16.2 函数的图象 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕平面直角坐标系及函数的图象展开，涵盖坐标系概念、点的坐标特征、对称点性质及函数图象画法与信息读取。通过复习数轴点位置、结合电影院座位等情境导入，搭建从一维到二维的认知支架，衔接前后知识。 其亮点在于以生活实例引导学生用数学眼光观察现实，如图书馆位置问题抽象坐标系；通过合作探究和典例精析培养数学思维，如坐标符号规律推导；借助函数图象分析行程问题，强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

16.2 函数的图象 16.2.1 平面直角坐标系 1. 理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系. 2. 理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征.（重点） 3. 会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵坐标的符号.（难点） 4. 掌握平面直角坐标系内对称点的坐标的特征，并能据此进行简单计算.（重点、难点） 学 习 目 标 在数轴上，如何确定一个点的位置呢? 点A记作-2，点B记作3. 也就是说， 例如: 在数轴上一般用一个数据就可以表示一个点的位置． 复 习 导 入 小明父子俩周末去电影院看电影，买了两张票去观看，座位号分别是3排6号和6排3号.怎样才能既快又准地找到座位？ 情 境 导 入 在班里老师想找一个学生，你知道是谁吗？ 你认为确定一个位置需要几个数据？ 提示1：只给一个数据“第２列”，你能确定老师 要找的学生是谁吗？ 提示2：给出两个数据“第２列，第3排”，你能 确定是谁了吗？ 知识点1 点的坐标 思考1 思考2 讲 授 新 课 讲台 2 1 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 第3排 第2列 （2,3） （列数，排数） 约定：列数在前，排数在后 讲 授 新 课 （1）在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？ （2）如果将“6排3号”简记作（6，3），那么“3排6号”如何表示？（5，6）表示什么含义？ （6，5）呢? （3）在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？ 两个数据：排数和号数. 合 作 探 究 小丽能根据小明的提示从左图中能找出图书馆的位置吗？ 周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置. 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 合 作 探 究 4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只 说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？ 1.小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2.小明可以省去“西边”和“北边” 这几个字吗？ 3.如果小明说图书馆在“中山北路 西边、人民西路北边”，你能找 到吗？ 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 合 作 探 究 若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-50, 北 西 30） 人民路 中山路 讲 授 新 课 水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们称为坐标轴，两轴交点O称为原点. 在平面内，两条互相垂直且具有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，如右图所示. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 思考：如何在平面直角坐标系中表示点呢？ 讲 授 新 课 这样点P的横坐标是-2，纵坐标是3，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(-2，3). P(-2，3)就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 如图，点P如何表示呢？ 再由点P向y轴画垂线，垂足N在y轴上对应的数是3，称为点P的纵坐标. 先由点P向x轴画垂线，垂足M在x轴上对应的数是-2，称为点P的横坐标； P N M 讲 授 新 课 1 1 -1 -2 -3 -4 2 3 2 3 4 5 4 -1 -2 -3 -4 -5 0 Ａ （４，３） x y 1. 找出点Ａ的坐标. (1)过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数是４； (2)过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数是３； 点Ａ的坐标为（４，３） 试一试 讲 授 新 课 x O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3 y 2. 在平面直角坐标系中 找点A(3，-2). 由坐标找点的方法： (1)找到表示横坐标与纵坐标的点； (2)过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. A 讲 授 新 课 A B C E F D 例1 写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标. 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 【答案】 A（-2，0） B（0，-3） C（3，-3） D（4，0） E（3，3） F（0，3） y O x 典 例 精 析 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 在直角坐标系中描出下列各点： A（4，3）、 B（-2，3）、 C（-4，-1）、 D（2，-2）. 针 对 练 习 知识点2 各象限内及坐标轴上的点的坐标特征 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ四个区域. 分别称为第一、二、三、四象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限. 讲 授 新 课 活动1: 观察坐标系，填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出A(4，5) 、 B(-2，3)、 C(-4，-1)、 D(2.5，-2)、 E(0，-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？ 讲 授 新 课 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在x轴的正半轴上 在x轴的负半轴上 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出(-5，0)， (0，-5)，(3，0)，(0，3)，(0，0)所在的位置吗？你的方法又是什么？ A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 活动2：观察坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的特征： 讲 授 新 课 例2 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)、B(-3，4)、C(-4 ，-1)、D(2，-4). 典 例 精 析 解： 如图，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限. (5，4) (-3，4) (-4 ，-1) (2，-4) 典 例 精 析 例3 设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点． (1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？ (2)当ab>0时，点M位于第几象限？ (3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？ 解：(1)点M在第四象限. (2)点M在第一象限(a>0，b>0)或第三象限(a<0，b<0). (3)点M在第三象限(a<0，b<0)或第四象限(a>0，b<0) 或y轴负半轴上(a=0，b<0)． 典 例 精 析 已知在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内， 则m的取值范围是________． 分析：根据第一象限内点的坐标的符号特征：横坐标为正， 纵坐标为正，得关于m的一元一次不等式组 解得m＞2. m＞2 解题技巧：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式（组），解不等式（组）即可求出相应字母的取值范围． 针 对 练 习 例4 点A(m＋3，m＋1)在x轴上，则点A的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，－4) 分析：根据x轴上点的坐标特征知m＋1＝0，求出m的值，再代入m＋3中即可． B 解题技巧：坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求出点的坐标． 典 例 精 析 已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? A A′ M N 则点A′就是点A 关于 直线MN的对称点. O （2）延长AO至点A′， 使OA′=AO， （1）过点A作AO⊥MN， 垂足为点O； 知识点3 关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征 问题1 讲 授 新 课 x y O 如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗? A (2,3) A′(2,-3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗？ 问题2 讲 授 新 课 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点. C (3,-4) C '(3,4) B(-4,2) B '(-4,-2) (x , y) 关于 x 轴 对称 ( , ) x -y 新 知 小 结 关于x轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等，纵坐标互为相反数. （简称：横轴横相等） 1.点P(-5，6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________. 2.点M(a， -5)与点N(-2， b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____. (- 5 ,-6 ) -2 5 练一练 讲 授 新 课 如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗? x y O A (2,3) A′(-2,3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗？ 问题3 讲 授 新 课 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点. C (3,-4) C '(-3,-4) B(-4,2) B '(4,2) (x , y) 关于 y轴 对称 ( , ) -x y 新 知 小 结 关于y轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数，纵坐标相等. （简称：纵轴纵相等） 1.点P(-5，6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为 __________. 2.点M(a，-5)与点N(-2，b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____. (5 ，6 ) 2 -5 练一练 讲 授 新 课 如图，分别写出以下各点关于原点对称的点的坐标. -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x y 4321 -1 -2 -3 -4 B A D C M 关于原点对称的两点的坐标又有何特征呢？ P A(3，1)、 B(1，3)、 P(0，3)、 C(-1，3)、 D(-3，1)、 M(3，0). E(-3，-1)、 F(-1，-3)、 Q(0，-3)、 G(1，-3)、 H(3，-1)、 N(-3，0). E H F G Q N 针 对 练 习 O x y （x，y） M N （-x，-y） 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 讲 授 新 课 点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.不能构成对称关系 B 针 对 练 习 例5 已知点A(2a－b，5＋a)、B(2b－1，－a＋b)． (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若点A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2019的值． 解：(1)∵点A、B关于x轴对称， ∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0， 解得a＝－8，b＝－5. (2)∵点A、B关于y轴对称， ∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b， 解得a＝－1，b＝3. ∴(4a＋b)2019＝-1. 解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解． 典 例 精 析 例6 已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 解：依题意，得点P在第四象限， 解得 即a的取值范围是 解题技巧：解决此类题，一般先判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解． 典 例 精 析 1.如图，点A的坐标为( ) A.( -2，3) B.( 2，-3) C.( -2，-3) D.( 2，3) x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A A 2.如图，点B的坐标为 ， 点C的坐标为 . (-2，0) (0，-2) 0 0 B C 3.在y轴上的点的横坐标是____， 在x轴上的点的纵坐标是____. 随 堂 检 测 4.点 M（- 8，12）到x轴的距离是____，到y轴的距离是____. 12 8 5.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（－2，3） C．（－3，2） D．（－3，－2） A 6.如图，在平面直角坐标系中，点P(－1，2) 关于直线x=1的对称点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） C 随 堂 检 测 7.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； 解：（1）∵点P(a－2，2a+8)在x轴上， ∴2a+8=0，解得a=－4. 故a－2=－4－2=－6，则P(－6，0). （2）∵点P(a－2，2a+8)在y轴上， ∴a－2=0，解得a=2. 故2a+8=2×2+8=12，则P(0，12). 随 堂 检 测 7.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； （4）点P到x轴、y轴的距离相等． (3)∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴， ∴a－2=1，解得 a=3. 故2a+8=14，则P(1，14). (4)∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a－2=2a+8或a－2+2a+8=0， 解得 a=－10或a=－2. 当a=－10时，a－2=－12，2a+8=－12， 则P(－12，－12)； 当a=－2时，a－2=－4，2a+8=4， 则P(－4，4)． 综上所述，P(－12，－12)，(－4，4)． 随 堂 检 测 定义:原点、坐标轴 平面直角坐标系 一、定义与符号特征； 二、点的坐标的确定. 点的坐标 对称点的坐标特征 课 堂 总 结 16.2.2 函数的图象 1.理解函数的图象的概念. 2.掌握画函数图象的一般步骤，能画出一些简单的函数图象.（重点） 3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息.（难点） 学 习 目 标 记录的是某一种股票上市以来每天的价格变动情况. K线图 情 境 导 入 心电图 记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的变化情况. 情 境 导 入 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 气温T(C) 2 4 6 8 -2 0 下图为某地一天内的气温变化图. 图象上每一个点 的坐标(t,T)表示 时间为t时的气温 是T. 一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列的点组成.在图象上每一点的坐标(x,y)中,横坐标 x 表示自变量的某一取值,纵坐标 y 表示与它对应的函数值. 知识点1 函数图象 新 课 导 入 1.正方形的面积S与边长x的函数解析式为 ， 其中x的取值范围是 . 我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. 知识点2 函数图象的画法 S=x2 x>0 问题 讲 授 新 课 (2)怎样获得组成图形的点？ 先确定点的坐标.　　　　 (4)自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？ 取一些自变量的值，计算出相应的函数值． (3)怎样确定满足函数关系的点的坐标？ (1)在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对________来表示.即坐标平面内 与有序数对是一一 的. 有序数对 点 对应 想一想 讲 授 新 课 49 2.填写下表： 6.25 9 12.25 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．如右图中的曲线就叫函数 （x＞0）的图象． 用空心圈表示不在曲线的点. 用平滑曲线去连接画出的点. x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 S 0.25 1 2.25 4 讲 授 新 课 例1 画出下列函数的图象： （1） ； （2） . 解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 . 第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值， 算出y的对应值，填写在表格里： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … -5 -3 -1 1 3 5 7 全体实数 典 例 精 析 O x y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y=2x+1 第二步：根据表中数值描点（x，y）； 第三步：用平滑曲线连结这些点. 当自变量的值越来越大时， 对应的函数值 . 画出的图象是一条 ， 直线 越来越大 讲 授 新 课 -6 x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 … y … … 6 -3 -2 -1.2 -1.5 3 2 1.5 1.2 为什么没有“0”？ 解：(1)列表 ：取一些自变量的值，并求出对应的函数值，填入表中: 讲 授 新 课 y 5 x O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 6 -6 (2)描点：分别以表中 对应的x、y为横、纵 坐标，在坐标系中描 出对应的点； (3)连线：用光滑的曲 线把这些点依次连起来. (1，-6) 讲 授 新 课 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及 其 ； 第二步：描点——在平面直角坐标系中，以自变量 的值为 ，相应的函数值为 描 出表格中各数对对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标 的顺序， 把所描出的各点用 连起来. 对应的函数值 横坐标 纵坐标 平滑曲线 由小到大 画函数图象的一般步骤： 讲 授 新 课 （1）判断下列各点是否在函数 的图象上？ ①（-0.5，1）； ②（1.5，4）． （2）判断下列各点是否在函数 的图象上？ ①（2，3）；②（4，2）． 【点拨】把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，则该点不在函数图象上. 讲 授 新 课 画出下列函数的图象： (1)y=2x; x y 1 0 0 -1 2 -2 … … … … 2 4 -2 -4 解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数. ①列表如下： 针 对 练 习 y=2x ②描点； ③连线. 同样可以画出函数 的图象. 针 对 练 习 例2 画出函数 的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … 4.5 2 0.5 0.5 2 4.5 0 典 例 精 析 · 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 o 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · · · · · · 典 例 精 析 例3 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山． 有一天，小强让爷爷先走，然后追赶爷爷．图中两条线段分 别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分) 的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题： 知识点3 从函数图象读取信息 典 例 精 析 解：由图象可知：（1）小强出发0分钟时，爷爷已 经爬山60米，因此小强让爷爷先走60米. （2）山顶离山脚的距 离是300米，小强先爬 上山顶. （1）小强让爷爷先走多少米？ （2）山顶高多少米？谁先爬上山顶？ O 典 例 精 析 （3）因为小强和爷爷路程相等时是8分钟，所以小强用了8分钟 追上爷爷. （3）小强需多少时间追上爷爷？ O （4）小强爬山300米用了10分钟， 速度为300÷10=30(米/分)， 爷爷爬山300-60=240(米)， 用了10.5分钟，速度为240÷10.5≈23（米/分）， 因此小强的速度快，快7米/分. （4）谁的速度快？快多少？ 典 例 精 析 例4 某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题： （1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？ 解：（1）从横坐标看出，自行车发生故障的时间是7:05； 从纵坐标看出，此时离家1000 m. 典 例 精 析 （2）从横坐标看出，小明修车花了15 min； 小明修好车后又花了10 min到达学校. （2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到达学校？ （3）小明从家到学校的平均速度是多少？ （3）从纵坐标看出，小明家离学校2100 m； 从横坐标看出， 他在路上共花了30 min， 因此， 他从家到学校的平均速度是 2100 ÷ 30 = 70 （m/min）. 典 例 精 析 例5 一条小船沿直线向码头匀速前进,在0min、2min、4min、6min时,测得小船与码头的距离分别为200m、150m、100m、50m. （1）小船与码头的距离是时间的函数吗？ （2）如果是，写出函数的表达式，并画出函数图象. 函数表达式为： . 是 s= 200-25t 船速:(200-150)÷2 =25（m/min），则 s=200-25t. 知识点4 由实际问题确定函数图象 讲 授 新 课 t/min s/m O 1 2 3 4 5 6 7 50 100 150 200 画图： t/min 0 2 4 6 … s/m 200 150 100 50 … 列表： 讲 授 新 课 1. 小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行 车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了 5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距 离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象的是( ) D 随 堂 检 测 2.某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用2小时.已知摩托 车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的关系如 下图所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量为2升， 根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地共耗油 _______升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的过程. 0.9 分析：先以30千米/时速度行驶1小时，再休息半小时，又以同样速度行驶半小时到达乙地. 随 堂 检 测 69 3.小明同学骑自行车去郊外春游， 如图是他离家的距离y(km)与所 用的时间x(h)之间关系的函数图 象. （1）根据图象回答：小明到达离 家最远的地方需______h； （2）小明出发2.5 h后离家_______km； （3）小明出发__________h后离家12 km. 3 22.5 2.5 12 0.8或5.2 随 堂 检 测 O 4.画出下列函数的图象： （1）y=-2x-1；（2）y=0.5x+1. x 0 1 y=-2x-1 y=0.5x+1 -1 -3 1 y=-2x-1 1.5 y=0.5x+1 随 堂 检 测 函数图象的画法 函数的图象 从图象获取信息 课 堂 总 结 $