第4章 计数原理知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学选择性必修第一册 第4章 知识点清单 目录 第4章　计数原理 4. 1　两个计数原理 4. 2　排列 4. 3 组合 4. 4 二项式定理 2 / 2 第4章　计数原理 4. 1　两个计数原理 一、两个计数原理的理解 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事 不同点 1. 完成一件事有n类办法，这n类 办法之间是彼此独立的. 2. 每一类中的每一种方法都能独立完成这件事. 3. 把各类办法中的方法数相加就是完成这件事的所有方法数 1. 完成一件事需要若干个步骤，完成每个步骤又有若干种方法. 2. 只有每个步骤都完成了才算完成这件事，每个步骤缺一不可. 3. 把完成每个步骤的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 二、两个计数原理的选择与应用 1. 合理选择两个计数原理 当完成一件事可以分为相互排斥的几类时，选择分类加法计数原理； 当完成一件事可以分为几个相互关联的步骤时，选择分步乘法计数原理. 在求解过程中要注意列举法、树状图法、间接法等的灵活应用. 2. 类中有步，步中有类问题   　　从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法.   　　从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. “类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 三、涂色问题   1. 涂色问题的两种解决方案 (1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算； (2)先根据涂色时所用颜色种数进行分类处理，再在每一类的涂色方法数的计算中应用分步乘法计数原理，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和，即得到最终的涂色方法数. 4. 2　排列 4. 3 组合 一、排列与组合概念的理解 1. 排列的定义包含两个过程：(1)取出元素：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素(可分成m步，一步取一个、不放回地取)；(2)按序排列：把这m个不同的元素按照一定的顺序排成一列. 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同. 2. 组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组. 两个 组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同. 二、排列数公式与组合数公式 1. 排列数公式 (1) =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值)； (2) = (常用来化简或证明). 2. 组合数公式 (1) ==； (2) =； (3) =（反映对称性，当m>时，通常将转化为）； (4) =+. 三、 与排列数、组合数有关的计算 1. 求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用. 2. 解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤 四、有限制条件的排列问题   1. “在”与“不在”问题 　　解决此类问题，常用的方法是特殊位置(元素)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(元素)，即需先满足特殊位置(元素)的要求，再处理其他位置(元素)，如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题. 2. “相邻”与“不相邻”问题 (1)当元素被要求相邻时，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体并与其他元素进行排列. (2)当元素被要求不相邻时，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中. 3. “定序”问题 　在排列问题中，某些元素已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有种. 五、分组与分配问题 1. 分组问题的求解策略 (1)非均匀不编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，每组元素数目均不相等，依 次记为m1，m2，…，mm，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N=·· ·…·. (2)均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组，假定其中r组元素个 数相等，不管是否分尽，其分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种 数). 若再有k组均匀分组，则应再除以. (3)非均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，各组元素数目均不相等，且考 虑各组间的顺序，其分法种数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). (4)均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，其中r组元素个数相等且考虑各 组间的顺序，其分法种数