精品解析：天津市双菱中学2025-2026学年高二上学期阶段检测（三）数学试题

双菱中学2025-2026学年度第一学期高二年级阶段检测（三） 数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共27分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 3. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 121 D. 144 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为______． 11. 已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是________. 12. 等比数列的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为______． 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和________. 14. 已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为______ 15. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知椭圆及直线，若直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，当的面积等于时，求的值. 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 20. 已知椭圆：的离心率，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双菱中学2025-2026学年度第一学期高二年级阶段检测（三） 数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共27分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量可得斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于直线l的一个方向向量为，故直线的斜率为， 故倾斜角为150°， 故选：D 2. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 3. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 4. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可得，而平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为， 故选：D 5. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 121 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据等差数列的前项和公式及等差数列的性质可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为121. 故选：C. 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 又，即， 所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． 故选：B 7. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 9. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，列方程可得点A的坐标，然后求解得，再由，即可求出双曲线的方程. 【详解】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为. 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为______． 【答案】． 【解析】 【分析】将方程化成标准形式即可得出答案. 【详解】由题意，，故其焦点在y轴正半轴上，． ∴焦点坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得焦点坐标，较简单. 11. 已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得所求直线的倾斜角为或，从而可得直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可. 【详解】由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或， 故直线方程为或，即或. 故答案为: 或. 12. 等比数列的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据奇数项与偶数项的和可得公比，再由等比数列前项和公式计算解方程可得结果. 【详解】设等比数列项数为项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 根据题意，得，可得； 又，整理得， 即，解得， 则这个等比数列的项数为8． 故答案为：8 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的定义得到数列是以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式进而得到，结合裂项相消法求和，即可求解. 【详解】根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 故答案为：. 14. 已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：，设切线方程，结合相切可得，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可. 【详解】因为抛物线过点，则，得到，所以， 显然切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x得， 则，整理得到，解得， 所以切线方程为，即， 又因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，整理得到，解得或（舍）. 故答案为：1. 15. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． 【小问1详解】 由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． 【小问2详解】 由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 17. 已知椭圆及直线，若直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，当的面积等于时，求的值. 【答案】或 【解析】 【分析】设，联立得到，且，再由弦长公式得到，点到直线的距离公式得到，最后根据求解即可． 【详解】设， 联立，， ， ，解得， ， 原点到直线的距离， ，即， 整理得，解得或， 即或． 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得， 而平面APC，平面APC，所以平面APC. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果. （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果. （3）由（2）中信息，利用空间向量求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线平面ABCD，平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCF的法向量，则，令，得， 设平面APC的法向量为，则，令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面APC的法向量，而， 所以点F到平面ACP的距离. 19. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 20. 已知椭圆：的离心率，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，将点代入椭圆方程，结合，可求解得的值，进而得标准方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标；根据平行关系，设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标，根据直线平行可用四个点的横坐标表示，再利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，且在上 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立，消去，得， 所以，因为，所以直线的方程可设为， 联立，消去，得， 所以点的横坐标为， 由，得 . 当且仅当，即时，等号成立， 由此，当时，有最小值，且最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $