湖南省湘豫名校联考2025-2026学年高二上学期1月阶段性质量检测数学试卷

姓 名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025一2026学年高二（上)1月阶段性质量检测 数学（人教A版I卷） 注意事项： 1.本试卷共6页。时问120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然 后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答棠后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答橐标号涂 晨。如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答橐 写在答意卡上对应的答题区城内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将武卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.直线，3x十y一2，√5=0的倾斜角为 A30° B.60° C.120° D.150° 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B,CD,中，点M满足AM=2MC,若B=a. AD=b,AA=c,则下列向量中与DM相等的是 A号a-叶e D. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 3.已知数列(an)为公比为g的等比数列，Sn为数列(an)的前n项和.设甲：公比 g=乙：S,=2a,-a则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形， 0 如图所示，它的洞口底部宽为AB=10m,C为 AB的中点，桥洞最高处O点的高度为OC= 5m.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为 平顶)每处与其正上方的墙壁高度差至少为 0.5m.若一辆货车宽为√5m,沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的 限高为 A.4 m B.4.25m C.4.75m D.5.25m 5.已知双曲线C号-苦=1（®>0，b6>0)的左右焦点分别为R,R,以R为 2 圆心，√3a为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为 A.2 B.√5 C.2 D.5 6.已知圆C:x2+y2-2ax十a2-9=0与圆C2:x2+y2一2by十b一1=0内切， 则a十b的最大值为 A.1 B.√2 C.2 D.22 7.在空间直角坐标系中，我们规定：过点P(zo%,o),且以(a,b,c)(a,b,c不 同时为0)为方向向量的直线方程为二西=地=二，若分母中有一个或 a b 两个为0，需理解为分子也为0，例：a=0时，方程等价于x=0,且y业= b 二；而过点P,且以(a,b,c)(a,b,c不同时为0)为法向量的平面方程为 a(x一x)十b(y-)十c(之一z)=0.若平面a过点A,且满足方程V3x十y一 z一1=0；直线l过点A,且满足方程3x十z=0,则直线！与平面a所成角的 余弦值为 A C.5 5 D.2 5 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知定义域为R的函数f(x),g(x),f(x)=g(2一x),对任意的实数a,b均有 f(a十b)+f(a-b)=2f(a)g(b),且g(2)=0,f(x)不恒为0，则f(2026)= A.1 B.-1 c分 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C,D1中，下列结论正确的是 ACD∥平面A,BD B.CD,⊥平面AB1D C.CD与BD所成的角为60° D.平面ACC1A1⊥平面AB,D, 10.下列四个命题中正确的是 B A.过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x十y一4=0 B.过定点P(1,0)的直线与以M(一3,2)，N(3,3)为端点的线段相交（包括 端点)，则直线的斜率k的取值范围为（∞，一号]U[受，+∞） C.圆C:x2+y2+2x+8y一8=0与圆C2:x2+y2一4x一4y-2=0的公共 弦所在直线的方程为x十2y一1=0 D.若动点M在直线l:x一2y+2=0上，动点A在圆C:(x-3)2十y2=4 上，则IMA|的最小值为5一2 11.已知抛物线E:y=4x的焦点为F,A(x1,y),B(x2y2),C(x3,为)是E上 不同的三个点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线L是E的惟线，且L与 x轴的交点为M,则下列说法正确的是 A.若|AF=|BF|,则x1=x2 B.若A克=λFi,则∠AMO=∠BMO C.若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标可能大于√2 D.若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a∈（受，x,且3cos(受+a=tana,则cos2a= l3.已知数列{a,}满足a2十a=4,a,十at1十a+=9(n∈N°)，则2m= 14.已知正方体ABCD-A1B1CD,的棱长为2，M是棱BB,的中点，点P在棱 A,B1上，且满足AM⊥CP,则平面AMC截三棱锥P-ABC的外接球所得 的截面面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足√5 bcos C+bsin C= cos A. 月a,siaB=E (1)求角C: (2)若△ABC的周长为√5+√6+3，求a的值 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.（本小题满分15分) 已知圆P经过三点A(1,3),B(-1,1),C(-1,5). (1)求圆P的一般方程， 2)若直银4-(x-1)与圈P交于M,N两点，且IMN1-智，求直线1 的方程。 17.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥ AD,侧棱PA⊥底面ABCD,AD=1,BC=AB=2,点Q在侧棱PB上，且 PQ:QB=1:2. (1)求证：PD∥平面QAC (2)若AP=2,求平面ACQ与平面CQB夹角的余弦值. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.（本小题满分17分) 已如蔺圆C答+芳-1(a>6>0)过点P(1,受》，且长轴长是短销长的 2倍. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l过椭圆C的右焦点F,与椭圆C交于A,B两点（点A在x轴上 方)，点D的坐标为(2√3，). ()当=0时，求△ABD的面积的取值范围； ()试判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并写出判断过程. 19.（本小题满分17分) 已知平面上两定点A,B及-动点P,则所有清足险 =λ(>0，且λ≠1) 的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，阿氏圆的圆心在线段AB的延长线 上.在平面直角坐标系中，记点A(am,0),B.(b。,0),其中an<b.a1=一1， 6=1,清足昌合-2的点P.的教违与z箱交于A1,B阿点。 (1)求点P,的轨迹方程； (2)求数列{b.一an}的通项公式： (3)记△AB,P,的面积的最大值为∫(n),求f(n)的表达式 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 湘豫名校联考 2025一2026学年高二（上)1月阶段性质量检测 数学参考答案（人教A版I卷） 题号 2 5 6 8 9 10 11 答案 A B D BCD BCD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C【试题立意】本题考查直线的领斜角与斜率，重点考查数学抽象、数学运算等核心素养. 【解析】由√5x十y-2√3=0，得y=一√3x十2√3，所以直线的斛率为一√5.设倾斜角为a,则tana=一√5.因 为0≤a<π，所以a=120°.故选C 2.A【试题立意】本题考查空间向量的线性运算，重点考查逻辑推理、数学运算等核心素养 【解析】连接AM圈$)，在△ADM中，D丽--办-+不应-市=+号花-b=。一b叶号(a+b) =号-专叶e故选八 3.C【试题立意】本题考查等比数列的前项和公式以及充分条件、必要条件，重点考查推理分析和运算求解 能力，落实逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解折】先证充分性，若甲成立，即q=之则由等比数列的南项和公式得5，一二9_二 2 -=2a1- an,充分性成立：再证必要性，若乙成主，即S,=2a1一am,则当n≥2时，S,-1=2a1一a-1,两式相减得，a,= a一0即。品=合所以g=合必要性成主.所以甲是乙的完要条件.故选C 4.B【试题立意】本题考查抛物线的标准方程以及方程的简单应用，重点 考查推理分析、运算求解能力，落实逻辑推理和数学运算等核心素养 【解析】如图，以O为原点，以过点O与AB平行的直线为x轴，OC所 在直线为y轴建立平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为x2= -2py(p>0),|AB|=10,|OCl=5,且B(5,-5)在抛物线x2=-2py 上，则p=号，所以=一5y设车顶左端正上方墙壁为点E,右墙正 上方墙壁为点F,则率宽为EF=5,可设F(,%),代入抛物线 方程得为=一子，所以桥羽的限高不超过5--0.5=4.25(m).故选B 5.C【试题立意】本题考查双曲线的定义、方程、儿何性质以及直线与圆的位置关系，重点考查抽象概括能力、 运算求解能力、推理论证能力以及数形结合思想、函数与方程思想，考查了逻辑推理、数学运算和数学抽象等 核心素养。 【解析】设半焦距为c,依题意，右焦点F2（c,0)到渐近线bx一ay=0的距高为c二0L=b,所以√5a=b,即 +a2 名5，所以=-√层-√平-√+(-=2c CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.D【试题立意】本题考查图的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系、基本不等式，重点考查数形结 合思想、运算求解能力，提升直观想象和数学运算等核心素养. 【解析】将两圆的一般方程分别化成标准方程为C1:(x一a)2十y2=9,C2:x2十(y一b)2=1,所以圆C的圆心 为C,(a,0),半径为3，圆C2的圆心为C,(0,b),半径为1.由两圆内切，得1C,C2|=2,即√a+b=2,所以 心+8=4.周为（色生）'<心生少，所以-2厄≤a+b长2反，当且仅当a=厄，6=厄时右边学号咸立a= 一√瓦，b=一√瓦时，左边等号成立，所以a十b的最大值为2√瓦.故选D. 7,B【试题立意】本题考查空问向量的坐标运算以及直线与平面所成的角，重点考查抽象概括、数据分析、推理 分析能力，落实数据分析和数学运算等核心素养。 【解析】设直线l的方向向量为n=(,少名)，平面a的法向量为m=(x2次，名2).由题知平面。过点A且满足 方程3x十y一之一1=0，所以平面a的一个法向量为m=(W3,1,一1).又直线l满足方程V3x十x=0,则直线l的 一个方向向重为=(10，-).设直线1与面。所减的角为8，则如0=日=西，所以6sg= mn 四戴造B 8.A【试题立意】本题考查函数与方程以及抽象西数求值，重点考查学生推理分析、运算求解能力，考查函数 与方程思想、建模意识，考查数学建棋、逻辑推理和数学运算等核心素养， 【解析】由f(x)=g(2-x),得∫(0)=g(2)=0.对f(a+b)十f(a-b)=2f(a)g(b),令b=2,则f(a+2)+ f八a-2)=2f(a)g(2)=0,所以f(a+2)=-(a-2).令a-2=t,则f(+4)=-f(),即f((u+4)+4)= -(十4)=f(),所以f八x)的周期为8.对(a+b)+f(a-b)=2f(a)g(b),令b=0,则2f(a)=2f(a)g(0),所以 g(0)=1,所以f(2026)=(8×253+2)=(2)=g(0)=1.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个进项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BCD【试题立意】本题考查空间线面平行与垂直的位置关系及异面直线所成的角，重点考查推理论证和空 问想象能力，考查了逻辑推理和直观想象等核心素养. 【解析】对于A,因为CD1∥CD,又CD与BD的夹角为45°，所以C,D,不平行于平面A,BD,A惜误.对于 B,易证AD⊥CD1,AB⊥CD1,且AD∩AB1=A,所以CD⊥平面AB1D,B正确.对于C,因为CD1∥A,B,且 易知△A,BD是等边三角形，所以CD1与BD所成的角为60°，C正确，对于D,因为B1D1⊥A,C,BD1⊥ AA1,AC∩AA1=A1,所以B,D1⊥平面ACC1A.又B,D,C平面AB,D1,所以平面ACC1A,⊥平面 ABD1,D正确.故进BCD. 10.BCD【试题立意】本题考查直线的斜率，直线的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系，重点考查运算求 解、直观想象、推理分析能力，落实数学运算、逻辑推理等核心素养。 【解析】对于A,过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程可设为x十y一a=0(a≠0)或y=kx, 将点(3,1)代入得a=4或=了，所以符合题意的直线方程为x十y一4=0和z一3y=0,A情误：对于B,易 求得kw=一子kw=受，站合图象（国略）知针率k的取值范国为（一©，一合]U[是，+o∞），B正确；对 Ix2+y2+2x+8y-8=0, 于C,联立方程 两式相减得x十2y一1=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 x2+y2-4x-4y-2=0, 它+2y一1=0，C正确；对于D,圈心C(3,0)到直线L4z-2y+2=0的距离为后=5>2，所以MA的凝小 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 值为√5一2，D正确.故选BCD. 11.ABD【试题立意】本题考查抛物线的定义、焦点弦性质以及直线与抛物线的位置关系，重点考查运算求解 能力与数形结合思想，考查直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养。 【解析】对于A,因为A(x1M),B(x22）在抛物线E上，F(1,0),所以|AF|=x十1，IBF=x2+1.又|AF= |BF引，所以x1十1=x2+1,即x1=x2,A正确.对于B,由AF=λFB,知直线AB过焦点F(1,0),设直线 A8=1:展2”者去z泽y-g一4=0高案与系段约装系释十欢-机之文 M-10a+十1杀+0--w-a, (听+4)(y吃+4) 4 所以∠AMO=∠BMO,B正确.对于C,设点P的纵坐标为yP,若F是△ABC的重心，则1十为十y为=0， ++=41十4m十4=4X3=12,两请去为得（十为2=6十为≤6++为），中（十为≤ 4 8,即1yp≤2，C错溪.对于D,因为P是AB的中点，所以为十为=4.此时k=-兰=4=1，所 近-2y+ 44 以直线AB的倾斜角为不，D正确.故选ABD., 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一了【试题立意】本题考查同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角的公式等，重点考查运算求 解能力，体现数学运算等核心素养。 【解折】由3cos(受+a）=ama,得-3sine-2又ae(受x),片以cos。=-方os2&=2cos。-1- -日 13.5【试题立意】本题考查数列的递推公式、数列的周期性，重点考查推理分析和运算求解能力，落实逻辑推 理、数学运算等核心素养。 【解析】当n=1时，a1十az十ag=9,所以a1=5.当n≥2时，an十at1十a.+z=9(n∈N~),a.-1+a+z十an+3= 9(n∈N·）,两式相减得a+3一a.=0,即a+3=a.所以a22zs=a5x3+1=a1=5. 14.35【试题立意】本题考查空问线面位置关系，以及空问多面体与球的切接问题，球的截面问题，重点考查半 16 生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力，提升学生数学运算、泛辑推理、直观想象等核心素养， 【解析】可以证明P为A,B,的中点，证明如下：由正方体ABCD- A1B1C,D,易知BC⊥平面ABBA1,又AMC平面ABB1A,所以BC⊥ AM.又AM⊥CP,且BC∩CP=C,所以AM⊥平面BCP,所以AM⊥BP. 所以∠AMB+∠PBB,=∠BPB,+∠PBB,=90°.所以∠AMB= ∠BPB1,故△ABM≌△BBP.因为M是棱BB,的中点，所以P为A,B, 的中点.如图，设P-ABC的外接球球心为O,O在平面ABC上的射影H 为AC的中点，O在平面ABP的射影为△PAB的外心Q,AB的中点为 I,连接PI,则Q在线段PI上，连接OQ,HI,OA,QA,OP.设QA=r,则 P可=2-r,解得r=号，图为0Q=H1=1,所以0A=VP+T= CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP .以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为r轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2, 4 2,0),C(0,2,0),M(2,2,1),P(2,1,2).设外接球的球心为O(1,1,h),依题意|OA|=|OP1,即√+12+h =+(2-hF,解得A=是所以球心011，子.国为花=(-220).m=(02,1,设平面AMC的 法向量为m=(x,y,z),则{ 花0牌2+2y-0聚 .A应=0,12y+z=0, 取y=1,则x=1,之=-2，所以m=(1,1,一2).又 办=(-1,1，是)，球心0到平面AMC的矩离d=码l=,所以我西周的半径为/=VOm-可= √偎一品=，所以减面面软为？= 16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【试题立意】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想、转化与化归思 想，落实数学运算等核心素养。 【解析】(I)由正弦定理得V5 sin B cos C+sin Bsin C=√3sinA, 由三角形内角和定理知A=x一(B十C), sin A=sin[-(B+C)]=sin(B++C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 所以W3 sin Bcos C+sin Bsin C=√3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C,即sin Bsin C=√3 cos Bsin C. 因为0<C<x,所以sinC≠0.所以sinB=√3cosB,即tanB=√5. 因为0<B<,所以B=子 4分 又如B=cosA,所以60sA- 2 因为0<A<,所以A=至 所以C=x音-普-瓷 ………6分 (2)1)知sinC=n登=sm(资+若）-6十2 4 由正定理得品A品B茹C中员后 b ② 2 2 4 所以6=。6 2 -a. 9分 所以△MBC的月米为a+6+a+9+5。=固+6+3， 2 2 种十y5+3。=十6十3，解得a=2.…… 13分 2 16.【试题立意】本题考查圆的一般方程、直线与圆的位置关系，考查空问想象能力，运算求解能力，落实数学运 算、直观想象等核心素养。 【解析(1)设圆P的一般方程为x2十y十Dx十Ey十F=0,… …】分 D+3E+F=-10, 由圆P经过三点A(1,3),B(-1,1),C(-1,5),得D-E-F=2, ……………………………4分 D-5E-F=26, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP