1.1.1 正切 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦直角三角形正切的定义及应用，通过古塔高度测量、梯子倾斜比较等生活问题导入，引导学生从实际情境过渡到直角三角形对边与邻边的比，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过问题驱动培养数学眼光，利用相似三角形推理正切值与倾斜角关系发展数学思维，结合坡度、自动扶梯等应用强化数学语言表达。帮助学生建立数学与生活联系，教师可高效开展概念教学与应用训练。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 1.1.1 正切 第一章 直角三角形的边角关系 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 新课导入 猜一猜，这座古塔有多高？ 想一想，你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗？ 新课导入 A 1 小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小， 再往塔的方向前进50m到B处，又测得∠2的大小， B 2 根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 1 本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题. A B 2 梯子是我们日常生活中常见的物体. 探究新知 正切的定义 1 铅直高度 水平宽度 A C B 从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度. 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角. A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 A B （C） 问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3 m 6m D E F C 2 m B 4 m A 问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1.3 m 1.5 m 3.5 m 4 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结：铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ A C1 C2 想一想 两个直角三角形相似 (2) 和 有什么关系？ (3) 如果改变 B2 在梯子上的位置. (如 B3C3 )呢？ A B1 C2 C1 B2 C3 B3 相等 相似三角形的对应边成比例 (1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？ 在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？ 议一议 返回 B 1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为(　　) 中考考法 11 返回 2. D 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2AC，则∠A的正切值是(　　) 中考考法 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作 tanA，即 . A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA = 结论：tanA 的值越大， 梯子越陡. ∠A的对边 ∠A的邻边 归纳总结 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解:甲梯中， β 5 m ┌ 乙 13 m 乙梯中， ∵ tanα ＞ tanβ，∴甲梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. α 4 m 甲 8 m 典例精析 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度、坡角 2 坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是： 100 m 60 m ┌ α 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米. B ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6 (米)． 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， 方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． 返回 3. 如图，AD是△ABC的高，若BD＝4，CD＝2，tan C＝2，则边AB的长为________. 中考考法 返回 4. (4分)[教材P4“习题1.1”第1题变式]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝12，AC＝9，求tan B，tan C的值. 中考考法 返回 5. B 梯子(长度不变)和地面所成的锐角为∠A，关于梯子的倾斜程度与∠A的正切值的关系，下列叙述正确的是(　　) A．梯子越缓，tan A的值越大 B．梯子越陡，tan A的值越大 C．∠A的正切值与梯子的倾斜程度无关 D．以上都错误 中考考法 6. (12分)如图，CA表示墙面，OA表示地面，梯子OE和OF与地面所成的锐角分别为∠AOE和∠AOF，已知∠AOF>∠AOE. (1)求证：tan ∠AOF＞tan ∠AOE； 中考考法 中考考法 增大 (2)锐角的正切值随角度的增大而________(填“增大”“减小”或“不变”)； (3)梯子________更陡(填“OE”或“OF”). OF 返回 中考考法 返回 7. 1∶4 如图为坡道的示意图，小明测得图中所示的数据，则该坡道的坡度i＝________. 中考考法 返回 8. 15 中考考法 返回 9. D 中考考法 25 返回 10. D 中考考法 26 返回 11. 6 中考考法 27 返回 12. 2 如图，△ABC的三个顶点都在格点上，已知每个小方格的边长均为1，则tan A＝______. 中考考法 28 返回 13. [2024内江中考] 如图，在矩形ABCD中，AB＝3， AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，那么tan ∠EFC＝________. 中考考法 课堂小结 在Rt△ABC中， 如果锐角A确定， 那么∠A的对边与邻边的比随之确定， 这个比叫做∠A的正切. 记作：tanA tanA越大，梯子越陡， ∠A越大. A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ A． B． C． D． A． B． C． D．2 4 解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°， BC＝12，AC＝9， ∴AB＝＝3， ∴tan B＝＝＝， tan C＝＝＝. 证明：由题意知CA⊥AO， ∴△FOA和△EOA均为直角三角形． ∴tan ∠AOF＝，tan ∠AOE＝. ∵AF＞AE，∴＞. ∴tan ∠AOF＞tan ∠AOE. 如图是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝1∶，小宇乘扶梯从扶梯底端A以0.6m/s的速度，用时50s到达扶梯顶端B，则小宇上升的竖直高度BC为________ m. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值(　　) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 [教材P4“随堂练习”第1题变式][2025西安铁一中期中]如图，在△ABC中，AB＝5，tan A＝，tan B＝，则BC的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D． 如图，在坐标系中，P(x，8)是第一象限的点，且 tan α＝，则x的值为________. $