16.4 反比例函数课件2025-2026学年 华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕反比例函数的概念、图象、性质及应用展开，通过小明买笔记本的情境导入，结合行程问题、长方形面积等实例抽象概念，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以情境创设和问题探究为主线，用买笔记本数据引导学生用数学眼光观察变量关系，通过合作分析函数特征发展数学思维，如归纳k值与图象性质的关系，借助待定系数法和k的几何意义应用强化数学语言表达，帮助学生提升抽象能力和应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

16.4 反比例函数 16.4.1 反比例函数 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 能运用反比例的概念解决相关问题.. (重点、难点) 学 习 目 标 ？ ？ 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量y/本 … 通过填表，你发现 x、y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 情 境 导 入 4 知识点1 反比例函数的概念 问题1 甲、乙两地相距120千米,汽车匀速从甲地驶往乙地.显然,汽车的行驶时间由行驶速度确定,时间是速度的函数,试写出这个函数的关系式, 分析：和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的符号表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式. 设汽车行驶的速度是v千米/时,从甲地到乙地的行驶时间是t小时.因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以 t= . (1) 合 作 探 究 5 问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为 24 平方米的长方形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x之间的函数关系式. 分析：根据长方形的面积公式，可知 xy=24, 故 y= . (2) 合 作 探 究 都具有 的形式，其中 是常数． 分式 分子 (k是常数，k ≠ 0) 的函数，叫做 反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 ★反比例函数的概念 观察以上两个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ t= ,y= . 合 作 探 究 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思 考 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ ★反比例函数的三种表达方式（k≠0）： 拓 展 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 针 对 练 习 10 知识点2 实际问题中的反比例函数 用反比例函数解析式表示下列问题中两个变量间的对应关系： (1)小明完成100 m赛跑时，所用时间 t(s)随他跑步的平均速度 v(m/s) 的变化而变化； (2)三角形的面积为20，它的底边 a 上的高 h 随底边 a 的变化而变化． 解：(1)∵vt＝100，∴t＝ (v＞0). (2)∵ ah＝20，∴h＝ (a>0)． 合 作 探 究 解：因为 是反比例函数, 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式. 典 例 精 析 例2 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为50km/h时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数. 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 .由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 典 例 精 析 1. 已知函数 是反比例函数，则k 必须满足 . 2. 当m= 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 针 对 练 习 A. B. C. D. 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( ) A 2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg； ②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； ③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为y cm； ④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为x，放满一桶水的时间y. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 随 堂 检 测 3. 填空. (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范 围是 . (3) 若y=是反比例函数，则m的取值是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 m = －2 随 堂 检 测 4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 ，解得 k =16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 随 堂 检 测 5. 已知y= y1+y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x + 1)成反比例，当x= 0时，y=－3；当x =1时，y=－1，求y关于x的关系式. 解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)， 则 . ∵ x= 0 时，y=－3；x=1 时，y= －1， －3=－k1+k2 ， ∴k1=1，k2=－2. ∴ ∴ 随 堂 检 测 6.如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， 所以 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 随 堂 检 测 反比例函数 反比例函数的定义及三种表达方式. 课 堂 总 结 16.4.2 第1课时 反比例函数的图象和性质（1） 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程. (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点) 学 习 目 标 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复 习 导 入 23 例1 画反比例函数 与 的图象. 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 知识点1 反比例函数的图象及画法 典 例 精 析 24 解：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表: x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 －12 12 典 例 精 析 25 O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线分别将第一象限和第三象限内的各点依次连起来，即可得反比例函数 和 　的图象． 典 例 精 析 26 O －2 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 反比例的图象有两支，通常称为双曲线. 概括 思考：这两条曲线会与x轴、 y轴相交吗？为什么？ 讲 授 新 课 观察前面两个函数图象，回答问题： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ 知识点2 反比例函数的性质 思 考 1.图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三 象限它们与 x 轴、y 轴都不相交. 2.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. ★反比例函数y=(k＞0) 的图象和性质： 讲 授 新 课 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 针 对 练 习 当k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊到一般的方法，研究反比例函数 (k＞0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ 思 考 y x O y x O y x O 讲 授 新 课 1.图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四 象限,它们与x轴、y轴都不相交. 2.在每个象限内，y随x的增大而增大. ★反比例函数y= (k＜0) 的图象和性质： 讲 授 新 课 (1)当k＞ 0 时，函数的图象在第_____、_____象限，在每一象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x＞0(x＜0)时，y 随x 的增大而______； (2)当k＜ 0 时，函数的图象在第_____、_____象限，在每一象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x＞0(x＜0)时，y 随x 的增大而______. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象所在的象限和增减性 一 三 减小 二 四 增大 讲 授 新 课 1.点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( 7，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 针 对 练 习 35 例2 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，求m 的值． 解：由题意，得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 典 例 精 析 例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6). 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A(2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限. 在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 典 例 精 析 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. 典 例 精 析 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一 支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此当x1＞x2时，y1＜y2. 典 例 精 析 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B.第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 2. 在同一直角坐标系中，函数y=-2x与 的图象大致是( ) O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 随 堂 检 测 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内， 则m的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1)(3) m ＞ 2 随 堂 检 测 5. 在反比例函数　　(k>0)的图象上有两点 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0. ＜ 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. 随 堂 检 测 7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在第一、三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第一、三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 随 堂 检 测 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 课 堂 总 结 16.4.2 第2课时 反比例函数的图象和性质（2） 1. 会求反比例函数的表达式. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的模型，能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 3.了解反比例函数表达式中k的几何意义；能运用k的几何 意义解决相关问题.（难点） 学 习 目 标 知识点1 求反比例函数的表达式 例1 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=，求这个反比例函数的表达式. 分析：我们在学习一次函数时,已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式.同样,我们可以用待定系数法求这个反比例函数的表达式. 合 作 探 究 解：设这个反比例函数为__________(其中k为待定系数). y= 由已知，当x=2时，y=，可得___________. = 可以求得 k= ， 所以这个反比例函数的表达式是y=. 合 作 探 究 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 解：(1)设 . ∵当 x=2时，y=6， ∴ 解得k =12. 因此 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. (2)把 x=4 代入 ，得 典 例 精 析 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 新 知 小 结 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . ∵当 x=3时，y=－4， ∴ 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y=6 代入 ， 得 解得x =－2. 针 对 练 习 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当v=100 时，f =40.所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80时， 解得 k =4000. 因此 典 例 精 析 52 知识点2 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 P D o y x 如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 . (m,n) 1 S△POD =OD·PD =|m||n| 　 =|k| =×2=1. 分析：设P点的坐标为（m,n） 合 作 探 究 如图,点P是反比例函数 图像上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,则阴影部分面积为_____. O M N P y=- 3 x y 针 对 练 习 P Q 0 x y P 0 x y 注意：面积与点P的位置无关 如图，点P在反比例函数 上， 则有以下结论： = =|k| 新 知 小 结 1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是 . P y x O y=- ==-(k＜0) 随 堂 检 测 O C B A x y 2.如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作AB⊥y轴于点B, 点C在x轴上，△ABC的面积为3，则这个反比例函数的解析式为______. y=- 随 堂 检 测 3.已知反比例函数 的图象经过点A(2，3)． (1) 求这个函数的表达式； (2) 判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：(1)∵ 反比例函数 的图象经过点A(2，3)， ∴ 把点A的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 随 堂 检 测 (2) 分别把点 B、C 的坐标代入反比例函数的解析式，得点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式. 所以点 B 不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上． (3)∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6. ∵ k > 0， ∴当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 随 堂 检 测 4.已知反比例函数 的图象经过点A(2，－4). (1) 求 k 的值； (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化? (3) 点B(1，－8),C(－3，5)是否在该函数的图象上？ 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = －8. 随 堂 检 测 （2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 因为点B的坐标满足该解析式，而点C的坐标不满足该解析式， 所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上. （3）该反比例函数的解析式为 . 随 堂 检 测 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？ 解：(1) (t>0)． 125－40＝85 ( m/min )． 即他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. (2)当 t＝25 时， ； 当 t＝8 时， . 随 堂 检 测 反比例函数 反比例函数中k的几何意义 用待定系数法求反比例函数解析式 建立反比例函数模型 课 堂 总 结 $