精品解析：辽宁省丹东市宽甸县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度上学期学业质量监测 九年级数学试卷 本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 3. 匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.05 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 6. 如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数的图象上，则 9. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　) A. 4≥x＞2.4 B. 4≥x≥2.4 C. 4＞x＞2.4 D. 4＞x≥2.4 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，那么_______． 12. 如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为_________． 13. 若是方程的根，则的值为______． 14. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 15. 如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、验算步骤和推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 18. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 19. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若， ①求的长； ②求长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． （1）求点坐标及反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 21. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为16元/斤时，每月能售出700斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少25斤，已知该品相黄芪的平均成本价为12元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得高于25元，若要使销售黄芪的月利润达到6000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 22. 【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出图象； ②当时，的解集为______． 23. 中，点E是线段延长线上一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系：_____；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线干点F、且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期学业质量监测 九年级数学试卷 本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形是正方形中有一个圆，且正方形和圆不相切，如图所示： 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查“因式分解法”解一元二次方程，根据方程特点，用“因式分解法”进行求解即可．解题的关键是能够根据所给方程特点选择合适的求解方法． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：B． 3. 匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.05 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，频率稳定值可估计为概率． 利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：∵发球1000次，有效951次， ∴频率为， ∴估计概率为0.95． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，据此即可解答，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：， 由题意得：，， ， ， ， ． 故选B． 6. 如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移把不规则的图形变为规则图形是解题关键； 设路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，表示出长和宽，即可列出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为： 设道路宽为，则种草部分的宽为，长为，根据题意得： ． 故选：C． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 8. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点，都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，其中，根据的符号判断图象所在象限、点的位置、增减性及比较函数值即可． 【详解】解：A．∵， ∴图象在第一、三象限，故A正确； B．当时，，故点在图象上，故B正确； C．当时，随的增大而减小，故C不正确； D．，， ∴，故D正确． 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　) A. 4≥x＞2.4 B. 4≥x≥2.4 C. 4＞x＞2.4 D. 4＞x≥2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案． 【详解】 解：连接AP． ∵AB=6，AC=8，BC=10， ∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP=EF， ∵∠BAC=90°，M为EF中点， ∴AM=EF=AP， 当AP⊥BC时，AP值最小， 此时S△BAC=×6×8=×10×AP， AP=4.8， 即AP的范围是AP≥4.8， ∴2AM≥4.8， ∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）． ∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4， ∵P和B、C不重合， ∴x＜4， 综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4． 故选D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=AP． 10. 如图，矩形中，为中点，过点直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定以及三角形面积的计算．解题的关键在于利用矩形性质和已知条件得出是等边三角形，进而得到相关边和角的关系；通过证明三角形全等来得到边和角的等量关系；根据角的度数判断三角形的形状(如、是等边三角形)；利用线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理证明四边形是菱形；根据三角形面积公式和等高三角形面积比等于底之比来计算面积比． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ，，， 在等边中，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 由条件可知，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 等边三角形，故结论①正确； 和是等边三角形， ， 四边形是菱形，故结论③正确； ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ，故结论②正确； 在和中， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④共4个． 故选． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵，轴， ∴， 故答案为：． 13. 若是方程的根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程根的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用方程根的定义，将代入方程得出，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作于点，根据题意得：，，由矩形的性质可得，所对的直角边为斜边的一半，可得，代入数值，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、验算步骤和推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和配方法解方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以． 17. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点，如图所示， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 18. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 19. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若， ①求的长； ②求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①2 ② 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 对于（1），根据菱形的性质得，再结合得出四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论； 对于（2），①根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案； ②，先根据菱形的性质得出，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴； ②∵四边形是菱形，且， ∴，． 在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得, 即， 解得． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． （1）求点坐标及反比例函数表达式； （2）求的面积； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积； （3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为：． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立，解得或， ∴另一个交点的坐标为． 【小问2详解】 解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∵点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴交轴于点，如图： ∵点的坐标为， ∴，， 对于一次函数，当时，，当时，， 即点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵轴上存在一点，使与相似， ∴有以下两种情况， ①当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 综上所述：点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 21. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为16元/斤时，每月能售出700斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少25斤，已知该品相黄芪的平均成本价为12元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由． （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得高于25元，若要使销售黄芪的月利润达到6000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）作图见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的性质，一元二次方程的应用， 对于（1），分别连接矩形和菱形的对角线，再分别过对角线的交点作直线即可将这块土地分成面积相等的两部分； 对于（2），设黄芪的销售单价定为x元，根据利润相等列出一元二次方程，并舍去不符合题意的解，可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的直线； 【小问2详解】 解：设黄芪的销售单价定为x元，根据题意，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， 所以，李伯将销售单价定为24元． 22. 【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 23. 中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． （1）如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系：_____；（直接写出结论） （2）如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； （3）如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线干点F、且，求． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，即可求出与之间的数量关系； （2）证明即可求出，再利用即可求出； （3）求出，，再求出，，即可求出，再利用勾股定理求出，所以． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：假设和交于点H， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即菱形边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形性质，菱形性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $