复数的性质证明与灵活应用讲义-2026届高三数学二轮复习

复数的性质证明与灵活应用      

 

复数作为高考的必考内容，一定也是必须拿分的考点。在本文件中包含的主要内容有：

一、复数基本概念和性质及其证明（含部分了解内容，便于采用灵活、多样的方法高效解答复数问题）

二、复数性质的应用

一、基本的概念和性质

1.与复数z=a+bi(a，b ，i为虚数单位)相关的概念（如图）：

（1）、a,b分别叫复数z的实部，虚部；b=0时，z为实数；

b≠0时，z为虚数；a=0且b≠0时，z为纯虚数。

（2）、复数z的模|z|=; z的共轭复数为=a-bi .

（3）、在复平面内，复数z与点Z（a,b）对应，复数z对应向量；

了解内容：r(cosθ+isinθ)叫做复数z的三角形式，其中r=, θ叫做复数z的辐角，a=rcosθ,  b=rsinθ  ;

（4）、在复平面内，复数z，z0分别与点Z, A对应，则|可看作点Z与A之间的距离，即|ZA|=|。

2.相关复数模的性质：

（1）、|=|

（2）、

（3） ……|=|……|；

|= (n);

推导如下：

（1）设z1=a+bi, z2=c+di (a，b ，c，d)，

则z1z2=（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i,

（2）、

 设z1=a+bi, z2=c+di  (a，b ，c，d)，

以上性质均可用下面的了解内容（复数z的三角形式）直接推出。

❶z1z2=r1(cosθ1+isin θ1 )r2(cosθ2+isin θ2 )

=r1r2[cos(θ1+ θ2)+isin (θ1+ θ2) ];

❷z1z2z3……zn

=r1r2r3……rn[cos(θ1+ θ2+θ3……+θn)+isin (θ1+ θ2+θ3……+θn) ]  (n);

❸ zn=rn[cos(nθ)+isin(n θ )]  (n);

❹= [cos( θ2 - θ1 )+isin( θ2 - θ1 )]  (≠0)。

证明：

❶ z1z2=r1(cosθ1+isin θ1 )r2(cosθ2+isin θ2 )

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sin θ2+isin θ1 cosθ2+i2sin θ1 sin θ2 )

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sin θ1 sin θ2)+i(cosθ1sin θ2+sin θ1 cosθ2)]

=r1r2[cos(θ1+ θ2)+isin (θ1+ θ2) ].

由❶易得❷、❸、❹。

3.相关共轭复数的性质：

= + ;

拓广：=++ ;

[2].    = ;

[3].  = ;

[4].  = (≠0);

[5]. z=， =z， ；

证明：设z1=a+bi, z2=c+di (a，b ，c，d)，

[1]. z1+z2=(a+c)+(b+d)i, 

∴=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)= + ;

[3]. z1z2=（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i,

得=(ac-bd)-(bc+ad)i

∵=（a-bi）（c-di）=ac-bci-adi+bdi2=(ac-bd)-(bc+ad)i,

∴ = .

拓广：=  ;   =  (n).

[4]. = (≠0);

∵ = = = ,