二项式定理讲义-2026届高三数学一轮复习

专题11.2 二项式定理

 

 

1．二项式定理

(1)  二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can-kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

(2)  通项公式：Tk＋1＝Can-kbk，它表示第k＋1项．

(3)  二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．

2．二项式系数有关的性质

①  二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

②  若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，

奇数项系数和为，

偶数项系数之和为．

【重要提醒】

解决与二项式定理有关问题的五个关注点:

(1)  Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．

(2)  Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．

(3)    公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置．

(4)    二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．

(5)    二项式系数最大项与展开式系数最大项不同．

教材改编

1. 【人教A版选择性必修三P34 习题6.3 T2】的展开式中，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 【人教A版选择性必修三P35 习题6.3 T8】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则的展开式中常数项为          用数字作答

 

 

 

 

 

【方法储备】

【典例精讲】

例1. (2025·安徽省·月考试卷)的展开式中，的系数为          用数字作答

例2.(2025·安徽省·模拟题)的展开式中，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

1. 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：

①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can-rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；

②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；

③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．

2. 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤

①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；

②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；

③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．

3. 形如的展开式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解，或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解.

【拓展提升】

练1-1 (2025·河南省南阳市·模拟题)的展开式中常数项为(    )

1.  B.  C.  D.

练1-2(2025·河北省·单元测试)设，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

练1-3 (2025·内蒙古自治区鄂尔多斯市·期末考试)二项式的展开式中的常数项为          ．

【典例精讲】

例3. (2025·辽宁省沈阳市月考) 的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为          

例4. (2025·安徽省马鞍山市期末)若其中为非零实数展开式中的各项系数之和为，则展开式中常数项为(    )