精品解析：河北省邢台市2025-2026学年高一上学期第三次月考（1月）数学试题

邢台市2025—2026学年高一（上）第三次月考 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章占20%，第三、四章占40%，第五章第1节至第5节占40%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以角的终边相同的最小正角是， 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，命题“”的否定为“”. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解，再结合充分和必要条件的定义判断. 【详解】当时，有，故“”是“”的充分条件； 因为，所以，故不一定推出，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断得解. 【详解】依题意，，因此，所以. 故选：D 5. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合的具体范围，再根据集合的包含关系，分析中元素与集合的约束条件，得出的取值范围. 【详解】集合：由，得，即， 因，故中所有元素均需满足， 的最小元素为，因此需，即， 所以的取值范围是. 故选：B 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及二倍角公式化简即得. 【详解】由，得，即， 因此，而， 则，所以. 故选：D 7. 汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为，其中均为常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为，经过 ah后汽水的温度为，再经过a h后汽水的温度为（ ） A. 11℃ B. 12 ℃ C. 13℃ D. 14℃ 【答案】C 【解析】 【分析】由汽水刚放入冰箱时的温度为，得到当时，，将其代入解出，由经过 ah后汽水的温度为得到当时，，将其代入得到，由再经过a h后汽水的温度得到，将其代入求出的值. 【详解】汽水刚放入冰箱时的温度为，当时，， ，， ，， 经过 ah后汽水的温度为，当时，， ，，， 再经过a h后汽水的温度为. 故选：C. 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的零点情况，结合正弦函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，则，所以，， 即，. 当时， 当时，；当时，； 当时，； 要使，恰有2个零点，则要求，， 所以，解得. 当时， 当时，；当时，； 当时，； 要使，恰有2个零点， 所以，解得. 综上，的取值范围是． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先化简，然后根据三角函数的奇偶性、周期性、对称性以及值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数， 所以是偶函数，A选项错误. 的最小正周期是，B选项正确. 余弦函数的对称中心是， 令，则的一个对称中心为，C选项正确. 若，则，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解. 【详解】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 11. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性，可判断A的正误；根据指数的运算性质及指数函数的单调性，可判断B的正误； 根据m的范围及二次函数的性质，可判断C的正误；令，根据基本不等式，可得t的范围，利用换元法， 将所求变形，根据t的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A： 由题意 因为，，，所以， 当时，在上单调递减， 所以，则，故A正确； 选项B：， 因为，所以， 因为在R是单调递增， 所以，即，故B正确； 选项C：，为开口向上的抛物线， 因为，且， 所以， 所以当时，有最小值，故C正确； 选项D：令，则， 所以， 又， 当且仅当时取等号，因为，所以不能取等号，则， 则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合式子结构求定义域即可. 【详解】由题可知， 解得且， 即定义域为. 故答案为： 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将原函数整理成分段函数，分析分段的单调性，根据函数单调性求解集. 【详解】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为正数，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【小问1详解】 因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； 【小问2详解】 由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 16. （1）已知. ①求的值； ②求的值. （2）求的值. 【答案】（1）①②（2） 【解析】 【分析】（1）①利用两角和的正切公式直接求解； ②变形有，分子分母同时除以，化弦为切，即可求解； （2）先化切为弦，再利用倍角公式，辅助角公式即可求解. 【详解】（1）①. ② （2） 17. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若有且仅有1个零点，求的取值范围； （3）若，求，的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数值即可直接计算得解； （2）由函数结构特征结合题意将题设转化为函数在上有且仅有1个零点，再由二次函数性质即可求解； （3）分三种情况结合等式分析计算即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以. 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点，所以，且函数在上无零点，在上有且仅有1个零点， 所以函数在上有且仅有1个零点， 又函数在上单调递减， 所以即， 所以满足题意的的取值范围为； 【小问3详解】 当时，， 所以由得，整理得， 则； 当时，，满足； 当时，， 所以由得，整理得， 则； 综上，若，则，. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，求解正弦型函数的周期性. （2）通过换元法，解不等式组得出函数的单调递减区间. （3）结合三角函数的对称性，讨论的取值范围，得出的取值范围. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期. 【小问2详解】 令，解得， 所以单调递减区间为. 【小问3详解】 已知，则. 令，则， 所以函数可记为， 所以在有两个不同解，，其中，. 所以，，即， 所以，，. 所以， 又因为，且，可得， 所以， 所以的取值范围是. 19. 已知函数 （1）若在上单调，求k的取值范围； （2）若的最小值为，求k 的值； （3）若，求k 的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据在上单调转化为函数在上单调，再结合二次函数的性质可得所求值的范围； （2）直接将函数的最小值转化为的最小问题，通过讨论的符号，结合偶函数和二次函数的性质求出的最小值，建立关于的方程求解. （3）将不等式转化为，进而转化为在上成立，分和两段讨论可得所求值的范围. 【小问1详解】 令，因为是单调递增函数， 所以要使在上单调，就等价于函数在上单调， 即在上单调，所以，得. 故k的取值范围为. 【小问2详解】 因为的最小值为，而是增函数，所以的最小值等价于的最小值， ，所以. 又因为，所以是偶函数. ①若时，函数的对称轴，所以函数在上单调递增，函数， 再由偶函数的图象关于y轴对称，可得函数在R上，与不符合； ②若时，函数的对称轴，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，再由偶函数的图象关于y轴对称，可得函数在R上， 故令，解得或（舍去）. 故k 的值. 【小问3详解】 因为是增函数，所以等价于， 即，. 当时，由得， 因为函数在上单调递增，所以，即. 当时，由得， 即，由，故，所以，即. 综上所述，要使，k 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市2025—2026学年高一（上）第三次月考 数学 注意事项： 1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章占20%，第三、四章占40%，第五章第1节至第5节占40%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为，其中均为常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为，经过 ah后汽水的温度为，再经过a h后汽水的温度为（ ） A. 11℃ B. 12 ℃ C. 13℃ D. 14℃ 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 是增函数 11. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为正数，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 16. （1）已知. ①求的值； ②求的值. （2）求的值. 17. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若有且仅有1个零点，求的取值范围； （3）若，求，的值. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）若关于的方程在上有两个不同的实根，，且，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）若在上单调，求k的取值范围； （2）若的最小值为，求k 的值； （3）若，求k 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $