1.5　三角函数的应用 教案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

5三角函数的应用 一、 新课导入建议与示例 ●情景导入历史上的海难事件非常多，最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没.在统计所含的 75起海难中，遇难人数超过1000人的共有18起.同学们.怎样扌能利用我们所学的知识来避免这样的灾难 呢？本节课我们一起来探讨这个问题. 【教学与建议】教学：通过盘点海难的文章与图片.使学生自然产生规避危险的想法.教师顺势导入新课.建 议：让学生发表感想.帮助学生建立直观印象 ●复习导入提问：前几节课.我们已经学习了哪些知识？ 第一节主要学习了三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°.∠A.∠B.∠C的对边分别是a,b.c, 则有 sinA=LA的对边斜边=ac:cosA=LA的邻边斜边=bc:tanA=LA的对边LA的邻边=ab. 第二节主要学习了特殊角的三角函数值及其简单应用： sin30°=12.c0s30°=3)2.tan30°=3)3： sin45°=2)2.cos45°=2)2.tan45°=1： sin60°=3)2，c0s60°=12.tan60°=3. 第三节主要学习了利用计算器求任意角的三角函数值及其简单应用， 第四节主要学习了解直角三角形及其简单应用. 提问：这是我们前面学过的比较简单的三角函数的应用，那么对干比较复杂的解决三角函数的问题，我们应 该怎么解呢？比如倾斜角、仰角、俯角、方位角等问题. 【教学与建议】教学：复习了上节课的重点知识.以便更好地利用旧知识解决新问题建议：可以让学生积 极回顾，互相补充。 二、命题热点分析与示例 *命题角度1利用三角函数解决“双直角三角形”类型的问题 借助三角函数表示同一直线上的两条线段，然后利用线段和或差解决问题 【例1】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图， 在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为《，大桥主架的顶端D的仰角为B.已知测量点与大桥主 架的水平距离AB=a.则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(C) A.a sin a+a sin BB.a cos a+a cos B C.a tan a+a tan B D.atan a+atan B (例1题图) (例2题图) 【例2】如图是鼎立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4m,AB=8m, ∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD约为-2.9m.(结果精确到0.1m,参考数据：2≈1.41.3 ≈1.73) *命题角度2利用三角函数解决坡度问题 解决坡度问题，关键是明确坡度是坡角的正切，利用坡度得到线段的比，构造直角三角形.利用锐角三角函 数，勾股定理等知识.解决问题 【例3】某堤的横断面如图.堤高BC是5m,迎水斜坡AB的长是13m,那么斜坡AB的坡度是(C) A.1:3B.1:2.6 C.1:2.4D.1:2 【例4】讯期即将来临.为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200m且横断面为梯形的大 坝用土石进行加固.如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高0.3，斜坡AB 的坡度i=1:1:加固后，坝顶宽度增加2m,斜坡EF的坡度=1：5.问工程完工后，共需土石多少立方米？（计 算士石方时忽略阶梯.结果保留根号) 解：过A作AHLBC干H,过E作EG⊥BC干G.则四边形EGHA是矩形 :.EG=AH.GH=AE=2 m. ,斜坡AB的坡度i=1:1.,AH=BH=30×0.3=9(m,BG=BH-HG=7(m). 斜坡EF的坡度i=1:5.∴FG=95m. ∴.BF=FG-BG=95-7(m). 5梯形4srE=12X2+95-7)×9=5)-452(m2).∴.共需土石5)-452×200=900(95-5)(m3). *命题角度3解直角三角形的应用一一方位角问题 在解决有关方位角的问题时，首先应正确的画出方位角，并能用图中的线段或角来表示题目中所给的量，最 后再结合三角函数来计算. 东 【例5】如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400m的A处有一艘船向正东方向航行，航 行一段时间后到达哨所北偏东60°的方向的B处.则此时这艘船与啃所的距离OB约为-566_m.(精确到1m, 参考数据：2≈1.414.3≈1.732) 【例6】如图，海上有座灯塔P.在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东 航行.行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°.继续航行10min后到达B处，又测得P在它的东北方向.若 客轮不改变方向，有无触礁危险？ 光 60° 45 D东 解：作PD⊥AB干D.在Rt△PAD中，LPAD=30°.在Rt△PBD中，∠PBD=45°，故设PD=X,则BD =PD=x,AD=3x.由