期末核心素养检测卷2025-2026学年八年级上学期数学（浙教版）

八年级数学上学期期末核心素养检测卷 （浙教版，新教材） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 5．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 7．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 9．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 11．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 12．某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球． 13．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 14．如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 15．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点，平分．有下列四个结论：①；②；③：④若，则．其中正确的序号是 ． 16．在平面直角坐标系中，对于点，定义：点为点的“和倍点”．已知直线：与轴、轴分别相交于两点，点为直线上一点，其“和倍点”满足：，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．解下列不等式（组）． (1) (2) 18．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 19．如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点都在小正方形的格点上，在网格上建立平面直角坐标系．已知． (1)取一点，将平移至，其中点的对应点为，点B的对应点为E，点C的对应点为F，请在图中画出； (2)的面积为 ． (3)若在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，写出所有点的坐标： ． 20．已知一次函数． (1)已知随增大而减小，求的取值范围； (2)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； (3)图象不经过第三象限，求的取值范围． 21．在中，，，分别平分，，交，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，交于点，作交延长线于点，若，请直接写出图中与相等的线段． 22．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 23．某高速公路经过A、C、B三地，A、B两地相距千米，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别开往B、A两地．甲、乙两车到C地的距离，千米与行驶时间小时的关系如图所示．根据图象进行以下探究： (1)直接写出相应距离：______千米；______千米； (2)求甲车的速度，并求出图中的值． (3)在行驶过程中，求甲、乙两车之间的距离千米与行驶时间小时的关系式． 24．如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)________，________； (2)如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； (3)如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末核心素养检测卷 （浙教版，新教材） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法和数轴表示解集的规则是解题的关键． 先解一元一次不等式，再根据解集判断数轴表示的正确性． 【详解】解：解不等式 得， 在数轴上表示为 故选：C． 3．已知， 是两个有理数，，，对于下列三个结论：（1）且；（2）；（3）且．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及有理数的乘法法则，解题的关键是掌握不等式的基本性质与有理数的运算法则．根据给定不等式和，推导和的符号关系，并逐一判断三个结论的正确性即可解答． 【详解】解：（1），当时，；当时，，故此结论错误； （2）若，则、异号，当时，，则，与条件矛盾，故此结论错误； （3），若，则不成立，故，，，若，则，把代入，得，与矛盾，故，故此结论正确； 综上，仅结论（3）正确，正确个数为， 故选：． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的坐标为，在象棋盘上建立平面直角坐标系，再读取“马”的坐标，即可作答． 【详解】解：∵“帅”的坐标为， ∴在象棋盘上建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”的坐标为， 故选：A 6．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． 7．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 9．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：，， ， 设秋千的绳索长为，则， 在中，，， ∴， 解得：， 即绳索的长度是． 故选：B． 10．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】14或16 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形． 分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6， ， 能构成三角形，周长为； 当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4， ∵， 能构成三角形，周长为． 故答案为：14或16． 12．某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，审清题意、根据等量关系或不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．先设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元，根据“购买3个足球和2个篮球共需元；购买2个足球和5个篮球共需元”列二元一次方程组求解，再设购买个篮球，则购买个足球，然后根据不等关系“购买足球和篮球的总费用不超过元”列出不等式，求出解集，最后得到相应整数解． 【详解】解：设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元， 根据题意，得， 解得， 即购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元； 设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意列不等式，得 解不等式，得， 为整数， 最多是． 故答案为：． 13．如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 14．如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 15．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点，平分．有下列四个结论：①；②；③：④若，则．其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明，，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的角平分线， ∴，， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，对于点，定义：点为点的“和倍点”．已知直线：与轴、轴分别相交于两点，点为直线上一点，其“和倍点”满足：，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出点，点，设点的坐标为，则点，在轴取一点，过点作直线，证明和全等得，则，由此得点在直线上，由待定系数法求出直线的表达式为，将点代入得，由此解得，继而可得点；以为对称轴作和对称，则，由此得点在直线上，再求出点，再由待定系数法求出直线的表达式为，将点代入得，由此解得，继而可得点，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， 解得 ∴与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， 点为直线上一点， ∴设点的坐标为， ∴ 根据“和倍点”的定义得：点的“和倍点”的坐标为， 在轴取一点，过点作直线，如图所示， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 又， ∴在直线上， 设直线的表达式为：， 则把点，点代入之中， 得：， 解得， ∴直线的表达式为：， ∵在直线上， 将点代入得， 解得， ∴ 此时点的坐标为； 以为对称轴作和对称，如图所示： ∴ 又∵， ∴点在直线上， 在中， 由勾股定理得： 设点的坐标为，其中 ∵点，点 ∴，， 又∵， ∴， 整理得： ，得：， ∴ 将代入得： 整理得：， ∵， ∴， 将代入，得：， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入之中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为： ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， 此时点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数图象上的点的坐标满足一次函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在一次函数的图象上，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质是解决问题的关键． 三、解答题 17．解下列不等式（组）． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 18．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理； （1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可； （2）若，再证明，即可计算的度数 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 19．如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点都在小正方形的格点上，在网格上建立平面直角坐标系．已知． (1)取一点，将平移至，其中点的对应点为，点B的对应点为E，点C的对应点为F，请在图中画出； (2)的面积为 ． (3)若在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，写出所有点的坐标： ． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)或或 【分析】本题考查了图形的平移和等腰三角形的存在性问题，勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和等腰三角形的分类讨论方法． （1）先确定平移规律，再根据规律平移、点，画出； （2）利用割补法求解即可； （3）先计算的长度，根据等腰三角形的定义分情况求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积为； （3）解：∵ ∴， 当时， 由三线合一得，； 当时， 当点G在点B左边时，；当点G在点B右边时，； 综上，点的坐标为或或． 20．已知一次函数． (1)已知随增大而减小，求的取值范围； (2)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； (3)图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 且 (3) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键． （1）根据y随x增大而减小可知，求出的取值范围即可； （2）由于函数图象与y轴交点在轴上方，故，再结合一次函数的定义，进而可得而出的取值范围； （3）根据图象不经过第三象限，列出关于的方程组，求出的取值范围． 【详解】（1）解：随增大而减小， ， 解得； （2）解：函数图象与轴交点在轴上方， 且， 解得且； （3）解：图象不经过第三象限， ∴， 解得． 21．在中，，，分别平分，，交，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，交于点，作交延长线于点，若，请直接写出图中与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据三角形内角和定理可以求出，，根据角平分线的定义可以求出，根据等腰三角形的性质可证三角形全等，利用全等三角形的性质可以找出与相等的线段． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 在中，， ，， ，分别平分，， ， 在和中，， ， ； ，， ， 又， ， ， ， 同理可证， ； ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； 综上所述，与相等的线段有，，，． 【点睛】 22．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 23．某高速公路经过A、C、B三地，A、B两地相距千米，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别开往B、A两地．甲、乙两车到C地的距离，千米与行驶时间小时的关系如图所示．根据图象进行以下探究： (1)直接写出相应距离：______千米；______千米； (2)求甲车的速度，并求出图中的值． (3)在行驶过程中，求甲、乙两车之间的距离千米与行驶时间小时的关系式． 【答案】(1)； (2)甲车的速度是60千米小时，5.25 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意及图中各参数，根据已知得出甲的速度，进而得出小时乙行驶的距离． （1）利用图象与轴的交点的纵坐标可得出，的长； （2）利用路程除以时间得甲车的速度，再求出乙车的速度进而可求得的值； （3）分三种情况由“路程速度时间”分类讨论即可． 【详解】（1）解：由题意结合图象可得：A地到C地距离为千米，B地到C地距离为千米， 故答案为：，． （2）解：由图象知，甲车从A地到B地用时小时， 甲车的速度是(千米小时， 甲的速度为千米小时， 小时甲行驶了千米，此时在距C地千米处与乙车相遇， 乙已经行驶了：千米， 乙的速度为：(千米小时； 乙到达目的地所需时间为小时， 的值为． （3）解：相遇前，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：； 相遇到乙车到达目的地前，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：； 乙车到达目的地后，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：； 综上所述，关系式为：． 24．如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)________，________； (2)如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； (3)如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 【答案】(1)4， (2)①见解析；② (3)的值不发生改变，等于4． 【分析】本题主要考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、非负数的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据非负性的性质求解即可； （2）①先说明，再证明、，易证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；②先说明，再根据全等三角形的性质可得，然后结合点P的位置即可解答； （3）如图：连接．证明可得， 再根据以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：4，． （2）①证明：∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：的值不发生改变，等于4． 如图：连接． ∵， ，， ∴D是的中点 ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第26页，共28页 试卷第25页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $