清单01 有理数及其运算（18个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单01 有理数及其运算（18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】在，，0，9 300，，中，负数有（  ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了负数的定义，小于0的数是负数，据此进行判断即可，熟练掌握负数的定义是解决此题的关键． 【详解】，，是负数，共3个， 故选：A． 【变式1-1】如果收入200元记作＋200元，那么支出150元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，理解“正”和“负”的相对性是解题的关键．根据正数和负数的相对性即可解答． 【详解】解：因为正”和“负”相对，所以，如果收入200元记作元，那么支出150元记作元． 故选：B． 【变式1-2】贵阳市某天的最高气温是零上，记作，那么最低气温零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用．根据用正负数来表示具有相反的意义量：零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：贵阳市某天的最高气温是零上，记作， ∴最低气温零下记作， 故选：B． 【变式1-3】某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为千克，那么这袋面粉的质量 标准（填“符合”或“不符合”）． 【答案】符合 【分析】本题考查了正、负数的意义，懂得质量书写的含义，求出标准质量的范围是解题的关键． 根据题意求出标准质量的范围，然后再根据范围判断． 【详解】解：，， 标准质量是千克千克， 千克在此范围内， 这箱苹果的质量符合标准． 故答案为：符合． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 根据正负数表示相反的意义，“正”表示盈利则“负”所表示亏损，再根据题意作答． 【详解】解：如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作元， 故选A． 【变式2-1】2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是用来表示相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵火箭发射点前5秒记为秒， ∴火箭发射点火后10秒记为秒， 故选：A． 【变式2-2】小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【答案】B 【分析】根据表示收入5.20元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【详解】解：∵表示收入5.20元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示， ∴表示支出1.00元， 故选：B． 【变式2-3】中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某地海拔高于海平面，记作，则海拔低于海平面可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的意义，理解正数与负数表示意义相反的两种量是解题的关键． 根据题意可知高于海平面记为正，则低于海平面就记为负，据此即可解答． 【详解】解∶∵某地海拔高于海平面，记作， ∴海拔低于海平面可记作． 故选：C． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法正确的是（  ）． A．正数、负数统称为有理数 B．可以写成分数的形式 C．正有理数、负有理数统称为有理数 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念，按照有理数的概念判断即可，解题的关键是掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】、既不是正数，也不是负数，但是有理数，原选项错误； 、可以写成分数的形式，原选项正确； 、正有理数、负有理数和统称为有理数，原选项错误； 故选：． 【变式3-1】在，，中，有理数有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，熟记定义并运用解题是关键． 整数和分数统称为有理数，根据有理数定义解答． 【详解】解：，，中，有理数有，． 故选：C 【变式3-2】在，，0，，中有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；因此此题根据有理数的概念进行求解即可． 【详解】解：在，，0，，中有理数的有，，0，，共4个； 故选D． 【变式3-3】（    ） A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数 【答案】C 【分析】根据负数、分数及有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是小数，是有理数，是负数也是分数． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数和正数和负数的知识点，解题的关键是掌握正负数，有理数的概念． 【变式3-4】下列各数：，，其中有理数有 个． 【答案】3 【分析】根据有理数的定义即可求解． 【详解】解：根据有理数的定义知： ，，是有理数， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号里． 2024，，，0，，． 正数集合：； 整数集合：； 负分数集合：； 正有理数集合：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键，注意不是有理数，但是正数． 根据有理数的分类逐项填空即可求解． 【详解】解：正数集合： 整数集合：． 负分数集合：． 正有理数集合： 【变式4-1】把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开） 15，，0，，，，，   正数集合{ …}； 负数集合{ …}；   整数集合{ …}；   非负数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】利用正数，负数，整数，以及非负数定义判断即可． 【详解】解：正数集合{15，，…} 负数集合{，，，…} 整数集合{15，0，，…} 非负数集合{15，0，，…} 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键． 【变式4-2】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了有理数的知识，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、； 、； 、； 、； ∵， ∴四个数中绝对值最大的是， 故选：． 【变式5-1】在，0，，这四个数中，最小的数（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据有理数的大小比较法则比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴在，0，，这四个数中，最小的数是． 故选：C． 【变式5-2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴， 根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，一一判断即可． 【详解】解：．由数轴可知，，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论正确，故该选项符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知， ，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】比较大小： （用“”“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；根据“两个负数比较，绝对值越大的反而小”可进行求解． 【详解】解：由可知：； 故答案为：＜． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【典例6】在数轴上与的距离等于5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．6 B．或6 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．结合数轴进行判断，从表示的点向左向右分别找数． 【详解】解：数轴上与距离等于5个单位的点有两个， 从表示的点向左数5个单位是， 从表示的点向右数5个单位是4． 故选：D． 【变式6-1】在数轴上到表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是（　　） A．1 B．4或 C． D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴两点间的距离，画出数轴，观察可得出答案． 【详解】解：观察数轴可得，在数轴上到表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是或1， 故选：D． 【变式6-2】点A、B在数轴上对应的数分别为和5，则线段的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数a、b表示的两点间的距离为求解即可． 【详解】解：点A、B在数轴上对应的数分别为和5，则线段的长度为， 故答案为：9． 【变式6-3】数轴上到的距离是3的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离．根据两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：数轴上到的距离是3的数是或； 故答案为：或． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【典例7】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴， ∴数轴上的数与圆周上的数重合， 故选C． 【变式7-1】把数轴上表示数3的点在数轴上移动5个单位后，表示的数为（ ） A．8 B．2 C．8或 D．8或2 【答案】C 【分析】分两种情况分析：向左和向右移动，即可求解，解题关键在于要注意分类讨论，不要漏解． 【详解】解：当数轴上表示数3的点向左移动5个单位后，表示的数为； 当数轴上表示数3的点向右移动5个单位后，表示的数为． 故选：C． 【变式7-2】如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动6个单位长度到点，则点表示的数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴．根据数轴上点的移动规律“左减右加”的计算方法可得求解． 【详解】解：由题意得，点表示的数为． 故答案为：3． 【变式7-3】如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【答案】14或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度． 分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论． 【详解】解：∵正方形的边长为3，点表示的数为， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为． 综上，数轴上点表示的数是14或； 故答案为：14或． 【考点题型八】倒数的概念和相反数的概念 【典例8】如果与互为倒数，那么的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的相反数和倒数，理解相反数和倒数的概念是解题的关键 先根据倒数的概念求出，再根据相反数的概念求解即可． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴的相反数是， 故选：A． 【变式8-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据数字相同，符号相反的两个数互为相反数即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 【变式8-2】的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，根据相反数、倒数的定义求额吉即可． 【详解】解：的相反数是：，的倒数是：3． 故答案为：，3． 【变式8-3】设互为相反数，互为倒数，则值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数的意义，根据相反数可得，根据倒数可得，代入计算即可求解，掌握相反数，倒数的定义，代入求值是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为： ． 【考点题型九】绝对值定义、绝对值的性质 【典例9】已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值；根据非负数的性质列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式9-1】已知，，则（　　） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据题意可得，然后求出b的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-2】若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式9-3】已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和偶次幂的非负性，掌握“多个非负数相加和为0，则让其分别为0”的做题方法是解题的关键．根据绝对值及偶次幂的非负性进行解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型十】化简绝对值 【典例10】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 【变式10-1】若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴判断出式子正负是解题关键．根据数轴可知，，，进而得出，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，， ， 故选：B． 【变式10-2】如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，分和两种情形计算即可． 【详解】当时，； 当时，； 故选A． 【变式10-3】实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键． 先由数轴可得：，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ． 故答案为：． 【考点题型十一】有理数的加减运算 【典例11】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则计算即可； 【详解】 【变式11-1】计算：． 【答案】3． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先化简，再运用加法结合律进行运算即可 【详解】解： ． 【变式11-2】计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则即可求解． 此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的加减运算法则． 【详解】 ． 【变式11-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据加减混合运算法则，准确计算即可． 【详解】解： ． 【考点题型十二】有理数乘除法运算 【典例12】计算：． 【答案】 【分析】按照有理数的乘除运算顺序进行即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，注意运算顺序，也可把除法转化为乘法进行． 【变式12-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用有理数乘法交换律，将转化为，然后计算，进而可得出答案； （2）先将带分数化为假分数，然后将除法运算转化为乘法运算，再利用有理数乘法结合律，先将第二项和第三项相乘，即，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ． 【变式12-3】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算结合题意即可求解． 【详解】解： ． 【考点题型十三】有理数的乘方 【典例13】下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，相反数的定义等知识点，根据乘方的定义，绝对值的性质，添括号法则逐一计算，即可判断，熟练掌握有理数的基本运算是解决此题的关键． 【详解】A、，此选项不符合题意； B、，，互为相反数，此选项符合题意； C、，，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式13-1】下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数乘方的运算，解题的关键是掌握相反数，绝对值，有理数乘方的运算，学会去小括号，即可． 【详解】A、，，和相等；不符合题意； B、，和相等，不符合题意； C、，，和互为相反数，符合题意； D、，，和相等，不符合题意． 故选：C． 【变式13-2】下列各组数中，结果一定相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、，所以与不一定相等，故A选项不符合题意； B、，，所以与不一定相等，故B选项不符合题意； C、，，所以与不一定相等，故C选项不符合题意； D、，，所以与一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式13-3】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，求一个数的绝对值运算，根据乘方法则，绝对值的意义，进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【考点题型十四】有理数混合运算 【典例14】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方运算，再利用乘法分配律进行简便运算即可； （2）先计算乘方，括号内的减法运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式14-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)24 (4) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先确定符号，再把除法变乘法，最后根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）运用乘法分配律展开，最后再运用加减运算法则计算即可； （4）先算乘方，再算出乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式14-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算乘方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可； （3）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式14-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算、，再算乘除，最后计算出结果； （2）先乘方，再算括号里面的，最后计算出结果． 本题考查了有理数的混合运算，运算过程中注意运算顺序和运算法则．特别注意：与的区别． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【考点题型十五】算“24”点 【典例 5】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式15-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则列式即可． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式15-2】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【答案】， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故答案为，． 【考点题型十六】科学计数法 【典例16】我国年月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：C． 【变式16-1】北京10月8日文化和旅游部数据显示：国庆假期，文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，假期7天，国内出游7.65亿人次，较2019年同期增长．将7.65亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，，进行表示即可. 【详解】解：7.65亿， 故选：B． 【变式16-2】2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为米/秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法的表示即可得到答案． 【详解】解：把一个数写成的形式，（其中，是正整数）， 故， 故选C． 【考点题型十七】近似数的表示 【典例17】用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握求一个数的近似数是解题的关键；由题意结合近似数可直接进行求解． 【详解】用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为； 故选A． 【变式17-1】用四舍五入法把精确到百分位，所得的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，正确理解近似数的表示是解题的关键，将千分位上的数字进行四舍五入，并注意有效数字． 【详解】解：根据题意把千分位上的数字进行四舍五入得，． 故答案为：． 【变式17-2】精确到是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数与精确度，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：精确到是 故答案为：． 【变式17-3】精确到百分位的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：精确到百分位的近似数是．     故答案为：． 【考点题型十八】有理数实际应用 【典例 18】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（个） (1)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (2)求该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (3)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)26 (2)2110 (3)该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的加减和乘法运算的实际应用，掌握正负数的定义以及性质是解题的关键． （1）本周产量中最多的一天的产量减去最少的一天的产量即可求解； （2）把该工艺厂在本周实际每天生产工艺品的数量相加即可； （3）根据工资的教师方法，由计件工资+奖励工资=总工资计算即可． 【详解】（1）解：（个） 答：本周产量中最多的一天比最少的一天多生产26个． （2）解：（个） 答：该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量是2110个． （3）解：该工艺厂在这一周应付出的工资总额（元）． 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 【变式18-1】某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（单位：千米）为： ，，，，，，，，，． (1)求收工时，检修小组在A地哪一边？距离A地多远？ (2)若所乘车辆每千米耗油0.07升，问从A地出发到收工，共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组在A地的东边19千米处 (2)共耗油4.13升 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，正负数的应用，绝对值的意义．理解题意，正确列出运算式是解题关键． （1）将各数相加计算即可； （2）先求出行驶总路程，再乘每千米油耗即可． 【详解】（1）解：， 答：收工时，检修小组在A地的东边19千米处； （2）解：升， 答：共耗油4.13升． 【变式18-2】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量，理由见解析 (3)3585元 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （2）先将各数相加求得正负即可求解； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 【详解】（1）解：（斤）． 所以根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤． 故答案为：29； （2）解：本周实际销售总量达到了计划数量． 理由：， 故本周实际销量达到了计划数量； （3）解： （元）． 答：小明本周一共收入3585元． 【变式18-3】十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 【答案】(1)10月3日外出旅游的人数是万人； (2)最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； (3)m的值为1.6． 【分析】本题考有理数加减的实际应用； （1）根据题意可以用用含的代数式表示10月3日外出旅游的人数； （2）根据表格和题意可以用含的代数式分别表示出这七天每天外出旅游的人数，从而可以得到这七天内外出旅游人数最多的是哪天，最少的是哪天，它们相差多少万人； （3）根据第（2）中的数据可以知道哪天人数最多和最多一天有出游人数4.5万人，可以计算出9月30日出去旅游的人数有多少． 【详解】（1）由题意可得， 10月3日外出旅游的人数是：万人， 即10月3日外出旅游的人数是万人； （2）由题意可得， 10月1日外出旅游的人数：； 10月2日外出旅游的人数：； 10月3日外出旅游的人数：； 10月4日外出旅游的人数：； 10月5日外出旅游的人数：； 10月6日外出旅游的人数：； 10月7日外出旅游的人数：； 万人， 即这七天内外出旅游人数最多的是10月4日，最少的是10月7日，它们相差1.7万人； （3）由（2）可知10月4日外出旅游人数最多为万人， ， 解得． 即9月30日出去旅游的人数有1.6万人． 答：如果最多一天的出游人数为4.5万人，m的值为1.6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数及其运算（18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【清单02】 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 【清单03】数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 【清单04】相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【清单05】绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【清单07】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单08】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单09】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单10】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单11】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单12】 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【清单13】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单01】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单01】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单01】科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点题型一】正负数 【典例1】在，，0，9 300，，中，负数有（  ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1-1】如果收入200元记作＋200元，那么支出150元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-2】贵阳市某天的最高气温是零上，记作，那么最低气温零下记作（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为千克，那么这袋面粉的质量 标准（填“符合”或“不符合”）． 【考点题型二】 相反意义的量表示 【典例2】我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-1】2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式2-2】小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【变式2-3】中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某地海拔高于海平面，记作，则海拔低于海平面可记作（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】有理数的概念辨析 【典例3】下列说法正确的是（  ）． A．正数、负数统称为有理数 B．可以写成分数的形式 C．正有理数、负有理数统称为有理数 D．以上都不正确 【变式3-1】在，，中，有理数有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】在，，0，，中有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（    ） A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数 C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数 【变式3-4】下列各数：，，其中有理数有 个． 【考点题型四】有理数的分类 【典例4】把下列各数填在相应的大括号里． 2024，，，0，，． 正数集合：； 整数集合：； 负分数集合：； 正有理数集合：． 【变式4-1】把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开） 15，，0，，，，，   正数集合{ …}； 负数集合{ …}；   整数集合{ …}；   非负数集合{ …}． 【变式4-2】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【考点题型五】有理数的大小比较 【典例5】下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在，0，，这四个数中，最小的数（    ） A． B．0 C． D． 【变式5-2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】比较大小： （用“”“”填空）． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【典例6】在数轴上与的距离等于5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．6 B．或6 C． D．4或 【变式6-1】在数轴上到表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是（　　） A．1 B．4或 C． D．1或 【变式6-2】点A、B在数轴上对应的数分别为和5，则线段的长度为 ． 【变式6-3】数轴上到的距离是3的数是 ． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【典例7】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】把数轴上表示数3的点在数轴上移动5个单位后，表示的数为（ ） A．8 B．2 C．8或 D．8或2 【变式7-2】如果点是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动6个单位长度到点，则点表示的数为 ． 【变式7-3】如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【考点题型八】倒数的概念和相反数的概念 【典例8】如果与互为倒数，那么的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【变式8-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】的相反数是 ，的倒数是 ． 【变式8-3】设互为相反数，互为倒数，则值是 ． 【考点题型九】绝对值定义、绝对值的性质 【典例9】已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，则（　　） A． B． C．0 D．或 【变式9-2】若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式9-3】已知 ，则 ． 【考点题型十】化简绝对值 【典例10】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 【变式10-3】实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【考点题型十一】有理数的加减运算 【典例11】计算：． 【变式11-1】计算：． 【变式11-2】计算： 【变式11-3】计算：． 【考点题型十二】有理数乘除法运算 【典例12】计算：． 【变式12-1】计算： (1)； (2)． 【变式12-2】计算：． 【变式12-3】计算：． 【考点题型十三】有理数的乘方 【典例13】下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 【变式13-1】下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式13-2】下列各组数中，结果一定相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式13-3】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十四】有理数混合运算 【典例14】计算： (1)； (2)． 【变式14-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式14-2】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式14-3】计算 (1) (2) 【考点题型十五】算“24”点 【典例 5】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【变式15-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【变式15-2】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【考点题型十六】科学计数法 【典例16】我国年月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【变式16-1】北京10月8日文化和旅游部数据显示：国庆假期，文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，假期7天，国内出游7.65亿人次，较2019年同期增长．将7.65亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为米/秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【考点题型十七】近似数的表示 【典例17】用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】用四舍五入法把精确到百分位，所得的近似数是 ． 【变式17-2】精确到是 ． 【变式17-3】精确到百分位的近似数是 ． 【考点题型十八】有理数实际应用 【典例 18】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（个） (1)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (2)求该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (3)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【变式18-1】某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（单位：千米）为： ，，，，，，，，，． (1)求收工时，检修小组在A地哪一边？距离A地多远？ (2)若所乘车辆每千米耗油0.07升，问从A地出发到收工，共耗油多少升？ 【变式18-2】随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【变式18-3】十一黄金周期间，某市在这七天中外出旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6 10月7日 人数变化 (1)若9月30日外出旅游人数记为m，请用含m的式子表示10月3日外出旅游的人数； (2)请判断这七天中外出旅游人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (3)如果最多一天的出游人数为4.5万人，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$