微专题15 数列与其他知识的交汇问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列与三角、集合、圆锥曲线、导数的交汇问题，按知识关联梳理四大交汇类型，构建“考点解析-方法提炼-真题演练”的复习体系。通过典型例题剖析命题规律，配套分层训练巩固解题技巧，帮助学生突破跨模块综合题难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以跨学科整合为特色，创新采用“问题链驱动”教学法，如在数列与三角交汇中，通过证明函数中心对称结合等差数列性质推导结论，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。设置精准强化练分层突破，配合真题变式训练，确保短时间内提升综合应用能力，为教师把控复习节奏、学生高效备战提供有力支持。

微专题15　数列与其他知识的交汇问题 近几年高考：1.数列与三角的交汇主要有数列{an}的通项中有三角函数,另一类是数列{an}中的通项an作为三角函数中的角出现等. 2.数列与集合的交汇主要体现在对数列与集合元素的关系的考查与应用等. 3.数列与圆锥曲线融合交汇的综合题是高考中的热点题型.这类试题体现了以能力立意的命题指导思想,呈现出立意新、角度活、思维跨度大、综合性强等特点. 4.数列与导数的交汇主要考查利用导数研究函数的性质,再运用结论解决数列问题. 二．典型例题 1.　数列与三角的交汇 例1 已知f(x)=x+2sin x,等差数列{an}的前n项和为Sn,记Tn=f(ai). (1)求证:函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称; (2)若a1,a2,a3是某三角形的三个内角,求T3的取值范围; (3)若S100=100π,求证:T100=100π.反之是否成立?并请说明理由. (1)证明　f(x)=x+2sin x, f(2π-x)=(2π-x)+2sin(2π-x)=2π-x-2sin x, f(x)+f(2π-x)=x+2sin x+2π-x-2sin x=2π, 故函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称. (2)解　因为{an}为等差数列, 所以a1+a2+a3=3a2, 又因a1,a2,a3是某三角形的三个内角, 所以a1+a2+a3=π, 得a2=,a1+a3=, T3=a1+2sin a1+a2+2sin a2+a3+2sin a3 =π+2sin a1+2sin+2sin, 化简得T3=π++3sin a1+cos a1=π++2sin, 因为a1,a2,a3是某三角形的三个内角, 且a2=,所以a1∈, 即a1+∈,sin∈, 可得T3∈. (3)证明　若S100=100π,根据等差数列性质可得50(an+a101-n)=100π(1≤n≤50,n∈N*), 由此可得an+a101-n=2π,a101-n=2π-an, sin a101-n=sin(2π-an)=-sin an, 即sin an+sin a101-n=0, T100=f(ai)=(ai+2sin ai)=ai+2sin ai=S100+2×50(sin an+sin a101-n), 解得T100=100π,证毕. 反之,若T100=100π, 即T100=f(ai)=S100+sin ai=100π. 因为{an}为等差数列,所以50(an+a101-n)=S100⇒an+a101-n=(1≤n≤50,n∈N*), 即T100=f(ai) =S100+=100π, 当且仅当sin=-sin ai时,S100=100π, 若sin≠-sin ai, 则S100≠100π, 故反之不成立,证毕. 训练1 (2025·汕头二模)已知数列{an},an=n2,其前n项和为Sn. (1)求a1+a2+a3; (2)求S3n; (3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,证明:Tn<22. (1)解　因为an=n2=n2·cos , 所以a1+a2+a3=cos +4cos +9cos 2π=--2+9=. (2)解　因为a3k-2+a3k-1+a3k =(3k-2)2·cos +(3k-1)2·cos +(3k)2·cos 2π =--+(3k)2=9k-, 所以S3n=·n=. (3)证明　因为bn==·=(9n+4)·, 所以Tn=13×+22×+31×+…+(9n-5)·+(9n+4)·, 从而Tn=13×+22×+…+(9n-5)·+(9n+4)·, 两式相减得 Tn=2+9-(9n+4)· =2+9·-(9n+4)· =2+- =11-, 故Tn=22-<22,得证. 2.　数列与集合的交汇 例2 (2025·湖北八市联考)有穷等差数列{an}共有m项(m>2),公差为1,前n项和为Sn,a1=a2,am=b2(a,b为正整数).T为集合A={ak|ak为完全平方数,k=1,2,…,m}中所有元素之和. (1)当a=2,b=6时,求; (2)从数列{an}中任取一项ai,若ai∈A的概率为,试求出所有的数对(a,b); (3)设X为正整数,将X2从正中间分割为两个数(若X2的位数是奇数,在数的前面补上0再分割),若这两个数的和恰好等于X,则称X2为“漂亮数”.例如:92=81,8+1=9,所以81是一个“漂亮数”,2972=88 209,88+209=297,所以88 209是一个“漂亮数”.当a=32,b=99时,从集合A中任取一个元素,求该元素为“漂亮数”的概率. 解　(1)当a=2,b=6时,a1=4,am=36,m=33,Sm=×33=660, A={4,9,16,25,36}, ∴T=4+9+16+25+36=90, 故==. (2)∵公差d==1, 即=1, ∴m=b2-a2+1. 又A中元素的个数为b-a+1, 由题意=. 整理得b2-a2+1=100(b-a)+100, 得b2-a2-100(b-a)=99, ∴(b-a)(b+a-100)=99. ∵a,b均为正整数,且b>a, ∴ 或 或 解得 故满足条件的数对有(1,100),(35,68),(49,60),(51,60),(65,68),(99,100). (3)由题意,“漂亮数”一定是完全平方数, 又322=1 024,992=9 801, 故此时数列{an}中的数全部是四位数. 可设{an}中的“漂亮数”为p2=100x+y且p=x+y, 其中32≤p≤99,x为两位数,y为两位数或一位数. ∴(x+y)2=100x+y, ∴(x+y)2-(x+y)=99x, 即(x+y)(x+y-1)=99x, ∴99整除(x+y)(x+y-1). 注意到99=1×99=3×33=9×11, 又32≤x+y≤99, ①若x+y=99,则x+y-1=x, 此时x=98,y=1, ∴9 801是一个“漂亮数”; ②若x+y<99,注意到(x+y)(x+y-1)为相邻整数,不可能同时为3的倍数, ∴必有9整除x+y,11整除x+y-1,或者11整除x+y,9整除x+y-1. 下列分两种情况进行讨论: (ⅰ)x+y=9λ,x+y-1=11μ,4≤λ≤10,λ,μ∈N*, 两式相减可得9λ-11μ=1, 即μ=. ∵μ∈N*,∴λ只能取5,此时μ=4, ∴x+y=45,∴452=2 025是一个“漂亮数”. (ⅱ)x+y=11λ,x+y-1=9μ,3≤λ≤8,λ,μ∈N*, 两式相减可得11λ-9μ=1,即μ=. ∵μ∈N*,所以λ只能取5,此时μ=6, ∴x+y=55,∴552=3 025是一个“漂亮数”. 综上所述,当a=32,b=99时,数列{an}中的“漂亮数”有2 025,3 025,9 801,共3个, 且都属于集合A; 而集合A中元素的个数为68; 故从A中任取一个元素,且该元素为“漂亮数”的概率为. 训练2 用符号|A|表示集合A中元素的个数.对于实数集合A和B,且|A|≥2,|B|≥2,定义两个集合: ①和集A+B={a+b|a∈A,b∈B}; ②邻差集D(A)={ak+1-ak|k=1,2,…,|A|-1}, 其中a1,a2,…,a|A|为集合A中元素按照从小到大排列. (1)已知集合A={1,3,5},B={2,4},求|D(A+B)|,|D(A)∪D(B)|的值; (2)已知集合A={2n|n=1,2,…,100},B={4n|n=1,2,…,100},求|A+B|的值; (3)若A与B都是由m(m≥3,m∈N*)个实数构成的集合,证明:|A+B|=2m-1的充要条件是|D(A)∪D(B)|=1. (1)解　因为A={1,3,5},B={2,4}, 所以A+B={3,5,7,9}, 所以D(A+B)={2},D(A)={2},D(B)={2}, 所以|D(A+B)|=1,|D(A)∪D(B)|=1. (2)解　考虑2i+4j=2s+4t(*), 不妨设j<t,则i>s, ①当t≤51时,4t-(4j+2i)≥4t-4t-1-2i=3·4t-1-2i≥3·450-2100>0,此时(*)式不成立; ②当t≤50时,若i>2t,则2i-(2s+4t)≥2i-2i-1-4t=2i-1-4t≥22t-22t=0,此时(*)式不成立; 若i<2t,则4t-(4j+2i)≥4t-4t-1-2i=3·4t-1-2t≥3·22t-2-22t-1=·22t-1-22t-1>0,此时(*)式也不成立; 若i=2t,则取s=2j,此时(*)式成立. 由上分析知和集中重复的元素个数共=1 225个. 所以|A+B|=100×100-1 225=8 775. (3)证明　充分性的证明: 当|D(A)∪D(B)|=1时,不妨设D(A)=D(B)={d}, 设集合A={a1,a2,…,am}, B={b1,b2,…,bm}, 其中a1<a2<…<am, b1<b2<…<bm, {an},{bn}(n=1,2,…,m)是公差为d的等差数列. 因此A+B={a1+b1,a1+b1+d,…,a1+b1+2(m-1)d},A+B里面的元素也是公差为d的等差数列,所以|A+B|=2m-1. 必要性的证明: 设集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bm},其中a1<a2<…<am,b1<b2<…<bm, 则a1+b1<a2+b1<…<am+b1<am+b2<…<am+bm. 这里共2m-1个不同元素, 又|A+B|=2m-1, 所以上面为和集A+B中的所有元素. 又a1+b1<a1+b2<…<a1+bm<a2+bm<…<am+bm,这里共2m-1个不同元素,也为和集A+B的所有元素, 所以有a2+b1=a1+b2, 即a2-a1=b2-b1. 一般地,由 a1+b1<a1+b2<…<a1+bk<a2+bk<…<am+bk<am+bk+1<…<am+bm, a1+b1<a1+b2<…<a1+bk<a1+bk+1<a2+bk+1<…<am+bk+1<…<am+bm, 可得a2+bk=a1+bk+1, 即a2-a1=bk+1-bk(1≤k≤m-1). 同理可得b2-b1=ak+1-ak(1≤k≤m-1),得证. 3.　数列与圆锥曲线、导数的交汇 例3 已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn). (1)若k=,求x2,y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意的正整数n,Sn=Sn+1. (1)解　∵P1在C上,∴m=52-42=9, 故k=时,有 解得(舍), ∴x2=3,y2=0. (2)证明　设Pn(xn,yn),Qn(-xn+1,yn+1), 直线PnQn斜率为k. 设zn=xn-yn, ∴ 则=1, 结合=k, 得 两式相减,得zn+1-zn=k(zn+1+zn), ∴=, ∴数列{xn-yn}是公比为的等比数列. (3)证明　要证Sn+1=Sn, 即证=, 这等价于Pn+1Pn+2∥PnPn+3. 设=q, 由(2)知 ∴xn=, yn=, ∵= = =1- =1- =1-, == =1- =1- =1-, 故=,Pn+1Pn+2∥PnPn+3, ∴Sn=Sn+1. 训练3 已知正项数列{an},a1=1,an+1=ln(an+1),n∈N*.求证: (1)an+1<an;(2)an-2an+1<an·an+1; (3)<an≤. 证明　(1)先证明ln(x+1)<x对x∈(0,+∞)恒成立, 记f(x)=ln(x+1)-x, 则f'(x)=-1=<0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以x>0时,f(x)<f(0)=0, 所以x∈(0,+∞)时,ln(x+1)<x. 又an>0,所以an+1=ln(an+1)<an, 即an>2an+1>an+1. 即an+1<an,得证. (2)要证an-2an+1<an·an+1成立, 只需证an-ln(an+1)<·an·ln(an+1)成立, 即证ln(an+1)>成立. 记g(x)=ln(x+1)-,x∈(0,+∞), 则g'(x)=-=>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以x>0时,g(x)>g(0)=0, 所以x∈(0,+∞)时,ln(x+1)>, 又an>0,所以ln(an+1)>,得证. (3)由(2)知an-2an+1<an·an+1, 即<+1, 则+1<+2=2,即<2, 又+1=2,所以+1≤2·2n-1=2n, 所以an≥>; 由(1)知an>2an+1,所以<,又a1=1, 则an≤1·=. 综上,<an≤. 【精准强化练】 1.(2025·北京东城区模拟)对于一个递增正整数数列{an},如果它的奇数项为奇数,偶数项为偶数,则称它是一个交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合{1,2,…,n}的所有交错数列的个数记为An.例如,当n=1时,取自集合{1}的交错数列只有1一种情况,则A1=1;当n=2时,取自集合{1,2}的交错数列有1和1,2两种情况,则A2=2. (1)求A3和A4的值; (2)证明:取自集合{1,2,…,n}(n≥3)的首项不为1的交错数列的个数为An-2; (3)记数列{An}的前n项和为Sn,求使得Sn>2 025成立的n的最小值. (1)解　当n=3时,取自集合{1,2,3}的交错数列有1;3;1,2;1,2,3四种情况,因此A3=4; 当n=4时,取自集合{1,2,3,4}的交错数列有1;3;1,2;1,4;3,4;1,2,3;1,2,3,4七种情况,因此A4=7. (2)证明　设数列a1,a2,…,am是取自集合{1,2,…,n}的交错数列, 因为a1≠1且是奇数,所以a1≥3, 构造数列bi=ai-2,i=1,2,…,m, 则bi∈{1,2,…,n-2}, 此时数列b1,b2,…,bm的个数是取自集合{1,2,…,n-2}的所有交错数列的个数An-2, 因为数列a1,a2,…,am是递增数列,所以对于每一个bi∈{1,2,…,n-2}都有且仅有一个ai∈{3,4,…,n}与之对应, 所以取自集合{1,2,…,n}(n≥3)的首项不为1的交错数列的个数为An-2. (3)解　设数列a1,a2,…,am是取自集合{1,2,…,n}的交错数列, 由(2)得,当a1≥3时,所有交错数列的个数为An-2, 当a1=1时,若n=1,则仅有一个交错数列; 若n≥2时,构造数列bj-1=aj-1(2≤j≤n), 则bj-1∈{1,2,…,n-1}, 此时数列b1,b2,…,bm-1的个数是取自集合{1,2,…,n-1}的所有交错数列的个数An-1, 因为数列a1,a2,…,am是递增数列, 所以数列b1,b2,…,bm-1与数列a2,a3,…,am之间一一对应. 又因为a1=1, 所以数列a1,a2,…,am(m≥2)的所有交错数列的个数为An-1. 综上所述,An=An-1+An-2+1(n≥3). 当n≥3时,由 累加得Sn-A2-A1=Sn-1-A1+Sn-2+n-2, 因为A1=1,A2=2, 所以Sn-2=An-n(n≥3), 由An=An-1+An-2+1及(1)得A5=12,…, A13=609,A14=986,A15=1 596,A16=2 583, 显然{Sn}单调递增, 因为S13=A15-15=1 581, S14=A16-16=2 567, 所以S13<2 025<S14, 所以使得Sn>2 025成立的n的最小值为14. 2.(2025·郑州质检)已知一列椭圆Cn:x2+=1,0<bn<1,n=1,2,….若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn,Gn分别是Cn的左、右焦点. (1)求证:bn≤(n≥1). (2)取bn=,并用Sn表示△PnFnGn的面积,求证:S1<S2且Sn>Sn+1(n≥3). 证明　(1)由题意,a=1,cn==,准线ln的方程为x==, 根据椭圆的定义,有|PnFn|+|PnGn|=2a=2, dn==1, 设点Pn(xn,yn),则有xn=-1, 椭圆Cn左顶点的坐标为(-1,0),右顶点的坐标为(1,0),Pn在Cn上, ∴-1≤xn≤1, 即-1<-1≤1, 解得bn≤. (2)由题意,|FnGn|=2cn,xn=-1, bn=, =1-=, cn=,-1=, yn=bn= =, Sn=|FnGn|·yn=, 考查=, 构造函数f(x)=, 则有f'(x)= =, 当1≤x≤2时,f'(x)>0, 所以<,S1<S2; 当x≥3时,f'(x)<0,所以在n≥3时单调递减,即Sn>Sn+1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题15　数列与其他知识的交汇问题 近几年高考：1.数列与三角的交汇主要有数列{an}的通项中有三角函数,另一类是数列{an}中的通项an作为三角函数中的角出现等. 2.数列与集合的交汇主要体现在对数列与集合元素的关系的考查与应用等. 3.数列与圆锥曲线融合交汇的综合题是高考中的热点题型.这类试题体现了以能力立意的命题指导思想,呈现出立意新、角度活、思维跨度大、综合性强等特点. 4.数列与导数的交汇主要考查利用导数研究函数的性质,再运用结论解决数列问题. 二．典型例题 1.　数列与三角的交汇 例1 已知f(x)=x+2sin x,等差数列{an}的前n项和为Sn,记Tn=f(ai). (1)求证:函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称; (2)若a1,a2,a3是某三角形的三个内角,求T3的取值范围; (3)若S100=100π,求证:T100=100π.反之是否成立?并请说明理由. 训练1 (2025·汕头二模)已知数列{an},an=n2,其前n项和为Sn. (1)求a1+a2+a3; (2)求S3n; (3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,证明:Tn<22. 2.　数列与集合的交汇 例2 (2025·湖北八市联考)有穷等差数列{an}共有m项(m>2),公差为1,前n项和为Sn,a1=a2,am=b2(a,b为正整数).T为集合A={ak|ak为完全平方数,k=1,2,…,m}中所有元素之和. (1)当a=2,b=6时,求; (2)从数列{an}中任取一项ai,若ai∈A的概率为,试求出所有的数对(a,b); (3)设X为正整数,将X2从正中间分割为两个数(若X2的位数是奇数,在数的前面补上0再分割),若这两个数的和恰好等于X,则称X2为“漂亮数”.例如:92=81,8+1=9,所以81是一个“漂亮数”,2972=88 209,88+209=297,所以88 209是一个“漂亮数”.当a=32,b=99时,从集合A中任取一个元素,求该元素为“漂亮数”的概率. 训练2 用符号|A|表示集合A中元素的个数.对于实数集合A和B,且|A|≥2,|B|≥2,定义两个集合: ①和集A+B={a+b|a∈A,b∈B}; ②邻差集D(A)={ak+1-ak|k=1,2,…,|A|-1}, 其中a1,a2,…,a|A|为集合A中元素按照从小到大排列. (1)已知集合A={1,3,5},B={2,4},求|D(A+B)|,|D(A)∪D(B)|的值; (2)已知集合A={2n|n=1,2,…,100},B={4n|n=1,2,…,100},求|A+B|的值; (3)若A与B都是由m(m≥3,m∈N*)个实数构成的集合,证明:|A+B|=2m-1的充要条件是|D(A)∪D(B)|=1. 3.　数列与圆锥曲线、导数的交汇 例3 已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn). (1)若k=,求x2,y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意的正整数n,Sn=Sn+1. 训练3 已知正项数列{an},a1=1,an+1=ln(an+1),n∈N*.求证: (1)an+1<an;(2)an-2an+1<an·an+1; (3)<an≤. 【精准强化练】 1.(2025·北京东城区模拟)对于一个递增正整数数列{an},如果它的奇数项为奇数,偶数项为偶数,则称它是一个交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合{1,2,…,n}的所有交错数列的个数记为An.例如,当n=1时,取自集合{1}的交错数列只有1一种情况,则A1=1;当n=2时,取自集合{1,2}的交错数列有1和1,2两种情况,则A2=2. (1)求A3和A4的值; (2)证明:取自集合{1,2,…,n}(n≥3)的首项不为1的交错数列的个数为An-2; (3)记数列{An}的前n项和为Sn,求使得Sn>2 025成立的n的最小值. 2.(2025·郑州质检)已知一列椭圆Cn:x2+=1,0<bn<1,n=1,2,….若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn,Gn分别是Cn的左、右焦点. (1)求证:bn≤(n≥1). (2)取bn=,并用Sn表示△PnFnGn的面积,求证:S1<S2且Sn>Sn+1(n≥3). 学科网（北京）股份有限公司 $