四川省巴中市南江中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

高二（上）1月月考参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 A C D B B D ABC ABD AC 11.【详解】对于A,AD/BC,所以异面直线CM与BC,所成角即为直线CM与AD所成角， 当M运动到D点或A点时，异面直线CM与BC,所成角最小死，当M运动到线段AD,中 3 点时，异面直线CM与BC,所成角最大？，故A正确， 对于B,如图，连接BM,P2,AC,AM,CB,AB, 设M(a,0,c),B(2,2,2),则BM=(a-2,-2,c-2), 而PO=1,0,-1),因为B,M⊥P2,所以B,M.PO=0, 得到a-2-(c-2)=0,解得a=c,故M(a,0,a), 在正方体ABCD-ABCD中，由勾股定理得AC=CB=AB=2√2， 则△AC是等边三角形，得到2ABC-于 故se=25x2x5-25, 2 且A(2,0,0),AC=（←2,2,0)，AB1=(0,2,2)，AM=(a-2,0,a), 设面ABC的法向量为=（化，y,=)，则ACm=0, 得到-2x+2y=0,而ABm=0,则2y+2=0, 令=1，解得=1，三=-1，故m=(1,1,-1), 设点M到面AB,C的距离为d, a-2-a 则由点到平面的距离公式得d= 2 V1+12+(-1)23 D 故a25x3子 x店放B错误， B 对于C,如图，以D为原点建立空间直角坐标系，连接 PO,PM,OM,AG, EM:3 D 因为正方体ABCD-AB,CD的棱长为2， 所以A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,0),C(0,2,0),设M(x,0,-) 因为P,2分别是棱CC,BC的中点，所以P(0,2,1),Q1,2,0), 则AC1=(-2,2,0),P0=1,0,-1),PM=(x,-2,=。-), 设面POM的法向量为n=(xy,),则Pgn=0,得到x-z=0, 而PMn=0,得到xox-2y+(。-1上=0， 令=1，解得=1，y+宁片散=0+片号 2.20, 因为AC,∥平面POM,所以AC·n=0, 得到2+2，+分白=0，即2++1=0， 2 化简得x。+。=3,则点M的轨迹是直线x+二=3，在面ADDA内， 由题意得xe[0,2],∈[0,2]，当z=2时，x=1, 当x=2时，z=1,得到轨迹是点E(2,0,1)和点F(1,0,2)构成的线段，由两点间距离公式得 EF=V(2-1)2+1-2)2=√2， 即此时点M的轨迹长度为√2，故C正确， B 对于D,由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心， O. 如图，我们把球心记为O,且连接O2, M 由外接球性质得O(1,1,1),外接球半径为 D R=2+2+2=5, 2 由两点间距离公式得00=√(2-1)2+(0-1)2+0=2， 而截面一定是圆，且设圆的半径为r,由勾股定理得r=√W3)2-W)列？=1， 得到截面面积为元x1=π，即截面面积的最小值为兀，故D错误. 故选：AC 二、填空题 12.2: 13.(3,2√6)： 14.4w3 3 14解：法一：设设椭圆的长半轴长为4，短半轴长为b,双曲线的实半轴为4，虚半轴长b, (q>a,),半焦距为c, 由焦点三角形面积公式得b·tan30=,b,。,所以b:=3b, tan 30 42-c2=3(c2-a,2) 由柯西不等式得1+片+3)=+5x1: 3e e: =+e3 9g3,故答案为：43 1,14W3 3 法二：设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a,(a>a4),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知， 设1PE=万，|PF=,rE=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为e,e, ∠RPR-号则：由余弦定理可得4-P+-25cs写① 在椭圆中，①化简为4c2=4a2-35.②， 在双曲线中，①化简为4c2=4a2+55.③， 由柯西不等式得0++)=（名+。×安 3 ee, 1+Ls4w5 e ez 3 ，故答案为：43 3 三、解答题 15.解：(1)根据频率分布直方图得(0.01+0.04+0.07+x+0.02)×5=1, 解得x=0.06; .3分 ∴.年龄在[35,40)的频率为0.06×5=0.3， .估计这500名志愿者中年龄在[35,40)的人数为500×0.3=150；.6分 (2)第2组、第4组和第5组的频率之比为0.2：0.3=2：3， 则第2组、第4组分别抽取的人数为2,3， 8分 记第2组的2人为第2组的2人为4，A,第4组的3人为B,B2,B·设“抽取的2名志愿 者中恰好来自同一组”为事件A 从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，样本空间为 =AA,AB,AB2,4B,AB,AB2,AB,BB:,BB:,B2 B3,n()=10 A=AA2,B B2,BB3,B2B3,n(A)=4 .11分 则抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率为P(A①=心=4_2 13分 n(2)-1051 16解：(1)由题意得6x2-4y2=24→_y =1, 46 可得a=2,b=√6，c=√10， 3分 故顶点坐标为(-2,0)，(2,0)， 4分 又F,F为双曲线的左、右焦点， 故焦点坐标F(-V10,0),F,(V10,0), 5分 离心率为e=c-0 a 2 6分 渐近线为y=± -x; Γ2 7分 (2)设0(x,y) 点Q在第一象限，x>2,且F(10,0),E10,0) ∴.0灭=（←10-x,-y),0E=(10-x,-y) 9分 QF·Q瓦=（←V10-x)(10-x)+(y)(y)=x2-10+y2 11分 又Q在双前线上，则广=6-， 0Rog=x10号0-r-16=4 14分 解得x=2√2， x=2W2: 15分 17.解：(1)法一：设圆心M(a,b),半径为r, 根据1 AMHBM1,可得VI-a2+(←1-b=V4-@2+(2-b2=r..①， 2分 根据点M在直线x-y+1=0上，可得a-b+1=0.②， 3分 由①②组成方程组，解得a=1,b=2,=3. 6分 所以圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=9; .7分 法二：AB的中点为（店），k4= 2（)=1,则AB的中垂线斜率为-1 22 4-1 AB的中垂线方程为y--化-，即x+y-3=0 2 3分 [x+y-3=0「x=1 由 得 即圆心M(1,2) x-y+1=0y=2 5分 所以半径|BM=3 6分 所以圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=9: 7分 (2)①当直线1过点D(-2,3)且与x轴垂直时， 直线1方程为x=-2,此时圆心M到直线1的距离d=1-(-2)=3, 结合圆M的半径r=3,可知d=r,直线l与圆M相切，符合题意； 9分 ②当直线1与x轴不垂直时，设1的方程为y-3=k(x+2),即x-y+2k+3=011分 根据直线I与圆M相切，可得圆心M到1的距离d=,即3k+1=3,解得k=4 4 Vk2+1 31 所以直线1的方程为-3手x+2,即4-3少+17=0. .14分 综上所述，经过点D(-2,3)且与圆M相切的直线1方程为x=-2或4x-3y+17=015分 18.解：(1)AE1BC,∠AEC=∠AEB=90, 又：ABAE沿AE翻折至△PAE,∴∠AEP=∠AEC=90°，即AE⊥PE,AE⊥EC.2分 ·.·PEc平面PEC,ECc平面PEC,PE∩EC=E 3分 AE⊥平面PEC. 4分 又：PCC平面PEC,AE⊥PC 5分 (2)连接ED,过D作DF⊥BC于F AE⊥BC,AEI∥DF 又：四边形ABCD为等腰梯形，且AD=1,BC=3 ..BE=EF=FC=1 又：∠B=60°，.AE=BE.tan60°=√3 .DE=√AD2+AE2=2 又：PD=V5且PE=BE=1 .PD2=PE2+DE2,即PE⊥ED. 6分 又：PE⊥AE,AE∩ED=E,AEC平面AECD,EDC平面AECD :.PE⊥平面AECD 7分 以E为坐标原点，分别以EC,EAEP为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系 P(0,0,1),C(2,0,0),A0,V3,0),D1,3,0) .PC=(2,0,-1),PA=(0,V3,-1),PD=1,V3,-1). 设平面PAD的法向量为元=(：，，) 则 4PA=0m∫3y-2=0 元·PD=01 即 x+V3y-31=0 令y=1,则==V3,x=0,.元=(0,1,3) 9分 设PC与平面PAD所成角为日 则sin0=cos(,Pc》 h·PC }5 PC 2×V510 PC与平面PAD所成角的正弦值为 10 12分 (3)设平面PCD的法向量为元=(x2,2,二2) 元·PC=0 2x2-22=0 则 即 元PD=0’x2+V3y,-3,=0 令，=5，则为=1,3=25，元，=(W51,2W5). 14分 由(2)知平面PAD的法向量为元=(0,1，V3) 1-元：方2_1+67 cos,元）F同同2x48 :平面200与平面PMD的夹角的余弦值为 17分 c=1 19.解：(1)由题意可得椭圆焦点在x轴上，且}4a=8 2分 a2=b2+c2 解得a=2,b=5,c=1 3分 所以椭圆的方程为女+ =1 ..4分 43 (2)()证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然k=k2=0,所以k+k2=0; 5分 当直线斜率不为0时，设直线方程为x=y-4, x=y-4 联立三+上13(B+4y-24w+36=0, 43 则△=(-24m)-4(3m2+4)×36=144m2-4)>0→m2>4, 设A(5,),B(x2,2),则 241m 36 y+为=3m2+4y=3m+4' 8分 所贴无奇s,》 y-3)y2-3） 36 因为y(2-3)+y2(%-3)=21yy2-3(y+y2)=2 24 3+433mr+40, -3× 所以k+k2=0. 综上，k+k,为定值0. 11分 2 (i)由(D可得y-y=v+广-4，=3+4， 24 4x 3612Wm2-4 32+43m2+4 B 所以5e45sSw小PR-为32子1 .14分 3m2+4 3m2+4 18Vm2-418Vm2-4 18 18 33 所以S5 3r+43(2-4)+163m2-4+ 16 16 23Wm2-4 4, Vm2-4 Vm2-4 当且仅当3m-4=16即m=2 >4时等号成立， V2-4 3 16分 所以△ABR面积的最大值为V5 4 17分 法二：1AB=V1+m-=V1+mV(y+)°-4y% =√1+m 24）2 4x、 3612W1+m2.Vm2-4 32+4 3m2+4 32+4 3 点耳到直线x=y-4的距离d= v1+m2 所以e}Ad=2M+YmA 318Vm2-4 2 32+4 V1+m23m2+4 .14分 18√m2-418√m2-4 18 18 33 所以3 -≤ 3m+43(m2-4)+163m2-4+ 16 2 4 3vm2-4x- 16 √m2-4 m2-4 当且仅当3m2-4=一16 即m2=28、 >4时等号成立， Vm2-4 3 16分 所以ABR面积的最大值为3V3 4 17分 南江中学高2027届高二（上）1月月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号．答案写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 2．抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 3．样本数据：11，10，13，14，17，18，16，22，36，32的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 4． 某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 6．已知正四面体的所有棱长都等于2，，分别是，的中点．则　　 A．2 B． C．3 D． 7．若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10．已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（   ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若若直线的倾斜角为，则 D．点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是 11．如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．当M在线段上运动时，与所成角的取值范围是 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当平面时，点的轨迹长度为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线，，且，则 . 13．抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是 . 14．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 　 　 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组，、第2组，、第3组，、第4组，、第5组，． (1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在，的人数； (2)若在抽出的第2组、第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 16．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求的值． 17．已知圆过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线过点且与圆相切，求的方程． 18．如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. (1)证明：； (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值； (3)求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 19．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. (i)求证：为定值； (ii)求面积的最大值. 高二数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $