1.5 三角函数的应用课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系中的三角函数应用，涵盖方位角、仰角俯角、坡角坡比三类实际问题。通过货轮触礁、测量塔高、楼梯改造等情境导入，引导学生从实际问题抽象出直角三角形模型，衔接三角函数定义，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点在于以真实情境问题培养数学眼光（抽象能力、几何直观），通过构造直角三角形、建立方程发展数学思维（推理能力、运算能力），用三角函数模型表达现实问题体现数学语言（模型意识、应用意识）。含中考题及变式，助力学生掌握考点，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 1.5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的边角关系 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？ B A C 60° D 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 与方位角有关的实际问题 1 解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 设 AD = x ， 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. B A C D 25° 55° 北 东 由 BC = BD - CD，得 返回 D 1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(　　) A．35 n mile B．35cos 37° n mile C．35tan 37° n mile D．35sin 37° n mile 中考考法 4 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 归纳总结 返回 2. [教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________. 中考考法 仰角和俯角问题 2 如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高? （小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ） 想一想 解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m. Rt△ADC 中， . Rt△BDC 中， . ∴ x = ≈43 ( m ). ∴ AB = AC－BC = . 30° 60° 50 m 返回 3. 82.0 如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m． 中考考法 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 知识要点 利用坡角解决实际问题 3 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m). A D C B 40° 35° 4 m ？ A D C B 40º 35º 4 m ？ 解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m. Rt△ACD 中， ∴ AD = 4sin40°. 4. (4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 中考考法 返回 中考考法 A B C 坡角 铅直高度h 水平宽度l α 坡度或坡比 坡角越大，斜坡越陡 坡度越大，斜坡越陡 知识要点 5. [教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________. 返回 中考考法 返回 6. 30° 8 中考考法 返回 7. [2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54) 44 m 中考考法 返回 8. 如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m. 中考考法 19 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 10n mile (精确到0.1 m，参考数据： ≈1.414，≈1.732) 解：过点N作NE⊥CD于点E，NF⊥AB于点F， 则MN＝CE＝AF＝1 m，∠DNE＝42°，∠BNF＝53°， 易知EF＝AC＝50 m，∵CD＝19 m，∴DE＝19－1＝18(m)． 在Rt△DEN中，NE＝≈20 m， ∴FN＝EF－NE≈50－20＝30(m)， 在Rt△BFN中，BF＝FN·tan 53°≈39.9 m， ∴AB＝BF＋AF≈39.9＋1＝40.9(m)， 即公寓楼AB的高度约为40.9 m. 4 m 如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为4 m，且坡面BC的坡度为1∶1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1∶，则新坡面AC的坡角为________，AC的长为________m. (4－2) $