5.2.3简单复合函数的导数对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3简单复合函数的导数对点训练（学生版） 必备知识: 【1】复合函数的概念： 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作  . 【2】判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量的基本初等函数. 【3】复合函数的导数： 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数,的导数间的关系为  .即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【4】求复合函数的导数的步骤 【5】求复合函数图象的切线的方法步骤 （1）判断问题是求复合函数图象在某点处的切线还是过某点的切线，若不知道切点，则需先设切点的坐标. （2）求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线的点斜式方程，进一步求解. 对点训练: 一、单选题 1．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 2．吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 4．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 5．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 6．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．某质点的位移x（单位：m）关于时间t（单位：s）的关系式为，则该质点的初速度大小为（    ） A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s 8．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 10．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若函数及其导函数的定义域均为，且均为偶函数，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是奇函数 C．一定是偶函数 D．一定是偶函数 三、填空题 12．已知函数，则 . 13．已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 14．已知函数，则的值为 ． 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 16.设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.3简单复合函数的导数 对点训练（详解版） 必备知识: 【1】复合函数的概念： 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作  . 【2】判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量的基本初等函数. 【3】复合函数的导数： 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数,的导数间的关系为  .即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 【4】求复合函数的导数的步骤 【5】求复合函数图象的切线的方法步骤 （1）判断问题是求复合函数图象在某点处的切线还是过某点的切线，若不知道切点，则需先设切点的坐标. （2）求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线的点斜式方程，进一步求解. 对点训练: 一、单选题 1．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数的导函数. 故选：C 2．吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系式为，则关于的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】应用复合函数导数公式计算求解瞬时变化率. 【详解】关于的瞬时变化率为. 故选：B. 3．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】利用导数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 4．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解. 【详解】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 5．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据复合函数的导数计算即可； 【详解】解：由复合函数的导数法则， . 故选：A 6．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 7．某质点的位移x（单位：m）关于时间t（单位：s）的关系式为，则该质点的初速度大小为（    ） A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s 【答案】B 【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数 【分析】利用复合函数求导法则先求导，即得，求即可. 【详解】由可得， 所以 ， 所以该质点的初速度大小为m/s． 故选：B. 8．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 二、多选题 9．已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 10．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本函数导数公式、运算法则及复合函数求导公式判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11．若函数及其导函数的定义域均为，且均为偶函数，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是奇函数 C．一定是偶函数 D．一定是偶函数 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义及复合函数的求导法则变形，再利用奇偶函数的定义逐项判断. 【详解】由均为偶函数得，， 求导得，即， 对于A，由，得与不一定恒等，不一定是奇函数，A错误； 对于B，由，得一定是奇函数，B正确； 对于C，，一定是偶函数，C正确； 对于D，与不一定恒等，不一定是偶函数，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．已知函数，则 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意，利用导数的定义，化简得到，再由，求得，即可求解. 【详解】由， 又由函数，可得，则， 所以. 故答案为：. 13．已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】在等式两边求导，令，可求出的值，即可得出函数的解析式，再求出切点坐标，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 14．已知函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据正切函数的性质与切化弦公式化简函数，根据导数除法运算公式与复合函数求导，从而可得所求. 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以. （2）设，则， 所以. （3）设，则， 所以. （4）设，则， 所以. 16.设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【详解】（1）， 依题意知：， . （2） . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $