专题01有理数（期末复习知识清单，18知识&21常考&8易错题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学有理数专题知识清单系统梳理了有理数核心内容，涵盖概念（正数负数、有理数分类）、运算（加减乘除、乘方）、应用（数轴、科学记数法）三大范畴，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+易错总结”三维设计，21类题型含数轴动点、规律探究等，如“数轴上两点距离”例题配变式训练，培养几何直观与推理意识。8个易错点标注强化运算能力，助力学生自主突破难点，教师可精准教学提升效率。

专题01有理数（18知识&21题型&8易错） 【清单01】正数和负数的概念 负数：比小 的数 正数：比 的数 0既不是 ，也不是 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 【清单02】有理数的概念 ⑴ 、 、 统称为 （0和正整数统称为自然数） ⑵ 和 统称为分数 2 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数． 【清单03】有理数的分类 ⑴按有理数的 分类 ⑵按 来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【清单04】数轴 ⒈数轴的概念 规定了 ， ， 的 叫做数轴． 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以 的点来表示，正有理数可用 的点表示，负有理数可用 的点表示，0用原点表示． ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是 关系．（如，数轴上的点π不是有理数） 【清单05】利用数轴表示两数大小 （1）在数轴上数的大小比较， 数总比 数大； （2） 都大于0， 都小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较， 的数比 的数小． 【清单06】相反数 只有 的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 的相反数是 ． 互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则 【清单07】绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做a的绝对值，记作 ． 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是 ； ⑵一个负数的绝对值是 ； ⑶0的绝对值是 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是 ，也就是说绝对值具有 性．所以，a取任何有理数，都有|a| ． 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小， 的反而小；异号两数比较大小， 大于 ． 【清单08】有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取 的符号，并把 相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用 减去 ； ⑶互为相反数的两数相加，和为 ； ⑷一个数与零相加，仍得 ． 【清单09】有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b= ⑵加法结合律：(a+b)+c= 【清单10】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的 ．用字母表示为：a-b= ． 【清单11】有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算． 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 【清单12】有理数的乘法 1.法则一：两数相乘，同号 ，异号 ，并把 ； 法则二：任何数同0相乘，都得 ； 2.倒数 乘积是1的两个数互为 ，其中一个数叫做另一个数的 ． 注意：① 没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 【清单13】有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab= ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c= ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a(b+c)= 【清单14】有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的 ． （2）两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 ．0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单15】有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将 乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行． 【清单16】有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 ．在 中，a 叫做 ，n 叫做 ． 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂的 ． （2）正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ． 【清单17】有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先 ，再 ，最后 ； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行． 【清单18】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ， n是正整数），这种记数法是科学记数法． 【题型一】数轴上两点间的距离 【例1】已知数轴上的点表示的数为，若点与点的距离为5个单位长度，则点表示的数是（   ） A．6 B． C．4 D．4或 【变式1-1如图所示，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且，则点C表示的数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【题型二】数轴上的动点问题 【例1】在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【变式1-1】操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【变式1-2】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【题型三】数轴上的整点覆盖问题 【例1】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式1-1】如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【题型四】数轴上的规律探究问题 【例1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式1-1】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【变式1-2】如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 【题型五】有理数的加法运算及应用 【例1】计算的结果等于（   ） A．39 B． C．7 D． 【变式1-1】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【变式1-2】小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 【题型六】绝对值的几何意义 【例1】若一个数的绝对值是，则这个数是 ． 【变式1-1】如果两个有理数x，y满足，则的最大值 ，的最小值为 ． 【变式1-2】有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【题型七】有理数比较大小 【例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各数中，大于小于的负数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在标准大气压下，固态氧、固态汞、海波、锡四种固体的熔点如表： 固体 固态氧 固态汞 海波 锡 熔点/℃ 48 232 其中熔点最高的固体为（   ） A．固态氧 B．固态汞 C．海波 D．锡 【题型八】绝对值的非负性 【例1】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式1-1】已知，则 ， ． 【变式1-2】已知a为有理数，则的最小值为 ． 【题型九】有理数的加法运算 【例1】能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【题型十】有理数的减法运算及应用 【例1】下列式子与结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重 （单位： 的计算方式为：标准体重（年龄．下表是七年级某6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中的6位同学，哪几位同学的体重超出标准体重?最重的同学与最轻的同学体重相差多少? (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重．要想了解同学的体重情况，除了判断正负，还要考虑什么? 【题型十一】有理数的乘法运算 【例1】如果，并且，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【变式1-2】下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【题型十二】有理数的乘法运算律 【例1】学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【题型十三】有理数的加减混合运算 【例1】计算题：． 【变式1-1】计算： (1) (2) 【变式1-2】在工厂和生产场所中，巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人从一条生产线上的点出发，共巡查了次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录（单位：米）如下：． (1)请你通过计算说明巡检机器人第次巡检结束的位置； (2)已知巡检机器人行驶速度为米/分钟，求第次巡检结束的时刻．（检查均无故障，不需停留维修） 【题型十四】有理数的除法运算 【例1】的倒数是 ． 【变式1-1】三个有理数，，，满足，求 ． 【变式1-2】为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“-”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 □ ◯ (1)“□”处的数为________，“◯”处的数为_______； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【题型十五】有理数的四则混合运算 【例1】定义一种新运算：，如，则 ． 【变式1-1】计算下列各小题． (1)； (2)． 【变式1-2】学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【题型十六】有理数的折叠问题 【例1】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【变式1-2】综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【题型十七】根据点的位置判断实在符号 【例1】数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知的大小关系如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【题型十八】有理数的乘方运算 【例1】下列各式中不相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 【变式1-2】有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型十九】科学计数法 【例1】据报道，洛阳市计划到年底较年新增光伏发电并网规模万千瓦以上．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破人，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．的含义是（    ） A．16400000000 B．亿 C．万 D．16400000 【变式1-2】我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（  ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 【题型二十】含有乘方的有理数混合运算 【例1】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② =-16÷1③ =-16④ 圆圆： ① ② =-6③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第_____步，圆圆开始出错的是第_____步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 59．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【题型二一】正负数的应用与辨析 【例1】月日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，来自江西景德镇的架“江西制造”直升机格外引人注目．若某架“江西制造”直升机上升记作，则下降应记作（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有 个． 【变式1-2】规定向东为正，那么向西走2千米记作 千米． 【题型一】有理数的判定 【例1】下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 【变式1-2】把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【题型二】零的意义 【例1】下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式1-2】下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【题型三】带“非”字的有理数 【例1】在，0，，，，中，非负整数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为 ；非负整数的个数为 ． 【变式1-2】把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 【题型四】数轴与有理数 【例1】如图，数轴上墨渍盖住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，数轴上树叶盖住的点表示的数可能是（    ） A． B．1.8 C． D．2.2 【题型五】利用有理数比较大小 【例1】将如图的直线补全成一条数轴，并在数轴上表示下列各数：2，，，再用“”把它们连接起来． 【变式1-1】将数轴补充完整，再把下列各数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来，再将这些数进行分类． 3，，，0，2.5，． 比较大小：____________________________________； 正数集合：{                   …}，负数集合：{                   …}， 分数集合：{                   …}，整数集合：{                   …}． 【变式1-6】如图，点，在数轴上，点表示，点表示． (1)点表示 ，点表示 ； (2)在数轴上表示出点和点； (3)用“”把点，，，表示的数连接起来． 【题型六】相反数定义辨析 【例1】一个数的相反数是它本身，这个数是（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【变式1-1】的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【题型七】求一个数的绝对值 【例1】化简： ． 【变式1-1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-2】用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，． 【题型八】近似数的有关辨析 【例1】下列说法错误的是（   ） A．近似数2.1和2.10精确度不相同 B．0.0357（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．小明身高约，其中175是近似数 【变式1-1】数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法错误的有 ． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 试卷第2页，共51页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数（18知识&21题型&8易错） 【清单01】正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 【清单02】有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 2 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数． 【清单03】有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【清单04】数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴． 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示． ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系．（如，数轴上的点π不是有理数） 【清单05】利用数轴表示两数大小 （1）在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小． 【清单06】相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0． 互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 【清单07】绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性．所以，a取任何有理数，都有|a|≥0． 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数． 【清单08】有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数． 【清单09】有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【清单10】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a-b=a+(-b)． 【清单11】有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算． 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 【清单12】有理数的乘法 1.法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 法则二：任何数同0相乘，都得0； 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数． 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 【清单13】有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a(b+c)=ab+ac 【清单14】有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数． （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单15】有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行． 【清单16】有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 【清单17】有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行． 【清单18】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法． 【题型一】数轴上两点间的距离 【例1】已知数轴上的点表示的数为，若点与点的距离为5个单位长度，则点表示的数是（   ） A．6 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点的距离．根据两点间的距离公式，分点在点的左侧和右侧两种情况，列式计算即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，点表示的数是； 当点在点的右侧时，点表示的数是； 故选：D． 【变式1-1如图所示，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且，则点C表示的数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴的性质，掌握数轴上点的距离与对应数的关系是解题的关键． 结合点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，可知，结合，可求出，故可推理出表示的数． 【详解】解：∵数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，点A，E表示的数分别为x，y， ∴，即，又∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为， 则点C表示的数为：， 故选：B． 【变式1-1如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 【题型二】数轴上的动点问题 【例1】在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上有理数的加减运算，点B的位置取决于移动方向：向右移动则点B表示的数为，向左移动则点B表示的数为． 【详解】∵点A表示的数为，沿数轴移动3个单位长度， ∴当向右移动时，点B表示的数为：； 当向左移动时，点B表示的数为：． ∴点B表示的数为2或． 故选：D． 【变式1-1】操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【答案】（1）点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3；； （2）①；；②；； （3）点E表示的数是2 【分析】本题考查数轴上点的表示，利用数轴比较大小，两点间距离，数轴上点的平移问题等． （1）根据题意利用数轴知识即可得到本题答案； （2）①利用数轴上两点间距离求出本题答案；②利用相反数的几何意义结合数轴上两点间距离即可求解； （3）通过动点的移动列出算式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3； 由数轴得； （2）①∵若以点C为原点，点A在点C的左边，且与点C相距5个单位长度， ∴点A表示的数为：， ∵点在点的左边，且与点相距3个单位长度， ∴点表示的数为：， 故答案为：；； ②∵若点B，C表示的两个数互为相反数， ∴原点在中点， ∵点，相距三个单位长度， ∴点表示的数为：， ∴点A表示的数是：， 故答案为：；； （3）由题意得：， ∴原来点E表示的数为：． 【变式1-2】【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点 【题型三】数轴上的整点覆盖问题 【例1】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【变式1-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式1-1】如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 【题型四】数轴上的规律探究问题 【例1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【变式1-1】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 【变式1-2】如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 【题型五】有理数的加法运算及应用 【例1】计算的结果等于（   ） A．39 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值不同的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用大绝对值减去小绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1-1】如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 【变式1-2】小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 【答案】(1)星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时跌了美元 (2)上周五收盘时每桶美元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法运算，掌握相关知识是解题关键． （1）将表格内各数相加，结果为正则星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时上涨，结果为负则下跌； （2）根据本周五与上周五的涨跌情况及本周五价格，进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（美元）， 答：星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时下跌，跌了美元； （2）解：（美元）， 答：上周五收盘时每桶美元． 【题型六】绝对值的几何意义 【例1】若一个数的绝对值是，则这个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的定义，涉及知识点：绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离），互为相反数的两个数绝对值相等．解题方法是根据绝对值的定义，找出到原点距离为的点；解题关键是注意绝对值对应的数有两个（正负），易错点是漏写负数解． 【详解】设这个数为 ，则 ． 根据绝对值的性质，当 时，； 当 时，． 因此，这个数是 或 ． 故答案为或． 【变式1-1】如果两个有理数x，y满足，则的最大值 ，的最小值为 ． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 【变式1-2】有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 【题型七】有理数比较大小 【例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解： ∵， ∴最接近标准． 故选：C 【变式1-1】下列各数中，大于小于的负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分数的大小比较，掌握异分母分数的大小比较法则：正确通分计算是解题关键．将题目中的分数进行通分化成分母是的分数，然后进行比较判断即可． 【详解】解：，，，，， ， 大于小于的负数是． 故选：B． 【变式1-2】在标准大气压下，固态氧、固态汞、海波、锡四种固体的熔点如表： 固体 固态氧 固态汞 海波 锡 熔点/℃ 48 232 其中熔点最高的固体为（   ） A．固态氧 B．固态汞 C．海波 D．锡 【答案】D 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据熔点数值判断最高者即可． 【详解】解：∵， ∴ 熔点最高的固体是锡． 故选：D． 【题型八】绝对值的非负性 【例1】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 【变式1-1】已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． 【变式1-2】已知a为有理数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 【题型九】有理数的加法运算 【例1】能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数的定义． 相反数相加得0，求出的相反数即可． 【详解】解：，其相反数为． 故选：B． 【变式1-1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式1-2】阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型十】有理数的减法运算及应用 【例1】下列式子与结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 计算原式，利用减去负数等于加上正数的性质，得到结果后与选项对比． 【详解】解：∵==， 选项D为=， ∴与原式结果相同． 其他选项： 选项A、=， 选项B、=， 选项C、=， 均不等于， 故选：D． 【变式1-1】把写成省略加号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算．根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解即可． 【详解】解：把写成省略加号的和的形式为， 故选：C． 【变式1-2】党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重 （单位： 的计算方式为：标准体重（年龄．下表是七年级某6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中的6位同学，哪几位同学的体重超出标准体重?最重的同学与最轻的同学体重相差多少? (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重．要想了解同学的体重情况，除了判断正负，还要考虑什么? 【答案】(1)2号、4号、5号同学的体重超出标准体重；最重的同学与最轻的同学体重相差 (2)3号同学的体重最符合标准体重；除了判断正负，还要考虑与标准体重的差值的绝对值大小 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数的运算，解题的关键是理解正负数表示的实际意义，结合题意进行计算与分析． （1）根据正数对应超出标准体重确定同学编号；用最重同学的体重差减去最轻同学的体重差，计算差值． （2）找出体重情况绝对值最小的同学即为最符合标准的；除正负外，还需考虑与标准体重的差值的绝对值大小． 【详解】（1）解：体重情况为正数的是编号2、4、5，故编号2、4、5的同学体重超出标准体重． 最重的同学体重差为，最轻的同学体重差为， ， ∴最重的同学与最轻的同学体重相差． （2）计算各体重情况的绝对值：，，，，，， 其中最小，故编号3的同学体重最符合标准体重． ∴除了判断正负，还要考虑与标准体重的差值的绝对值大小． 【题型十一】有理数的乘法运算 【例1】如果，并且，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法和加法法则． 由可知和同号；再由可排除都为正的情况，从而确定和均为负． 【详解】解：∵， ∴和同号（即都为正或都为负）． ∵， 若且，则，与条件矛盾， ∴且． 故选：A． 【变式1-1】一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用．根据题意先计算涨价时的售价，再计算打折后的售价，即可求解． 【详解】解：元， 即每件商品还能盈利4元． 故选：C 【变式1-2】下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，． A、，则此项一定是正数，符合题意； B、，则此项一定是负数，不符合题意； C、，则此项一定是负数，不符合题意； D、，则此项一定是负数，不符合题意； 故选：A． 【题型十二】有理数的乘法运算律 【例1】学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1)见解析 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）首先根据顺序，运用去括号的方法计算结果即可； （2）首先计算括号中的结果，逐层去掉括号，计算结果即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十三】有理数的加减混合运算 【例1】计算题：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，解决本题的关键是正确计算． 把同符号的数放在一起计算求解即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】在工厂和生产场所中，巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人从一条生产线上的点出发，共巡查了次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录（单位：米）如下：． (1)请你通过计算说明巡检机器人第次巡检结束的位置； (2)已知巡检机器人行驶速度为米/分钟，求第次巡检结束的时刻．（检查均无故障，不需停留维修） 【答案】(1)巡检机器人第次巡检结束的位置在点左侧米处 (2)晚上 【分析】本题考查正负数意义、有理数加减运算、绝对值运算解应用题，熟记正负数意义、有理数加减运算、绝对值运算是解决问题的关键． （1）由题中巡检路程记录数据，结合规定向右为正，向左为负，由有理数加减运算计算即可得到答案； （2）由题意，计算机器人巡检总里程，再计算花费总时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（米）， 规定向右为正，向左为负， 巡检机器人第次巡检结束的位置在点左侧米处； （2）解：由题意可得，（米）， 巡检机器人行驶速度为米/分钟， 则巡检时间为（分钟）（小时）， 第次巡检结束的时刻为晚上． 【题型十四】有理数的除法运算 【例1】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，解题关键是掌握倒数的定义． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 【变式1-1】三个有理数，，，满足，求 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数的符号分析，解题关键是根据分情况讨论a、b、c的正负性，再化简绝对值计算． 由 可知，、、 要么全为正数，要么两负一正，分别计算这两种情况下原式的值即可． 【详解】解：， 、、 全为正数或两负一正． 当 、、 全为正数时， ，，，， 故原式 ． 当 、、 两负一正时（不妨设 ，，）， ，，，， 故原式 ． 综上，原式的值为 或 ． 故答案为0或4． 【变式1-2】为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“-”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 □ ◯ (1)“□”处的数为________，“◯”处的数为_______； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，正负数的实际应用及百分比的计算． （1）根据题意记录数等于实际行驶路程减去标准路程即可得出结果； （2）总路程通过“标准总路程+记录数之和”计算，标准总路程为每天行驶标准里程×天数，记录数之和将7天的记录数相加即可； （3）根据（2）所求7天行驶的总路程除以行驶的最大路程乘得出所用电量占比，再用“1−所用电量占比”即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴“□”处的数为，“◯”处的数为， 故答案为：，． （2）解：， 即这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为． （3）解：由（2）可知，7天行驶总路程为， ∴汽车行驶7天，所用电量占比为：， ∴行车电脑上显示的剩余电量占比为：， 即行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【题型十五】有理数的四则混合运算 【例1】定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-1】计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）利用加法交换律和结合律合并同类项，再分别计算带分数部分，最后相加即可； （2）按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），倒数的定义、有理数的混合运算． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 【题型十六】有理数的折叠问题 【例1】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出点表示的数，再据此求出点C表示的数即可． 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 【变式1-1】翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 【变式1-2】综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【分析】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据距离公式进行求解即可； （2）根据距离公式进行求解即可； （3）根据绝对值的几何以及作答即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可； （5）根据绝对的几何意义，进行求解即可； （6）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 【题型十七】根据点的位置判断实在符号 【例1】数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在数轴上表示出，，,然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 本题考查了数轴上点表示数，倒数的意义，掌握数轴比较大小是解题关键． 【详解】如图所示，把,表示在数轴上， 根据数轴的正方向得到数轴右边的数比左边的数大， 则． 故选：． 【变式1-1】已知的大小关系如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，有理数的运算，由数轴得，，再根据有理数的运算法则和绝对值的性质逐个判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，，， ∴，， ∴①③错误，②④正确，即结论中正确的个数是个， 故选：． 【变式1-2】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及线段的中点，熟练掌握数轴上数的表示及线段的中点是解题的关键． 根据数轴及题意即可判断各结论． 【详解】解：且， ，原点在点、之间，故③正确； ，故①正确； ，故②正确； 点为的中点， ， 点表示的数为：， 即，故④正确； 正确的是①②③④； 故答案为：①②③④． 【题型十八】有理数的乘方运算 【例1】下列各式中不相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方和绝对值的运算顺序，注意负号与乘方的结合方式影响结果，计算各选项算式的值，比较是否相等即可得解． 【详解】解：对于A：∵，，∴，相等，不符合题意； 对于B：∵，，∴ ，不相等，符合题意； 对于C：∵ ，，∴ ，相等，不符合题意； 对于D：∵，，∴，相等，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查幂的底数的概念，直接根据幂的定义判断，在幂运算 中，a是底数，n是指数． 【详解】解：∵ 在中，幂的形式为 中，a是底数，n是指数， ∴ 底数为， 故选：A． 【变式1-2】有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：∵ 原长为2米，且每次截取后剩余长度减半， ∴ 经过次截取后，剩余长度为， 当时，剩余长度 （米）． ∴ 第六次截去之后剩下的木棒的长度是米． 故选：C． 【题型十九】科学计数法 【例1】据报道，洛阳市计划到年底较年新增光伏发电并网规模万千瓦以上．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 万即，科学记数法表示为形式，其中，为整数． 【详解】解：∵万， ∴科学记数法表示为， 故选：D． 【变式1-1】截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破人，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．的含义是（    ） A．16400000000 B．亿 C．万 D．16400000 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选：B． 【变式1-2】我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业人，用科学记数法表示的数据的原数是（  ） A．2787 B．27870 C．278700 D．2787000 【答案】C 【分析】此题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数．通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0． 【详解】解：∵， ∴原数为278700． 故选：C． 【题型二十】含有乘方的有理数混合运算 【例1】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② =-16÷1③ =-16④ 圆圆： ① ② =-6③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第_____步，圆圆开始出错的是第_____步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)②；① (2) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断； （2）先计算有理数的乘方，然后计算除法和乘法即可． 【详解】（1）解：方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②；①； （2）解： ． 59．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)37 (3)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘除，再计算加法即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （3）先计算乘方，再计算括号里的加法，计算乘除，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-2】小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 【题型二一】正负数的应用与辨析 【例1】月日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，来自江西景德镇的架“江西制造”直升机格外引人注目．若某架“江西制造”直升机上升记作，则下降应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的应用，掌握正负数是表示相反意义的量是解题的关键． 根据题意可知：直升机上升为“+”，直升机下降为“-”，据此即可解答． 【详解】解：由题意可知：直升机上升为“”，直升机下降为“” ， ∴国产直升机下降记作. 故选：B． 【变式1-1】有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了负数的概念，掌握小于零的数为负数是解题的关键． 将每一个数分别和0比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，，，，， ，，，为负数；3，，为正数；0既不是正数，也不是负数； 负数有4个． 故答案为：4． 【变式1-2】规定向东为正，那么向西走2千米记作 千米． 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，掌握相反意义的量是解决本题的关键． 根据正负数的意义，向东为正，则向西为负，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，向西走2千米记作：千米． 故答案为：． 【题型一】有理数的判定 【例1】下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； （每两个1之间依次多一个4）是无限不循环小数，不属于有理数； 则有理数共有5个． 故选：C． 【变式1-1】对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 【答案】A 【详解】本题考查有理数的概念与分类，包括负数、负整数、非负数的定义，以及有理数的大小比较．通过直接验证每个选项即可得出答案． 【分析】解：∵在数2.4，，，， 0， 1中， 是负数，但不是整数，故不是负整数，故A正确； 所有数都是有理数，共6个，故B错误； 非负数有2.4，，0，1，共4个，故C错误； 是负数，小于其他正数，故不是最大的数，故D错误， 故选：A． 【变式1-2】把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【答案】(1)②③⑥⑩ (2)①⑤⑨ (3)③④ 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的概念和分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数，据此解答即可求解； （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数，据此解答即可求解； （3）非负整数包括正整数和0，据此解答即可求解． 【详解】（1）解：正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数， 为正有理数． 故答案为：②③⑥⑩． （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数， 为负有理数． 故答案为：①⑤⑨． （3）非负整数包括零和正整数， 是非负整数． 故答案为：③④． 【题型二】零的意义 【例1】下面关于0的说法，正确的个数是（    ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了零的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确； ∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确； ∵正数大于0，0不是正数，∴③错误； ∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确； ∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误． 综上，正确说法为①、②、④，共3个． 故选：B． 【变式1-1】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式1-2】下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类，零既不是正数也不是负数． 【详解】∵ 正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴ 选项D正确． 故选：D． 【题型三】带“非”字的有理数 【例1】在，0，，，，中，非负整数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负整数的定义；非负整数包括正整数和零，据此逐一判断给定各数是否符合定义即可. 【详解】解：∵是负数，不是非负整数；0是非负整数；是小数，不是非负整数；是无限不循环小数，不是非负整数；是非负整数；是非负整数， ∴非负整数有0、、，共3个. 故选：B. 【变式1-1】在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为 ；非负整数的个数为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 【变式1-2】把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 【答案】整数集：，0，；负分数集：；非负有理数集：，，，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、负分数、非负有理数的定义是解题的关键． 根据整数、负分数、非负有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，整数集有：，0，； 负分数集有：； 非负有理数集有：，，，0，． 【题型四】数轴与有理数 【例1】如图，数轴上墨渍盖住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，根据数轴可知该数在和之间，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知该数在和之间， 所以符合题意． 故选：A． 【变式1-1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不统一，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点因，此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】如图，数轴上树叶盖住的点表示的数可能是（    ） A． B．1.8 C． D．2.2 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴上点的对应关系是解答此题的关键． 设被树叶盖住的点表示的数为，由数轴可知，再根据每个选项中有理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设被树叶盖住的点表示的数为，由数轴可知， A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 【题型五】利用有理数比较大小 【例1】将如图的直线补全成一条数轴，并在数轴上表示下列各数：2，，，再用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 【变式1-1】将数轴补充完整，再把下列各数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来，再将这些数进行分类． 3，，，0，2.5，． 比较大小：____________________________________； 正数集合：{                   …}，负数集合：{                   …}， 分数集合：{                   …}，整数集合：{                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，以及有理数的分类． 先把各数在数轴上表示出来，按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可;根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：数轴表示为： ∴， 正数集合：{3，2.5，...}，负数集合：{，，，...}， 分数集合：{，，2.5，...}，整数集合：{ 3，0，，...}． 【变式1-6】如图，点，在数轴上，点表示，点表示． (1)点表示 ，点表示 ； (2)在数轴上表示出点和点； (3)用“”把点，，，表示的数连接起来． 【答案】(1)；3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据数轴的意义解答即可； （2）根据数轴的意义解答即可； （3）根据数轴上的点从左到右依次增大的特性比较即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：点，分别表示，． 故答案为：，； （2）如图所示， （3）根据数轴可得： 【题型六】相反数定义辨析 【例1】一个数的相反数是它本身，这个数是（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了相反数的性质，相反数的定义：只有符号不同的两个数是相反数，0的相反数是0，据此解答． 【详解】解：一个数的相反数是它本身，这个数是0． 故选：C． 【变式1-1】的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）分析即可． 【详解】解：∵相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是3． 故选：A． 【变式1-2】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． 先化简符号，再利用相反数的定义求解即可得到答案． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：C． 【题型七】求一个数的绝对值 【例1】化简： ． 【答案】7 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，解题的关键在于遵循“先化简内层符号，再计算绝对值”的顺序． 先化简绝对值内部的相反数，再求绝对值． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，化简多重符号等知识点，首先对各数进行化简，然后在数轴上表示各数，再根据数轴特点用“”号把它们连接起来即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上表示如下， 由数轴可知：． 【题型八】近似数的有关辨析 【例1】下列说法错误的是（   ） A．近似数2.1和2.10精确度不相同 B．0.0357（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．小明身高约，其中175是近似数 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，正确理解近似数的精确度是解题的关键．根据近似数的精确度逐一判断即可． 【详解】A．近似数2.1精确到0.1，2.10精确到0.01，精确度不同，A正确； B．0.0357精确到0.001（千分位），看下一位万分位，进1得0.036，B正确； C．，其中9.03精确到0.01，但乘以后精确到100（百位），不是百分位，C错误； D．“约”表示近似，175是近似数，D正确． 故选：C． 【变式1-1】数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 【变式1-2】下列说法错误的有 ． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 试卷第2页，共51页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $