第5章一次函数(复习专题6：一次函数与不等式的综合）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第5章一次函数 (复习专题6：一次函数与不等式的综合） 【典型例题】 【例1】如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【例2】如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A. B． C． D． 【例3】如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 【例4】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法： ①y随x的增大而减小； ②b＞0； ③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ④不等式kx+b＞0的解集是x＞2． 其中说法正确的有　　（把你认为说法正确的序号都填上）． 【例5】画出一次函数数的图象，并利用图象完成下列问题： (1) 方程的解是________； (2)当________时，；当时，相应的取值范围是________． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 【举一反三】 【变式1】一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，一次函数（a，b为常数，）的图象分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为 ． 【变式4】如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，． 其中正确的是 ．    【变式5】如图，函数和的图象相交于点． （1） 不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【变式6】已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1) 求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【巩固练习】 1.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1 2.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，1），则不等式kx+b﹣1＞0的解集为（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 3.如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A． B．当时， C． D．的解集是 4.如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是 　　． 6.如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为 ． 7.如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 8.如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是 ． 9.已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图象； (2)结合图象，写出当时自变量的取值范围：_____． 10.已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图所示． （1）若图象经过点（﹣1，0）和（1，4）． ①求y与x的函数表达式； ②当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是　 　 ； （2）尺规作图：在同一坐标系中作y＝﹣kx﹣2b的函数图象． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 11.如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　 ． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． 12.如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】B 【例2】如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A. B． C． D． 【答案】A 【例3】如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【例4】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法： ①y随x的增大而减小； ②b＞0； ③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2； ④不等式kx+b＞0的解集是x＞2． 其中说法正确的有　　（把你认为说法正确的序号都填上）． 【答案】①②③ 【例5】画出一次函数数的图象，并利用图象完成下列问题： (2) 方程的解是________； (2)当________时，；当时，相应的取值范围是________． 【答案】（1）解：列表如下： x ⋯⋯ 2 0 ⋯⋯ y ⋯⋯ 0 4 ⋯⋯ 描点，连线得， 由图象可得时，，所以方程的解是；故答案为：； （2）解：由图象可得时，，由图象可得当时，．故答案为：；． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，， ∴若，x的取值范围是． 【举一反三】 【变式1】一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式2】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式3】如图，一次函数（a，b为常数，）的图象分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【变式4】如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，． 其中正确的是 ．    【答案】②③④ 【变式5】如图，函数和的图象相交于点． （2） 不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【答案】 （1）当时，， 由题图可知，当时，； （2）的图象经过点，∴， 当时，，即在函数的图象上 又∵在的图象上∴与相交于点 则函数图象如图， 则不等式的解集为．故答案为：；． 【变式6】已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (2) 求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入，得，解得：， 把代入，得，解得：，∴直线：， 当时，则 ，解出，∴； （2）∵直线：，，∴当时，x的取值范围是； （3），即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 【巩固练习】 1.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣1 【答案】B 2.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，1），则不等式kx+b﹣1＞0的解集为（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 【答案】A 3.如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A． B．当时， C． D．的解集是 【答案】D 4.如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞1的解集是 　　． 【答案】x＜0 6.如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 7.如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 8.如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是 ． 【答案】 9.已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图象； (2)结合图象，写出当时自变量的取值范围：_____． 【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，，∴，∴，∴，即； 函数图象如下所示： （2）解：在中，当时，， ∵，∴y随x增大而减小，∴当时自变量的取值范围． 10.已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图所示． （1）若图象经过点（﹣1，0）和（1，4）． ①求y与x的函数表达式； ②当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是　 　 ； （2）尺规作图：在同一坐标系中作y＝﹣kx﹣2b的函数图象． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】解：（1）①根据题意得，， ∴． ∴y与x的函数表达式为y＝2x+2； ②当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝4+2＝6， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤6； 故答案为：0≤y≤6； （2）如图，在y轴的负半轴上截取OA＝2OB，在x轴的负半轴上截取OD＝2OC， 则直线AD为函数y＝﹣kx﹣2b的图象． 11.如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　 ． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． 【答案】解：（1）∵将B（﹣1，5）代入y2＝﹣x+b得1+b＝5， 解得b＝4， ∴直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+4， ∵把D（2，m）代入y2＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2， ∴点D坐标为（2，2）， ∵把D（2，2）代入y1＝kx+1得2k+1＝2， 解得k． ∴直线l1的函数表达式为y1x+1； （2）当y＝0时，﹣x+4＝0， 解得x＝4， ∴C（4，0）， 当y＝0时，x+1＝0， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， △ACD的面积（4+2）×2＝6； 故答案为：6； （3）∵当x＜﹣2或x＞4，y1•y2＜0， ∴不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集为x＞4或x＜﹣2． 12.如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 【答案】（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P （﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1， ∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3； （2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x＝， ∴A（，0）． ∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3， ∴B（3，0）． ∴S△ABP＝AB×5＝××5＝． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $