8.6.3平面与平面垂直讲义第三课时-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直第三课时

求二面角的平面角的常用方法

一、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，

在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角

例1.在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A【解析】取的中点为，连接，如下图所示：

因为为等边三角形，，所以，且；

又为等腰直角三角形，所以，且；

由二面角定义可得即为二面角的平面角，

在中，，，，由余弦定理可得；

又，所以，即二面角的大小为.故选：A

二、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用

（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

（2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。

例2.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．

(1)证明：平面ABC⊥平面；

(2)若，求二面角的余弦值．

【解析】（1）连接，如图，由是菱形，所以．

又，，所以平面，故,

又，，所以AB⊥平面，又平面ABC．

所以平面ABC⊥平面．

（2）过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接．由平面ABC⊥平面，平面平面，所以平面ABC，所以，．又OH⊥BC，，所以BC⊥平面，故为二面角的平面角．

设，由，可知O为AC的中点，所以．

又，平面，平面，所以AB⊥AC，所以．

所以．所以，

所以二面角的余弦值为．

三、垂面法（空间一点垂面法）

（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C，

面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。

例3.如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H．

(1)求证：AB⊥平面PCD；

(2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小．

【解析】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．

又，，故AB⊥平面PCD．

（2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH，

∴∠CHD是二面角的平面角；

∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°，∴∠CHD＝120°；

即二面角的大小是120°．

 

 

 

二面角练习题

1.如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ）

A．        B．         C．     D．

2.假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为        .

4.正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5.已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为       ．

 

6.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，

是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的

平面与交于点.

(1)求证：；(2)求证：；(3)求二面角的正切值.