专题11 长方体和正方体的体积计算（导学案）五年级数学寒假自学课（西南大学版）

第11讲 长方体和正方体的体积计算 课前导入 【思考】一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。表面积和体积各增加了多少？ 知识点精讲 知识点一 长方体、正方体体积公式 内容 长方体 体积 = 长 × 宽 × 高 或 体积 = 底面积 × 高； 字母表达公式： 正方体 体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 或 体积 = 底面积 × 棱长 字母表达公式： 计算下面图形的体积。例1 求出下面各图形的体积。例2 计算下面图形的体积。（单位：厘米）练1 计算长方体体积。练2 知识点精讲 知识点二 体积的应用 内容 注意事项 用正方体积木拼长方体 1. 确定长方体的长、宽、高 2. 用 “长 × 宽 × 高” 计算体积 体积等于正方体积木的数量（每个积木体积为1cm3） 实际物体体积 1. 测量长、宽、高（棱长） 2. 代入长方体（正方体）体积公式计算 单位需统一 截最大正方体 1. 最大正方体的棱长 = 长方体最短的棱； 2. 用 “棱长 ³” 算体积；用 “长、宽、高分别除以棱长，取整数商相乘” 算数量 棱长不能超过长方体的最短边长 下图是由9个棱长为1厘米的小正方体组成，怎样做能把它变成一个长方体？新组成的长方体的体积是多少？例1 学校在新建的运动区内挖一个长方体形状的沙坑，长4米，宽2.8米，深0.4米，需要多少立方米黄沙才能将沙坑填满？例2 将一块长9厘米，宽7厘米，高8厘米的长方体木块截成体积最大的正方体木块，截成的正方体木块的体积是多少立方厘米？例3 下图中的长方体盒子最多能装( )个这样的小正方体。练1 一个正方体的棱长之和是108厘米，这个正方体一个面的面积是多少平方厘米？表面积是平方厘米？体积是立方厘米？练2 小磊要从一个长14分米、宽5分米、高9分米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？练3 一、选择题 1．体积是（ ）   A．105cm3 B．108cm3 C．110cm3 D．120cm3 2．一个棱长4dm的正方体容器，注入3dm高的水，又投入1dm³的铅块，这时容器所装物体的体积是（ ） A．64 dm³ B．48 dm³ C．49 dm³ D．12 dm³ 3．学习小组将个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，切割成边长为1厘米的小正方体，小正方体的个数是（    ）。 A．12个 B．15个 C．20个 D．60个 二、填空题 4．一个底面积是36cm2的正方体，它的体积是( )cm3。 5．一个长方体相交于同一顶点的三条棱长分别是5cm，3cm，4cm，这个长方体的体积是( )cm3。 6．一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 7．一段方钢高4dm，横截面是25cm2的正方形，这段方钢的体积是( )cm3。 8．琪琪家的茶叶盒是边长为10cm的小正方体。她把这些小正方体整齐摆放在一个长方体的透明收纳箱里。下图是琪琪取出一部分后，收纳箱中剩下的小正方体叶茶盒摆放的情况，这个收纳箱的容积是( )dm3。 三、判断题 9．一个正方体的棱长是6厘米，它的体积和表面积一样大。( ) 10．把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状变了，体积不变。( ) 四、计算题 11．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）     （1） （2） 12．计算正方体体积。 五、解决问题 13．把一个棱长12分米的正方体铁块铸造成一个底面积是108平方分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少分米？ 14．一个长方体石料的底面是边长3分米的正方体，高是5分米，要把它加工成体积最大的正方体，那么凿去的体积是多少立方分米？ 15．往鱼缸中放入3个长5厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体铁块后，鱼缸里的水面上升到380毫升的位置，鱼缸里原来有多少水？ 16．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 知识点一： 200cm3；125cm3；128cm3例1 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（cm3） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 8×4×4 ＝32×4 ＝128（cm3） 160cm3；125cm3；0.125m3例2 【分析】根据长方体（正方体）的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 【详解】（1）（cm3） 该图形的体积是160cm3。 （2）（cm3） 该图形的体积是125cm3。 （3）（m3） 该图形的体积是0.125m3。 1728立方厘米；2688立方厘米练1 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用12×12×12即可求出正方体的体积； 根据长方体的体积＝长×宽×高，用28×8×12即可求出长方体的体积。 【详解】12×12×12 ＝144×12 ＝1728（立方厘米） 正方体的体积是1728立方厘米。 28×8×12 ＝224×12 ＝2688（立方厘米） 长方体的体积是2688立方厘米。 900cm3练2 【分析】长方体的体积＝底面积×高，长方体中任意一个横截面都可以看作底面，再把与这个底面垂直的棱看作高即可。 【详解】 知识点二： 见详解；9立方厘米例1 【分析】图形是由9个棱长为1cm的小正方体组成，3×3＝9，1×9＝9，可以摆成3层，每层3个小正方体；也可以将9个小正方体摆成1层；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就是组成的长方体的体积。无论怎么摆长方体的体积都是一样的。 【详解】将这个图形中的最左上方的一个正方体移动到从下向上数的第三层最右边位置，就能把它变成一个长方体； 也可以将所有的小正方体全部放在第一层，也能把它变成一个长方体； 小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 新组成的长方体体积：1×9＝9（立方厘米） 答：新组成的长方体的体积是9立方厘米。 4.48立方米例2 【分析】根据题意可知，沙坑是一个长方体，已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，据此列式解答。 【详解】4×2.8×0.4 ＝11.2×0.4 ＝4.48（立方米）    答：需要4.48立方米黄沙才能将沙坑填满。 343立方厘米例3 【分析】由题意知：因9＞8＞7，所以只能以长方体的宽7厘米做为最大正方体的棱长。再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将数值代入计算即求得正方体木块的体积。 【详解】7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：截成的正方体木块的体积是343立方厘米。 36练1 【分析】从图中可知，沿长方体盒子的长摆了3个小正方体，沿盒子的宽摆了4个小正方体，沿盒子的高摆了3个小正方体，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体盒子最多能装小正方体的个数。 【详解】3×4×3 ＝12×3 ＝36（个） 最多能装36个这样的小正方体。 81cm2；486cm2 ；729cm2练2 【详解】108÷12=9（cm） 9×9=81（cm2） 9×9×6=486（cm2） 9×9×9=729（cm3） 125立方分米练3 【分析】以长方体的最短棱为棱长的正方体是长方体上切下的最大正方体，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 答：这个正方体的体积是125立方分米。 1．B 【详解】长方体体积=长×宽×高，由此根据公式计算即可． 4×3×9=108（cm³） 故答案为B． 2．C 【分析】用容积的底面积乘水的高度求出水的体积，再加上铅块的体积就是所装物体的体积． 【详解】4×4×3+1 =48+1 =49（dm³） 故答案为C． 3．D 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出长方体、小正方体的体积，再用长方体的体积除以小正方体的体积，就是小正方体的个数。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 1×1×1＝1（立方厘米） 60÷1＝60（个） 故答案为：D 【点睛】掌握长方体、正方体的体积公式是解题的关键。 4．216 【分析】正方体的底面积＝棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先求出棱长，再代入体积公式计算即可。 【详解】6×6＝36（cm2） 即棱长：6cm 6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 一个底面积是36cm2的正方体，它的体积是216cm3。 5．60 【分析】一个长方体相交于同一顶点的三条棱是这个长方体的长宽高，也就是长宽高分别为5cm，3cm，4cm，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【详解】5×3×4 ＝15×4 ＝60（cm3） 这个长方体的体积是60cm3。 6． 4 8 【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的（2×2）倍； 根据正方体的体积公式V＝a3以及积的变化规律可知，一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（2×2×2）倍。 【详解】2×2＝4 2×2×2＝8 一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 7．1000 【分析】根据题意可知，横截面的面积就是这段方钢的底面积，根据长方体的体积公式：底面积×高，即可解答。 【详解】4dm＝40cm 25×40＝1000（cm3） 这段方钢的体积是1000cm3。 【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，注意名数的统一。 8．90 【分析】由图可知：长方体的长等于小正方体的棱长×6，长方体的宽等于小正方体的棱长×5，长方体的高等于小正方体的棱长×3，由此分别求出长方体的长、宽、高，再代入体积（容积）公式：V＝abh计算即可。 【详解】10×6＝60（cm） 10×5＝50（cm） 10×3＝30（cm） 60×50×30＝90000（cm3） 90000cm3＝90dm3 这个收纳箱的容积是90dm3。 9．× 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积＝棱长×棱长×6，已知正方体棱长是6厘米，计算可得出体积和表面积，需要注意的是体积单位是立方厘米，表面积单位是平方厘米。据此可得出答案。 【详解】正方体的体积为：（立方厘米）； 表面积为：（平方厘米） 正方体的体积和表面积虽然数值相等，但单位不同，不能进行比较。即题干表述错误。 故答案为：× 10．√ 【分析】把一个正方体的橡皮泥捏成长方体，长方体和正方体的体积都是这块橡皮泥的体积，据此分析。 【详解】由分析可得：把一个正方体的橡皮泥捏成长方体，它的形状变了，体积不变，所以原题说法正确。 故答案为：√ 11．（1）324cm³；360cm³ （2）384cm²；512cm² 【分析】（1）长方体表面积＝（底面积＋前面面积＋侧面积）×2，长方体的体积＝长×宽×高； （2）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】表面积：（12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30） ×2 ＝162×2 ＝324（cm²）   体积：12×6×5 ＝72×5 ＝360（cm³） 表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm²）   体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm³） 12．125dm3 【分析】正方体的每个面都是正方形，底面积是25平方分米，根据经验可以算出正方体棱长为5分米，再根据“正方体的体积＝底面积×高”求得体积。 【详解】   13．16 dm 【详解】12×12×12=1728（dm³） 1728÷108=16（dm） 14．18 dm³ 【详解】3×3×（5-3）=18（dm³） 15．290毫升 【分析】铁块是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，得出1个铁块的体积为30立方厘米，那么3个铁块的体积是90立方厘米。将这3个铁块放入鱼缸时，水面会上升，水面上升到380毫升＝水本来的体积＋铁块的体积。则水原来的体积＝现在的体积－铁块的体积。注意：1立方厘米＝1毫升。 【详解】5×3×2＝30（立方厘米） 30×3＝90（立方厘米） 90立方厘米＝90毫升 380－90＝290（毫升） 答：鱼缸里原来有290毫升的水。 16．156250立方厘米 【分析】观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50 ＝75×50×50－25×25×50 ＝187500－31250 ＝156250（立方厘米） 答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $