第三章圆锥曲线与方程单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1,椭圆+y =1的焦距为4，则m的值为() m 8 A.12 B.4 C.12或4 D.10或6 2.直线1与#圆号-1交于4B两点，若P(2刘为我段AB的中点：则1的方程为() A.2x-y+5=0B.x+y+1=0 C.x-2y+4=0 D.x-y+3=0 3.已知方程 y2 =1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为() m-1m-4 A.(2,+∞) B.(1,2) C.(-0,-2) D.（-2,2) 4.双曲线C:ry2 2云-1(b>0的一条渐近线方程为y=-2x,则c的焦距为() A.√6 B.√10 C.2W6 D.210 5.己知抛物线C:x2=2p(p>0)的焦点为F(0,1),动点P在抛物线C上，点A(2,3),则PA+PF的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 6.己知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线交于A,B两点，记直线OA,OB（O为坐标原点)的斜 李分别为，若士6，则4叫=《) A.154 B.152 C.150 D.148 7.已知抛物线y=x和y=- x+5所围成封闭曲线E,点M,N在曲线E上，给定点A(O,a),则下列说法中正 4 1 确的是() A.存在a∈(0,5)，对所有点M,均不存在N使得AM=AM B.任意a∈(O,5),恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N关于点A对称 C.存在a∈(0,5)，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4 D.任意a∈(0,5)，当点M,N运动时，都满足AM+AW≤10 8,已知椭圆C:子+1α>D>0的左、石焦点分别为风，，P为椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆C在点P点 处的切线为直线1，过E作直线1的垂线，垂足H在圆x2+y2=4上，当P耳上B时，S3= 8W3 ,则椭圆C的离 9 心率是() A.3 B.3 D.3 2 3 c. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的 交点的钱迹是以该稀四中心为個心的风。这个圆格为该圆的蒙日圆。若精国上若若口>b>9的表日圆为 C=a,已加椭圆2的漆日圆半径为a,过同c上的动点以作精圆g的两条切线，交园C于户，日 两点，直线PQ交椭圆E于A,B两点，则下列选项中正确的是() A.椭圆B的离心率为 2 B.若椭圆E过点(2，)，则椭圆B的方程为千+2=1 C.若点D在椭圆E上，将直线D4,DB的斜率分别记为k,k,则kk二7 D.△MPO的面积的最大值为a 0已知双曲线C云山a>06>0的焦距为4，则下列条件能使C的方指为今=1的是（） A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为y=±V3x 3 C.C的实轴长为V5 D.(3,V2)是C上的点 11.已知过点Q1,2)的抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为E,过焦点F作两条互相垂直的 直线分别交T于A,B和C,D四点，则下列说法正确的有() A.若直线AB的斜率为1，则AB=8 B.若点G(3,2)平分弦AB,则直线AB的方程为x-y+1=0 C.AB+2CD的最小值为12+82 D.若EB⊥AB,则AF-|BF=4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.已知椭圆C:+父=1的上顶点和右焦点分别为4，P,动点P在直线x=22上，△PAn外接圆的半径为， 42 当r取得最小值时，△PAF的面积为 13.已知双曲线-上=1的左、右焦点分别为R,E,点P(-3,m)在双曲线上，P-P= 45 14.己知正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y2=2x(D>0)上，则P=一 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 】己知椭圆C:子+1a>b>0)的长轴长为4，且点 在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)直线l:y=c+t(化<0，t>O)与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为D,射线OD(O为坐标原点)交椭 圆C于点E ()若直线1过点Q0),且o=⑤，求k的值： 5 1 (I)若a10丽=0，求04p8f的值 1615分)卫知双自线C苦茶a0b>0的实特张为2，离学为5. (1)求双曲线C的方程： @为双曲线c上一点，且∠RPR-号求PA+P 17.(15分)己知F为抛物线C:y=2Px(p>0)的焦点，直线l:2x-y-4=0经过F,且l与C相交于P,2两 点，过点M(4,0)的动直线l2与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程： (2)求 P的值： PO (3)设O为坐标原点，若△ABF的面积为83，直线l2与y轴交于点N,证明：OM=OW: 1817分)已知篇圆c:器云=a>b>0过点P化间，短鞋长为4 (1)求椭圆C的方程： (2)已知点H(m,0)且m≥√2，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是5，求实数m的值： (3)椭圆C与y轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线I:y=+4与椭圆C交于不同的两点M、N.设直 线AN与直线BM相交于点G,求GA+GP的最小值 19.17分)已知双曲线T:二=1，过点Mm0)作不垂直于x轴的直线1交双曲线r于A、B两点 22 (1)求双曲线离心率： (2)若点A(W5,1),点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线1的斜率： (3)若>0，耳，F2分别是双曲线T的左右焦点，A'是A关于y轴的对称点，若存在直线1使得FA·F,B=0,求m 的取值范围。 湘教版高中数学选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 2．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（   ） A．154 B．152 C．150 D．148 7．已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（  ） A．存在，对所有点，均不存在使得 B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D．任意，当点运动时，都满足 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点点处的切线为直线，过作直线的垂线，垂足在圆上，当时，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 10．已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 11．已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（    ） A．若直线的斜率为1，则 B．若点平分弦，则直线的方程为 C．的最小值为 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上， . 14．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点. （Ⅰ）若直线过点，且，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 16．（15分）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 17．（15分）已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 18．（17分）已知椭圆：过点，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 19．（17分）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.椭圆世+y =1的焦距为4，则m的值为() m A.12 B.4 C.12或4 D.10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定α2，b2的值，进而解得m的值， 【详解】由题意得，2c=4,c=2,则c2=4,即d2-b2=4, 当椭圆的焦点在x轴上时，有-8=4，解得m=12, 当椭圆的焦点在y轴上时，有8-m=4,解得=4， 综上所述，m=12或m=4,故选：C. 2.直线1与椭圆+ =1交于A,B两点，若P(-2,1)为线段AB的中点，则1的方程为() 168 A.2x-y+5=0 B.x+y+1=0 C.x-2y+4=0 D.x-y+3=0 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程 【详解】设Ax,y),B(3,y,)。因为P是AB的中点，所以：+=-2，当+业=1， 2 2 5+左=1,1) 即：x+七2=4，乃+y2=2点A和B都在椭圆上： 168 生+上=1，(2) 168 将①和②相减：+上=0，即：-++-+y)=0, 168 16 8 代入+=-4和y+为=2，s-)(用0)2=0，即：为-为=x-5, 16 8 因此，直线1的斜率：k=义业=1，直线1过点P(-2,1,斜率为1，其方程为：y-1=1(+2),即x-y+3=0. X-X2 直线x-y+3=0过点(-3,0)，点(-3,0)在椭圆内，所以直线x-y+3=0与椭圆相交，满足条件. 故选：D B 3.己知方程+ 一=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为() m-1m2-4 A.(2,+o) B.(1,2) C.（-0,-2) D.(-2,2) 【答案】B 【分析】利用双曲线标准方程的判定可得答案 -1>0 【详解】焦点在x轴上，则 m2-4<0'解得1<m<2故选：B 4.双曲线C:y2 2 =1(b>0)的一条浙近线方程为y=-2x,则C的焦距为() A.√6 B.√10 C.2√6 D.2W10 【答案】D 【分析】根据渐近线方程求得b,再根据c2=a2+b2即可求解. 【详解】由双曲线c:父上 之。=1(b>0)可知，其渐近线方程为V=±2 由题意可知， =2, 所以b2=8,则c2=a2+b2=10,解得c=10,所以双曲线C的焦距为210.故选：D. 5.已知抛物线C:x2=2v(p>0)的焦点为F(0,1),动点P在抛物线C上，点A(2,3),则PA+PF的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】先确定抛物线方程的准线方程，由抛物线的定义可得，|PF1等于点P到抛物线准线的距离，|PA+|PF|的 最小值为点A到抛物线准线的距离，即可得结论 【详解】抛物线C:x2=2p(p>0)的焦点为F(0,1),则？=1，所以p=2 则抛物线方程为x2=4y,故准线方程为：y=-1, 抛物线的定义可得，P℉I等于点P到抛物线准线的距离， 所以|PA|+|PF|的最小值为点A到抛物线准线的距离4.故选：C 6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线交于A,B两点，记直线OA,OB（O为坐标原点)的斜 别为k,k,若左+k=6,则AB= A.154 B.152 C.150 D.148 【答案】D 设直线4B的方程为x三+L,联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系由：+：求出 由抛物线定义求弦长 【详解】由抛物线y2=4x知，焦点为F(1,0), 设直线份方程为那1，设4答小9华小则若片兰@ 「x=wy+1 由 y2=4x 消去得-m-4=0,所以X1=加，放由0安左智6，解得m=-6, 所以5+x2=6(4+2)+2=6×24+2=146,所以AB=5+七2+2=148，故选：D 7.已知抛物线=x产和y=-x+5所围成封闭曲线E,点M,N在曲线E上，给定点A(0,,则下列说法中正 4 16 确的是() 0 A.存在a∈(0,5)，对所有点M,均不存在N使得AM=AW B.任意a∈(O,5),恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N关于点A对称 C.存在α∈(0,5)，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4 D.任意a∈(0,5)，当点M,N运动时，都满足AM+AW≤10 【答案】C 【分析】首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为y轴可确定A错误：设M(s,t),N(-S,2a-t),讨论M,N在 同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当a∈ 时，不存在三对不同的点满足条件，知B错误： 取a=2即可验证得到C正偏：取a=分M(4,M44)可验证得到D错误 V= 【详解】由 4. ,得： 1 y=4或少=4，即两抛物线交点为(4,4)和(4,4)： 「x=4.「x=-4 y=- x2+5 16 对于A,y=二x2与y= x2+5图象均关于y轴对称，点A(0,a)在y轴上， 4 16 .当M,N关于y轴对称时，AM=AWN,A错误； 对于B,若M,N关于点A(0,a)对称，则可设M(s,t),N(-S,2a-t), [t=1 若M,N均在y=x2上，则 4 ,解得：t=a: 4 2a-t=-s2 4 即当a∈(0,4]时，存在一组关于A(0,a)对称的点（，a)和(-5，a): 若证v分别在=片和y。-5上 不防令M在s子上，-2a-4利在)6r5上 t=1s' 由 4 得： 2a-t=-12+5 650,则40刘. 16 若a∈0，。 则△<0，方程组无解，此时不存在关于A(0,a)对称的点M,N: :当a∈(02)时，不存在三对不同的点M,N,满足每对点M,V关于点A0,四对称，B错误： 对于C,当a=2时，到点A(0,2)的距离等于4的点的轨迹为x2+(y-2)=16: 的 x2=83 得： ，满足y∈(0,4]，此时存在两点到点A(0,2)的距离等于4： x2+(y-2)2=16y=25 x2=-80+64V2 由 得： y=10-4V2 ，满足ye(4,5),此时存在两点到点A(0,2）的距离等于4： x2+(y-2)2=16 ∴.当a=2时，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4， 即存在a∈(0,5)，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4，C正确： 对FD当a=时，40 (1 21 取M44,M44.此时AM+aN-269-西>i丽-10， 4 此时不满足AM+AW≤I0,D错误.故选：C. 8,已知椭圆C(+Q>b>0的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆c在点P息 &3 处的切线为直线L,过B作直线I的垂线，垂足H在圆x+少广=4上，当PB,上乃时，S5= ,则椭圆C的离 9 心率是() .3 B.3 D. 2 3 4 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出图形，结合椭圆的光学性质求出a,c即可。 【详解】延长H至E,使|HE=FH,连接PE, 由直线I是椭圆C在点P点处的切线，且FH⊥1，得，P,E三点共线，|PE=PE, 而O为的中点，则2a=P耳|+|PFPR|+|PE-EF=2|OH=4,即a=2, 椭圆半焦距为©，当PR上时，设P飞c,W),则号+兰1，解得6上 b2 图，20e4e40-e上8A，即e3e士320，所以脑圆C的离心率e3 1 a 9 3 故选：B E 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的 交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆。若椭圆B:×+广 + =1(a>b>0的蒙日圆为 C+广=0+，已知因压的蒙日图半径为。，过随C上的动点M作瑞圆8的两条切线，交国C于A,。 两点，直线PQ交椭圆E于A,B两点，则下列选项中正确的是(). A.椭圆E的离心率为5 2 B.若椭圆E过点(2,1)，则椭圆E的方程为 +y2=1 4 C若点D在椭圆E上，将直线DA,DB的斜率分别记为k,k,则kk,=- D。&e的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据口+6=。即可求解A,结合点在椭圆上，可求解B,根据对称性以及斜率公式即可求解C,根据面 4 积公式即可判断D. 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点（±a,±b),蒙日圆方程为x2+y2=+b2, 对于A家日图为Cf4y2-,则心-6-0，则6=4 4 4 则c=心-b=3d,所以椭圆B的离心率为9-5，A正确 4 a 2 对于B.根据题意得a+6-,又椭圆E过点(2，)，故手+京1， 4 所以G=8,6=2,则椭圆E的方程为二+二-1，B错误： 82 对于C,PM⊥OM,则PQ是圆的直径，经过原点，则A,B两点关于原点对称， 设D(y),A(,),B(-x,-出) 则kk,=出+y=雪-兰 -》 b21,C正确： x。-xx。+Xx-买 名- 对于D,直到2gV5a,点M到e的距离小于等于P@=。则A0的面积的最大植为0，D正确， 故选：ACD 10已知戏线C票若-1a06>g的焦丽为+：则下列条什能使C的方程为三-，1的是() 3 A.C的离心率为 B.C的渐近线方程为y=±√3x 3 C.C的实轴长为√5 D.(3,2)是C上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可 【详解】由题可知，2c=4,即c=2,因此a2+b2=4. 双曲线方程兮-1，等价于a=5.6=1 对于A:若C的离心率e=C-2_2W ,解得a=5, aa 3 又因为a2+b2=4,故b=1,符合题意，故A正确： 对于B:若C的渐近线方程为y=士2x=士Bx,则2=5，即b=V5a, a 2 又因为a2+b2=4,易解得a=1,b=√3，与题意不符，故B错误： 对于C:若C的实轴长为3，即2a=3,则a3,与题意不符，放C错 对于D:格6回代入号若1，可符是系-1，义国为+=4 a2+b2=4 4a=1,整理得：a-15a+36=a-3议a2-12=0,解得a=5或（合去，因 联立产1，可得92 为a2<c2=4),又因为a2+b2=4,故b=1,符合题意，故D正确. 故选：AD. 11.已知过点2(1,2)的抛物线T:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为E,过焦点F作两条互相垂直的 直线分别交T于A,B和C,D四点，则下列说法正确的有() A.若直线AB的斜率为1，则AB=8 B.若点G(3,2)平分弦AB,则直线AB的方程为x-y+1=0 C.AB+2CD的最小值为12+8√2 D.若EB⊥AB,则AF-BF=4 【答案】ACD 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，再设出A,B,C,D四点的坐标A(5,片)，B(:,乃2)，C(y),D(x4,y4) 对于A,先求出直线AB的方程，与抛物线方程联立后根据韦达定理可得x,+x,的值，由抛物线的定义可得AB: 对于B,由直线AB过F,G(3,2)可得直线AB的斜率，从而得直线AB的方程；对于C,设出直线AB的斜率k, 从而得其方程，联立方程可得x+x2,同理可得x,+x,根据抛物线的定义可将AB+2CD表示为k的函数，根据 基本不等式可求得最值：对于D,根据EB.FB=0得到x2,y,的一个关系式，又点B的坐标满足抛物线方程，联立解 得x2,根据韦达定理可求得x,从而根据抛物线的定义可得AF-BF 【详解】将点2(1,2)的坐标代入抛物线Γ：y2=2x(p>0)的方程得 4=2p,解得p=2,所以抛物线T:y2=4x,则F(1,0),E(-1,0) 由题意知直线AB,CD的斜率均存在，设A(5,),B(x2,),C(x,y),D(x,y,),如图 D 对于A,因为直线AB过F(1,O),且斜率为1，所以直线AB的方程为y=x-1, 由/少1 y2=4x 消去y得x2-6x+1=0,所以x+x2=6, 由抛物线的定义可得AB=x+x2+p=6+2=8,故A正确： 于B,因为直线4B过FL,G3,2,所以k 所以直线AB的方程为y=x-1,即x-y-1=0,故B错误： 对于C,设直线AB的斜率为太，则直线CD的斜车为名直线AB的方程为y=(), 由k(x-消去y得x-(2+4利x+心=0，所以x+=2+ 4 ly2=4x 2, 同理可得+书=2+ =2+4h2 所以AB+2CD=(:+x+2)+2(5+x4+2)=(5+)+2(s+x)+6 〔2+2e+4612+4g+222-42层2=2w5, 当且仅当名-2K,即农-号时等号废立，所以4+2C0的最小值为12+8w2,放C正痛。 对于D,因为EB⊥AB,即EB⊥FB,所以EB.FB=0, 又EB=(s+1,),FB=(x-1,), 所以丽·丽=(x2+1)心2-1Hy=x+1=0,即片=1-， 代入y好=4x2得x号+4x2-1=0,解得x,=V5-2(负值舍去)， 由选项C知51，所以，=】 1=5+2， x25-2 所以4-B-+号》+：-5+2(5-2到=4，故D正确 故选：ACD, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知椭圆C:?+父-1的上顶点和右焦点分别为4，P,动点P在直线x=2W上，△PAr外接圆的半径为， 42 当r取得最小值时，△PAF的面积为 【答案】2 【分析】设出圆心，表示出△PAF外接圆的标准方程，根据点A,F,P在圆上，求出半径最小时动点P的纵坐标，从 而求出三角形的面积. 【详解】由稀圆的方程号兮1，得公=4公=2.所以0-，c=后不-5， 所以A(0,②)，FV2,0）,设P(25,y,圆心(m,n), 则圆的标准方程为(x-m)2+(y-)2=2, m2+n-2=r2 所以m-+2=r2,整理得 22m-6+2-2=0'所以%2-2m,-2V2m+6=0, m=n m-222+n-y)2= 所以阳+6！+-2W月+8所以当m=万时，小，时2，所以P22。 2,+V2)2 o+2 所以成w号2v5方=2 故答案为：2 A F x=2√2 13. 己知双曲线”=1的左、右焦点分别为R,R,点P(3,叫在双曲线上，P-PF=】 45 【答案】-4 【分析】根据给定条件，确定点P在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解 【详解】点P(-3,m）在双曲线二=1上，而-3<0，则点P在该双曲线的左支上， 45 又，耳分别为该双曲线的左、右焦点，因此|PrPE,|,所以P-PF=-2×2=-4.故答案为：-4 14.已知正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，则P= 【答案】号 【分析】根据题意，不妨设A在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点B和点D关于x轴对称，求得点B 的坐标，代入计算，即可求解 【详解】因为正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y2=2px(D>0)上， YA 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设A在坐标原点，则点B和点D关于x轴对称， 由正方形ABCD的边长为2，所以B(N2,√2)，D(W2,-√2)， A(O) 防-2p5,解得p方-空发香关为： D 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.《1B分)已椭做C:品+会1a>0份长销长为，且点P户5时 在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)直线I:y=c+t(化<0，t>0)与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为D,射线OD(O为坐标原点)交椭 圆C于点E. (①)若直线1过点Q,0),且lol=35,求k的值： 5 1 1 (m)若o1.o丽=0，求o4o8的值. 【答案】)+y=1 4 1 15 (2)(I)k=-1:(IⅡ) QAPOBP4 【分析】1)长轴长为4，即2a=4,将p5, 代入椭圆方程即可求解. (2)(I)将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求出中点D,求出直线OD的方程，再将直线OD方程与椭圆 方程联立，表示出OE的长即可求k的值. (Ⅱ)设直线OA,OB的方程与椭圆方程联立，化简即可. 2a=4 【详解】(1)由题意可得 解得：a=2,b=1, 则椭圆C的标准方程为兰+少=1 4 (2) D (I) :直线l:y=c+t过点(L,0), B .0=k+t解得：t=-k,即y=k(x-1), 「y=kx-1) 由x2 4+2-11 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, 则△=(-8k2-4(4k2+1)(42-4)=48k2+16>0. 83 设A(5,),B(5,),则x+x,=42+1 所以x。=士+3=42 2 4he+1’y=a2-k= 42+1 4k2 即点D的坐标为 k 4k2+1’4k2+1 侧直线OD的方程为y=径上 1 y=- 4k 4 由 得：x=- x2 +2=1 √4k2+1' 则O= 1 4 16k+1 4k √4k2+1 V4+1 因为1OE=V85 所以16k2+117 4+15,解得=-1，k=1(舍去). 湘教版高中数学选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或，故选：C. 2．直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。因为是的中点，所以：， 即：点和都在椭圆上：， 将 (1) 和 (2) 相减：，即：， 代入和，，即：， 因此，直线的斜率：，直线过点，斜率为 1，其方程为：，即. 直线过点，点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 3．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线标准方程的判定可得答案. 【详解】焦点在轴上，则，解得.故选：B 4．双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程求得，再根据即可求解． 【详解】由双曲线可知，其渐近线方程为，由题意可知，， 所以，则，解得，所以双曲线C的焦距为．故选：D． 5．已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先确定抛物线方程的准线方程，由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，的最小值为点到抛物线准线的距离，即可得结论. 【详解】抛物线的焦点为，则，所以 则抛物线方程为，故准线方程为：， 抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离， 所以的最小值为点到抛物线准线的距离4.故选：C. 6．已知抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（   ） A．154 B．152 C．150 D．148 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系由求出，再由抛物线定义求弦长. 【详解】由抛物线知，焦点为， 设直线的方程为，设，则①. 由，消去得，所以，故由①得，解得， 所以，所以，故选：D 7．已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（  ） A．存在，对所有点，均不存在使得 B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D．任意，当点运动时，都满足 【答案】C 【分析】首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为轴可确定A错误；设，，讨论在同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当时，不存在三对不同的点满足条件，知B错误；取即可验证得到C正确；取，，可验证得到D错误. 【详解】由，得：或，即两抛物线交点为和； 对于A，与图象均关于轴对称，点在轴上， 当关于轴对称时，，A错误； 对于B，若关于点对称，则可设，， 若均在上，则，解得：； 即当时，存在一组关于对称的点和； 若分别在和上， 不妨令在上，在上， 由得：，则， 若，则，方程组无解，此时不存在关于对称的点； 当时，不存在三对不同的点，满足每对点关于点对称，B错误； 对于C，当时，到点的距离等于的点的轨迹为； 由得：，满足，此时存在两点到点的距离等于； 由得：，满足，此时存在两点到点的距离等于； 当时，曲线上恰有四个点满足到的距离等于， 即存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，C正确； 对于D，当时，，取，，此时， 此时不满足，D错误.故选：C. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点点处的切线为直线，过作直线的垂线，垂足在圆上，当时，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出图形，结合椭圆的光学性质求出即可. 【详解】延长至，使，连接， 由直线是椭圆在点点处的切线，且，得三点共线，， 而为的中点，则，即， 令椭圆半焦距为，当时，设，则，解得， ，即，所以椭圆的离心率. 故选：B 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ）． A．椭圆E的离心率为 B．若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C．若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据即可求解A,结合点在椭圆上，可求解B，根据对称性以及斜率公式即可求解C，根据面积公式即可判断D. 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故， 所以，，则椭圆E的方程为，B错误； 对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称， 设，，， 则，C正确； 对于D，直径，点M到的距离小于等于，则的面积的最大值为，D正确， 故选：ACD． 10．已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 11．已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（    ） A．若直线的斜率为1，则 B．若点平分弦，则直线的方程为 C．的最小值为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，再设出四点的坐标.对于A，先求出直线的方程，与抛物线方程联立后根据韦达定理可得的值，由抛物线的定义可得；对于B，由直线过，可得直线的斜率，从而得直线的方程；对于C，设出直线的斜率，从而得其方程，联立方程可得，同理可得，根据抛物线的定义可将表示为的函数，根据基本不等式可求得最值；对于D，根据得到的一个关系式，又点的坐标满足抛物线方程，联立解得，根据韦达定理可求得，从而根据抛物线的定义可得. 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得 ，解得，所以抛物线，则. 由题意知直线的斜率均存在，设，如图. 对于A，因为直线过，且斜率为1，所以直线的方程为， 由消去得，所以， 由抛物线的定义可得，故A正确； 对于B，因为直线过，，所以， 所以直线的方程为，即，故B错误； 对于C，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 由消去得，所以， 同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 又， 所以，即， 代入得，解得（负值舍去）， 由选项C知，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 【答案】2 【分析】设出圆心，表示出外接圆的标准方程，根据点在圆上，求出半径最小时动点的纵坐标，从而求出三角形的面积. 【详解】由椭圆的方程，得，所以，， 所以，，设，圆心， 则圆的标准方程为， 所以，整理得，所以， 所以所以当时，最小，此时，所以， 所以. 故答案为：2 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上， . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定点在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解. 【详解】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上， 又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此，所以.故答案为： 14．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 . 【答案】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点和点关于轴对称，求得点的坐标，代入计算，即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设在坐标原点，则点和点关于轴对称， 由正方形的边长为2，所以，， 所以，解得.故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点. （Ⅰ）若直线过点，且，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）长轴长为4，即 ，将代入椭圆方程即可求解． （2）（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求出中点，求出直线的方程，再将直线方程与椭圆方程联立，表示出的长即可求的值. （Ⅱ）设直线,的方程与椭圆方程联立，化简即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得：，， 则椭圆的标准方程为. （2） （Ⅰ）直线：过点， 解得：，即， 由得， 则. 设，，则， 所以，， 即点的坐标为，则直线的方程为. 由，得：， 则. 因为， 所以，解得，（舍去）. （Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，，. 由,得，则. 因为， 所以，则直线的方程为， 同理可得，则. 故. 当直线，中一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 此时, 综上，. 16．（15分）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 17．（15分）已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明见详解 【分析】（1）根据经过焦点F即可求出； （2）将代入，得，再结合韦达定理、抛物线的定义求出、的值即可； （3）设的方程为，结合韦达定理，列出关于t的表达式，解出t的值后，求出N点坐标即可证明． 【详解】（1）抛物线的焦点为，由题意可知， ，解得，故抛物线C的方程为． （2）将代入，得， 设，，则，，由抛物线的定义可知，，，故． （3）易知动直线的斜率不为0，设其方程为，，，联立，整理得， 则，，， 所以的面积为， 由题意得，，解得，所以直线的方程为，则，故． 18．（17分）已知椭圆：过点，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； (3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）设椭圆上任一点为，则点到的距离，结合椭圆上点的横坐标范围与函数单调性即可得最值，从而得正实数的值； （3）将直线与椭圆联立消，设直线、的方程，结合韦达定理化简计算解出的轨迹方程，利用对称性即可求解的最小值． 【详解】（1）由题意得椭圆过点，且短轴长为4，可得，解得， 可得椭圆的方程为； （2）设椭圆上任一点为，故，则， 则点到的距离为， 由于在椭圆上，所以，令二次函数，其对称轴为， 由题知，此时二次函数在上单调递减， 则当时，二次函数取得最小值，此时，解得或（舍）； 综上； （3）设点、，直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由，且，所以， 由于在椭圆上，则，所以，则， 易知、，则直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得 解得，故在定直线上， 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立，故的最小值为. 19．（17分）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，，，所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点，代入双曲线方程，得， 解得，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则，联立，整理得， （*）且，，， 因为，，所以，， 所以，即， 即，整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $