第03讲 向量的数量积运算（思维导图+3知识点+六大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版

第03讲 向量的数量积运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：数量积的概念与运算律】 【题型02：平面向量数量积的运算】 【题型03：平面向量模的相关运算】 【题型04：平面向量的夹角问题】 【题型05：平面向量的垂直问题】 【题型06：平面向量的投影向量】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 知识点2：平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 知识点3：求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 【题型01：数量积的概念与运算律】 1．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 2．等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知下列命题中： （1）若，且，则或； （2）若，则或； （3）若不平行的两个非零向量，满足，则； （4）若与平行，则； （5）. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【题型02：平面向量数量积的运算】 1．（24-25高一下·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 2．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 5．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【题型03：平面向量模的相关运算】 1．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 【题型04：平面向量的夹角问题】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D． 4．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【题型05：平面向量的垂直问题】 1．（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·周测）若向量、满足：，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．（24-25高一下·四川·期中）若为单位向量，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 6．若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 【题型06：平面向量的投影向量】 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 3．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 1．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·广东江门·期末）已知，，向量在向量上的投影向量为，则（    ）． A．12 B．4 C． D． 10．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选题）下列命题中正确的是（   ） A． B．若满足，且与同向，则 C．若，则 D．若是等边三角形，则 15．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）（多选题）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 16．（24-25高一下·北京·期末）已知平面向量满足，则 . 17．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 向量的数量积运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：数量积的概念与运算律】 【题型02：平面向量数量积的运算】 【题型03：平面向量模的相关运算】 【题型04：平面向量的夹角问题】 【题型05：平面向量的垂直问题】 【题型06：平面向量的投影向量】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 知识点2：平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 知识点3：求平面向量数量积的方法 1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； 2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； 3、利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 【题型01：数量积的概念与运算律】 1．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案. 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 2．等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    故选：C． 3．已知下列命题中： （1）若，且，则或； （2）若，则或； （3）若不平行的两个非零向量，满足，则； （4）若与平行，则； （5）. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数乘的定义可判断（1）；根据向量数量积的定义可判断（2）（4）；根据向量数量积的运算律可判断（3）（5）. 【详解】对于（1），若，且，则或，故（1）正确； 对于（2），若，则，不一定能得到或，故（2）错误； 对于（3），若不平行的两个非零向量，满足，则，故（3）正确； 对于（4），若与平行，则，故（4）错误； 对于（5），，而，故（5）错误. 故选：C. 4．下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 【题型02：平面向量数量积的运算】 1．（24-25高一下·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】5 【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】, 故答案为：5 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的性质及向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】， ， ， 因此. 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 【题型03：平面向量模的相关运算】 1．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 2．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解. 【详解】由，，， 两边平方可得， 即， 解得，则. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，将平方结合向量数量积的运算律求得，再根据向量数量积的运算律求解. 【详解】因为，，， 所以，即，则，解得， . 故选：C. 5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律得到，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，即， 则，整理得， 又因为，即，则，所以. 故选：D. 6．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 【答案】A 【分析】由数量积的运算律、模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 【题型04：平面向量的夹角问题】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）在中，若，则的形状一定是（   ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用数量积的夹角判断. 【详解】因为，所以角A为钝角，所以为钝角三角形． 故选：D. 2．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入公式直接计算可得. 【详解】因为， 所以 故选：A. 3．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】利用两个向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】， 所以，与的夹角的余弦值为0. 故选：C 4．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 6．（24-25高一下·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合平面向量数量积的定义，根据充分必要条件的定义判断. 【详解】当与的夹角为钝角时，，充分性满足， 但当与的夹角时，，必要性不满足， 因此是充分不必要条件， 故选：A. 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 8．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到与的关系，再结合向量的数量积公式来求解. 【详解】已知，移项可得， 因为，所以， 对两边同时平方可得， 根据完全平方公式则， 又因为，，所以可化为， 由，移项可得，则， 根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则. 故选：D. 【题型05：平面向量的垂直问题】 1．（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，则是 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 故， ， 所以是直角三角形 故选：A. 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25高一下·全国·周测）若向量、满足：，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直，得，，结合数量积的运算，可得，进而可求. 【详解】根据题意，，即，化简得， 又，即，化简得， 即，化简得， 又，解得． 故选：B． 5．（24-25高一下·四川·期中）若为单位向量，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意，即可求出，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向，所以， 即，所以， 所以. 故选：D 6．若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据非零向量，相互垂直及模长关系设出向量，，代入，通过向量点积及模长运算得出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】因为向量，相互垂直，且，不妨设，， 则， 解得. 故选：B． 【题型06：平面向量的投影向量】 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 3．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的计算，求得数量积，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可得，且，则， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 5．（24-25高一下·湖北·期末）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入投影向量公式，根据向量数量积运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，所以在上的投影向量为 . 故选：B. 6．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】   ，是中点， 又，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 1．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD． 【详解】对于A，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立； 对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立； 对于C，若，则，， 而与不一定相等，所以命题不成立； 对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立． 故选：B． 2．（24-25高一下·重庆·期末）若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（    ）． A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向量模的平方等于向量自身平方将平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算. 【详解】 因为，是单位向量，所以，且，代入得： 则 故选：A 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【详解】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式可得,即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得，故， 因此， 由于，所以， 故选：D 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 6．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 7．在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 8．（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 9．（24-25高一下·广东江门·期末）已知，，向量在向量上的投影向量为，则（    ）． A．12 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的定义，求出，再根据向量模长和数量积的关系，求出向量的模长. 【详解】由数量积的定义可知， 则； 故选：C. 10．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 11．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由结合数量积的运算律可得，再利用余弦定理求向量夹角的余弦值. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，， 所以，所以. 因为，则， 所以，代入上式可得： 同理， 代入可得： 如图所示，，，，， 所以即. 故选：D 12．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知：， 且, , , 故选：B 13．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 .故选：D.      14．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选题）下列命题中正确的是（   ） A． B．若满足，且与同向，则 C．若，则 D．若是等边三角形，则 【答案】AD 【分析】根据向量的加法性质即可求解A,根据向量的定义即可求解B，根据即可求解C，根据向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A, ,当且仅当方向相同时取到等号，故A正确， 对于B,向量不可以比较大小，故B错误， 对于C, 若，则,故或者或，故C错误， 对于D，若是等边三角形，则,D正确， 故选：AD 15．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）（多选题）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意平面向量，，两两的夹角相等，则夹角可以为或，然后根据向量数量积的定义分类计算即可. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角可以为或， 当夹角为时，， 当夹角为时，. 故选：AD. 16．（24-25高一下·北京·期末）已知平面向量满足，则 . 【答案】18 【分析】根据数量积的运算律得，再根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，而，解得， 所以. 故答案为：18. 17．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $