精品解析：广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题（1.2）

中山市华侨中学高三数学测 2026.1.2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离等于1的点有且仅有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A与B相互独立，且，，则 B. 设随机变量X服从正态分布，则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则S＝ B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 13. 已知,,,则原点到平面的距离为__________． 14. 函数的最小值为______. 四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 16. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 17. 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市华侨中学高三数学测 2026.1.2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 由，得， 则， 则. 故选：C. 2. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立， 故选：A. 3. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 5. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角. 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以.  因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则.  设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以.  则与夹角的大小是. 故选：C. 6. 志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 7. 已知圆上到直线的距离等于1的点有且仅有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于时，满足只有两个圆上的点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，因此. 故选C. 考点：直线与圆的位置关系，点到直线距离 8. 已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】作出图像， 令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且， 则，解得， 故选：. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A与B相互独立，且，，则 B. 设随机变量X服从正态分布，则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定B错误；根据相关系数的含义，可判定C正确；根据残差的含义，可判定D正确. 【详解】对于A中，若事件A与B相互独立，且，， 可得，则，所以A正确； 对于B中，设随机变量X服从正态分布，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B错误； 对于C中，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强， 所以C正确； 对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则S＝ B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解 【详解】由，得，则 焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确． 当S＝4时，，由，可得，故 B错误． 当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确． 设，则，由题设知，则，所以，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 13. 已知,,,则原点到平面的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用空间中点到面的距离公式求解. 【详解】设原点到平面的距离为，平面的法向量为， 则，，， 即得，令，可得，， 故，则， 故答案为：. 14. 函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角. （2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求. 法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值. 法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值. 【小问1详解】 法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 16. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可 （2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率， 再根据条件概率求解即可. 【小问1详解】 设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2， ，， 由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为： ； 【小问2详解】 设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则､､彼此互斥，且， ， ， ， ， ， ， 所求概率即是发生的条件下发生的概率：. 17. 已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质得出即可； （2）当直线的斜率不存在时不符合题意；存在时设，由直线与圆O相切得到，然后直曲联立，写出韦达定理，用斜率和m表示的弦长公式写出三角形面积，解出方程组的解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ，， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 若圆O的切线轴，则，，不满足题意． 设直线的方程为， 直线与圆O相切，，， 联立与， 消y得． , 设，，则，． 到直线的距离为1，则 ， 将代入消m可得， 化简可得，解得（负值舍去）， ，故直线的斜率为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $