角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． M N A α C E l a 1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α ； 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； 3. 量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN 的高度. MN = ME + EN = l·tanα + a 1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 六、利用三角函数测高 2. 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ M N 1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α. A α C E 2. 在测点 A 与物体之间 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β. B D β 3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b. a b 根据测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？ M N A α C E B D β a b CD = AB = CE－DE = =b ∴MN = + a ∴ME = 1. 计算: （1）sin 45°－cos 60°+tan 60° ; （2）cos2 30°+ sin2 30°－tan 45° （3）sin 30°－tan 30°+ cos 45°. 随堂练习 随堂练习 2．用计算器求下列各式的值： （1）sin 23°5'+cos 66°55′; （2）cos 14°28′－tan 42°57′; （3）sin27.8° －cos 65°37′+ tan 49°56". 随堂练习 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， a， b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）已知a =3，b=3，求∠A; （2）已知b=4，c=8，求a及∠A ; （3）已知∠A=45°，c=8，求a及b. 随堂练习 随堂练习 4. 已知∠A是锐角，cos A= ，求sin A，tan A. 随堂练习 5. 根据条件求锐角: （1）sin A =0.675，求∠A; （2）cos B=0.078 9，求∠B; （3）tan C= 35.6，求∠C. 随堂练习 6.计算: （1） ； （2）sin230°+ 2sin 60°+ tan 45°－ tan 60° + cos230° ; （3） －tan 60°. 随堂练习 随堂练习 7. 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，∠B=60°，AB=4，求AC，BC，sin A和cos A. 随堂练习 8. 举一个生活中运用三角函数解决问题的例子. 略 随堂练习 9. 如图，在 Rt△ABC中，∠C= 90°. （1）在BC边上取一点D，使得BD = DC， 则 tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ （2）在BC边上取一点D，使得BD= 2DC， 则 tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ （3）在BC边上取一点D，使得BD= nDC (n>0)，则 tan∠ABC和tan∠ADC有什么大小关系？ 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 10. 求图中避雷针CD的长度（结果精确到0.01 m). 随堂练习 11. 如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，求船与观测者之间的水平距离（结果精确到0.l m）. 随堂练习 随堂练习 12.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行 10 km至C港. （1）求A，C两港之间的距离（结果精确到0.1 km）; （2）确定C港在A港的什么方向. 随堂练习 随堂练习 13. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50°的方向，求河宽（结果精确到1m）. 随堂练习 14. 如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤． 已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角. 随堂练习 随堂练习 15.一根4m长的竹竿斜靠在墙上. （1）如果竹竿与地面成60° 角，那么竹竿下端离墙脚多远? （2）如果竹竿上端顺墙下滑到高度2.3m处停止，那么此时竹竿与地面所成锐角的度数是多少? 随堂练习 随堂练习 随堂练习 16. 如图，甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30°，乙楼有多高？（结果精确到1 m） 解：如图所示，在Rt△ABC中， BC=AB∙tan30°=30tan30°≈17.3(m)， ∴乙楼高为17.3+40≈57(m). 随堂练习 17. 如图，大楼高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC（结果精确到0.01 m）. 随堂练习 随堂练习 18. 海岛A的周围8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12 n mile后到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险? 随堂练习 随堂练习 随堂练习 19. 如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6 m，又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8 m，这样∠α就可以计算出来了.请你算一算. 随堂练习 随堂练习 20. 一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01 m2）. 随堂练习 随堂练习 21. 如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5 m，大门距主楼的距离是30 m.在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4 m. 求: （1）学校主楼的高度（结果精确到0.01 m ）; （2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到0.01 m ）. 随堂练习 随堂练习 随堂练习 22.把一条长1.35m的铁丝弯成顶角为150°的等腰三角形，求此三角形的各边长（结果精确到0.01 m ）. 随堂练习 随堂练习 随堂练习 23. 图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点. （1）求∠A0OA1，∠A1OA2，∠A2OA3的度数; （2）已知 ∠An-1OAn （n为正整数）是第一个小于20°的角，求n的值. 随堂练习 随堂练习 随堂练习 返回 A 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(　　) 中考考法 62 返回 2. 15 中考考法 返回 3. C 中考考法 返回 4. 已知β为锐角，且2cos β－1＝0，则β为(　　) A．30° B．60° C．45° D．37.5° B 中考考法 5. 中考考法 (2)sin 30°＋4cos 30° tan 60°－cos 245°. 返回 中考考法 67 返回 6. C 中考考法 7. 中考考法 中考考法 (2)tan∠CDE的值． 返回 中考考法 71 返回 8. 如图，小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度约为 ________m． 26 中考考法 9. 中考考法 73 解：过点B作BF⊥CD于点F，过点B作BH⊥AD于点H， ∴∠BFD＝∠CFB＝∠BHD＝∠AHB＝90°， 易知∠ADC＝90°， ∴四边形BHDF是矩形， ∴DF＝BH. 中考考法 返回 中考考法 eq \f(b,c) eq \f(sinA,cosA) eq \f(sinB,cosB) eq \f(a,c) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ [2025汉中期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AC＝12，则AB的长是________. 若锐角α满足tan α＝，则α的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (8分)计算： (1)cos 260°－＋tan 45°＋； 解： cos 260°－＋tan 45°＋ ＝2－＋1＋ ＝－2＋1＋－1 ＝－. sin 30°＋4cos 30° tan 60°－cos 245° ＝＋4××－2 ＝＋6－ ＝6. 题目“在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，AC＝，求∠C的度数．”对于其答案，甲答：∠C＝60°，乙答：∠C＝90°，丙答：∠C＝60°或∠C＝120°，则正确的是(　　) A．只有甲答得对 B．只有乙答得对 C．只有丙答得对 D．乙、丙合在一起才完整 (8分)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9，连接CD．求： (1)BC的长； 解：在Rt△DEA中，DE＝2， sin A＝，∴AD＝＝＝3. 又∵DB＝9，∴AB＝BD＋AD＝12. ∴在Rt△ABC中， BC＝AB×sin A＝12×＝8. 解：在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8， ∴AC＝＝4. 在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3， ∴AE＝＝. ∴CE＝AC－AE＝3.∴tan∠CDE＝＝. (结果精确到1 m，参考数据：sin 15°≈，cos 15°≈，≈3.9) (4分)某数学小组爬山时发现沿山体向上有步行道AB和观光索道BC，如图，经过测量知AB＝1 000 m，BC＝1 600 m，步行道AB的坡度i＝1∶，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°.求山顶C到地面的距离CD．(图中所有点都在同一平面内，BE∥AD，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60，结果精确到1 m) ∵步行道AB的坡度 i＝1∶，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°，∴∠CBF＝58°，＝，∴AH＝BH. ∵AH2＋BH2＝AB2，∴2＋BH2＝1 0002， ∴BH＝500 m，∴DF＝BH＝500 m. ∵＝sin∠CBF＝sin 58°，∴CF＝BCsin 58°≈1 600×0.85 ＝1 360(m)，∴CD＝CF＋DF≈1 360＋500＝1 860(m)． 即山顶C到地面的距离CD约为1 860 m. $