期末压轴16大题汇总（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题：期末压轴题汇总（89题16大压轴题型） 题型1 数轴上的规律探究 题型2 数轴中的动点问题 题型3 对序号进行判断 题型4 新定义问题 题型5 规律类问题 题型6 代数式的求值 题型7 最值问题 题型8 根据一元一次方程的解求参数 题型9 绝对值方方程 题型10 整式加减的应用 题型11 探究线段的数量关系 题型12 整式加减中的无关型问题 题型13利用分类讨论求解 题型14绝对值的几何意义与动点问题 题型15有理数混合运算的实际应用 题型16角n等分线的有关计算 题型一 数轴上的规律探究（共5小题） 1．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 3．数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 4．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 5．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 题型二 数轴上的动点问题（共7小题） 6．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 7．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 8．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 9．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 10．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 11．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 12．在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动4个单位长度到达点，第二次将点向右移动8个单位长度到达点，第三次将点向左移动12个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点． （1）当时，对应的数为 ； （2）如果点与原点的距离等于2026，那么n的值是 ． 题型三 对序号进行判断（共8小题） 13．已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 14．已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 15．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（ ） ①若，则； ②若，，则或； ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是17 A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 17．对于多项式，每次选择其中的个括号改变其前面的符号（为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为（为常数且），则； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有15种不同的结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 题型四 新定义问题（共7小题） 21．规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 22．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 23．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 24．现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是 ．（只填写所选择的序号） 25．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 26．对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 题型五 规律类问题（5小题） 28．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 29．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 30．观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 31．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 32．数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 题型六 代数式的求值（共6小题） 33．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 34．已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 35．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 36．已知，求的值为 ． 37．已知，则代数式的值为 ． 题型七 最值问题（共5小题） 38．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 39．将1，2，3，4，…，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（　　） A．2730 B．1565 C．1735 D．1830 40．已知有理数满足，则的最大值是 ． 41．已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 ． 42．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 题型八 根据一元一次方程的解求参数（共6小题） 43．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 45．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 46．已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 47．若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为 ． 48．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 题型九 绝对值方方程（共5小题） 49．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 50．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 51．解方程：． 52．为何值时，方程有解？ 53．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 题型十 整式加减的应用（共6小题） 54．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 55．三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（    ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和的值，即可求出与的周长和 56．如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 57．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 ． 58．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 59．为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 题型十一 探究线段的数量关系（共6小题） 60．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 61．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（　　） A．a+b B．a+2b C．2a﹣b D．2b﹣a 62．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为 ． 63．如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 64．如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 题型十二 整式加减中的无关型问题（共5小题） 65．若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 66．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 67．某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为 ． 68．若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 69．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 题型十三 利用分类讨论求解（共4小题） 70．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 71．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 72．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 73．如图，已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为（秒）． (1)求a、b的值； (2)当点P到原点O的距离和点Q到原点O的距离相等时，求t的值； (3)当之间的距离为8时，求t的值． 74．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 75．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 76．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 77．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c． (1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______； (2)如图3，若a，b，c满足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值． 78．已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 题型十四 绝对值的几何意义与动点问题（共3小题） 79．在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 80．数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是 ； ②的最小值为 ； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 81．阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． 题型十五 有理数混合运算的实际应用（共4小题） 82．综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 83．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米；时长费：元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 84．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 85．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 乘数 乘数 积 0 0 0 1 题型十六 角n等分线的有关计算（共4小题） 86．如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2) 如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 87．从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 88．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 89．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 1．如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是______，点表示的数是_______，、两点间的距离是______； (2)在数轴上动点对应的数是_______（用含的代数式表示）；在数轴上动点对应的数是____；（用含的代数式表示）；当______时，动点与点的距离为1． (3)几秒后，线段与线段恰好满足？ 2．仔细观察分析如图图形和式子，完成下面的问题． 将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； …… (1)类比上例，写出第四个等式：__________； (2)类比上例，计算：； (3)在图②的大正方形网格中包含多少个正方形?在的大正方形网格中包含多少个正方形? 3．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令， 则， 因此， 所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 4．如果一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们可以把这样的自然数叫做“对称数”．例如：自然数5665从最高位到个位排出的一串数字是：5，6，6，5，从个位到最高位排出的一串数字也是：5，6，6，5，所以5665是“对称数”．再如：11，272，393，4884…都是“对称数”． (1)请你直接写出3个五位“对称数”； (2)猜想：任意一个四位“对称数”能否被11整除，并说明理由；（温馨提示：设这个四位数千位上的数字为a，百位上的数字为b，a，b均为自然数）； (3)已知一个能被11整除的三位“对称数”，若个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，则y与x之间的数量关系是_________． 5．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 6．如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 7．将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3) 如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 8．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：期末压轴题汇总（89题16大压轴题型） 题型1 数轴上的规律探究 题型2 数轴中的动点问题 题型3 对序号进行判断 题型4 新定义问题 题型5 规律类问题 题型6 代数式的求值 题型7 最值问题 题型8 根据一元一次方程的解求参数 题型9 绝对值方方程 题型10 整式加减的应用 题型11 探究线段的数量关系 题型12 整式加减中的无关型问题 题型13利用分类讨论求解 题型14绝对值的几何意义与动点问题 题型15有理数混合运算的实际应用 题型16角n等分线的有关计算 题型一 数轴上的规律探究（共5小题） 1．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 2．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 3．数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2025次右移后，点A向右移动个单位，第2025次左移2025个单位，据此列式计算即可求解． 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 4．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 5．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【分析】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【详解】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 题型二 数轴上的动点问题（共7小题） 6．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了数轴和一元一次方程，解题的关键是理解题意． 设点表示的数为，根据点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到对应点与点重合，列式计算即可． 【详解】解：设点表示的数为， 则， 解得：． 故选：C． 7．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 8．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【分析】本题以数轴的形式考查了行程问题，分类讨论思想，根据题意得到的值，分类进行讨论即可，正确根据不同情况得到不同的式子是解题的关键． 【详解】解：，且， 点、表示的数分别为，10， 根据题意得，，， 长分两种情况： ①当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， 故答案为：D． 9．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 10．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 11．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 12．在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动4个单位长度到达点，第二次将点向右移动8个单位长度到达点，第三次将点向左移动12个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点． （1）当时，对应的数为 ； （2）如果点与原点的距离等于2026，那么n的值是 ． 【答案】 14 1012或1013 【分析】本题考查了数轴、数字类变化规律、一元一次方程的应用，找出变化规律是解题的关键． （1）根据数轴上点的移动规律可知，当为奇数时，；当为偶数时，，据此规律即可计算对应的数； （2）分n为奇数和偶数两种情况讨论，根据点与原点的距离等于2026列出方程，即可求出n的值． 【详解】解：（1）点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， …… 依此类推，当为奇数时，；当为偶数时，； ∴当时，对应的数为； 故答案为：14； （2）当为奇数时，， ∵点与原点的距离等于2026， ∴， 解得（负值已舍去）； 当为偶数时，， ∵点与原点的距离等于2026， ∴， 解得（负值已舍去）； ∴综上所述，n的值是1012或1013． 故答案为：1012或1013． 题型三 对序号进行判断（共8小题） 13．已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 14．已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 15．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（ ） ①若，则； ②若，，则或； ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是17 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键． 利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则有两种情况，或， 当时，， 所以，故①错误； ②若，，则，， 由数轴可得， 所以，， 或，故②正确； ③由题意知，，，， ， ，且， ，，为一负二正或两负一正， 即或 当时， ， 当时， ， 故③错误； 由数轴可得， 为一个五位自然数， ， ， ， 当，，，时，取最大值为，故④错误， 故选：A 16．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 17．对于多项式，每次选择其中的个括号改变其前面的符号（为整数，将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数； ②若一种“变号绝对”操作的化简结果为（为常数且），则； ③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有15种不同的结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的化简和相反数的意义，①根据题意找出一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，即为正确；②凑“变号绝对”操作后得到或去绝对值符号后变形为的形式，求得取值即可；③利用列举法可得每一整式有两种变化，共4个整式，共有16个结果，其中一个重复，所以有15个结果 【详解】解：①使操作后化简的结果为常数，则使的系数为0， ∴有 ；故①正确； ② ； 当时，即，； 当时，即，； ∴故②正确； ③∵ ； ∴两种情况结果相同； ∴结果共有（种） ∴③正确， 综上，正确的结果是①②③，共3个， 故选：D 18．在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 19．已知，现将，，，任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义、绝对值的化简、去括号法则等知识点，理解“绝差操作”定义成为解题的关键． 根据绝对值和去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故①正确； 由，则进行“绝差操作”后结果为：， ，，，， ，，，， 共8种，故②错误； 下面是7种不同的运算结果： ，，，，， ， ，即最少有7种结果，故③错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 20．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④错误，不符合题意； 综上，正确的有②③； 故答案为：②③． 题型四 新定义问题（共7小题） 21．规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键． 根据绝对值的性质计算可得x的值，可对（1）进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对（2）进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x、y的值，可对（3）进行判断；根据绝对值的几何意义可对（4）进行判断，综上即可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或，故（1）正确； ∵，，， ∴，， ∴ ，故（2）正确； ∵， ∴， ∴且， 解得：，， ∴，故（3）正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故（4）错误， 综上所述：正确的结论有（1）（2）（3）， 故选：B． 22．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选B． 23．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 24．现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是 ．（只填写所选择的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算． 说法①中，由“M运算”定义得，解得或9，说法不全面；说法②中，由条件得，解得；说法③中，分情况求值，进而判断即可． 【详解】说法①：对a，7进行“M运算”为，由结果为2得，则或，解得或，说法①错误； 说法②：对b， ，10进行“M运算”为，由结果为36得． 当时，，，则，解得； 当时，，则恒成立； 当时，，，则，解得（不在范围内）； 故，即b最大为10，最小为，说法②正确； 说法③：对c， ，5，11进行“M运算”，固定部分为，变量部分为，总结果． 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，； 故当时，该运算的结果取得最小值为39，说法③正确． 故答案为②③． 25．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 26．对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1)不是； (2)，，7；，6； (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1）解：，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）解：， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 题型五 规律类问题（5小题） 28．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 29．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 30．观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以，循环，可以用表示，系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示，的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示，从而可得答案． 【详解】解：∵一组单项式：，，，，… ∴从符号规律可得以，循环，可以用表示， ∴系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示， ∴的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示， ∴得出第n个单项式是； 故答案为：． 31．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 32．数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：． 根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式为_______，第个等式为______； (2)利用等式规律计算：． (3)拓展计算：． (4)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题，理解题意，找出规律是解题的关键． （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此可求解； （4）先对分式变形，再用裂项相消法计算． 【详解】（1）解：第4个等式： 第个等式：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 代数式的求值（共6小题） 33．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 34．已知，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及求代数式的值，去括号，将代数式化简为，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：． 35．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 36．已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 37．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简已知方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后代入求值． 【详解】解： ， 去括号，得， 合并同类项，得， 即． 所以 ． 故答案为：． 题型七 最值问题（共5小题） 38．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．将1，2，3，4，…，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（　　） A．2730 B．1565 C．1735 D．1830 【答案】A 【分析】本题考查了去绝对值，整式的加减，代数式求值，数字类规律题，根据题意化简代数式是解题的关键． 设各组中的数的a比b大，然后去掉绝对值号化简为，所以当30组中的较大的数a恰好是31到60时．这30个值的和的2倍最大，再根据求和公式列式计算即可得解． 【详解】解：设这两个数的较大数为a，较小数为b，即， 则 ， ∴30组的和等于30个较大数的和的2倍， 则这30个值的和的最大值． 故选A． 40．已知有理数满足，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的性质，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键．先计算的最小值，最小值，然后根据题意确定的取值范围，最后求的最大值． 【详解】解：， 表示求到的距离的和， 的最小值为， ，， 表示求到的距离之和， 的最小值为， ， 的最小值为10， ， 当时，的最大值为， 故答案为：4． 41．已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据a，b，c为整数，，且满足，得出要使最小，得出，，然后求出a的负整数值，即可求出结果． 【详解】解：∵a，b，c为整数，，且满足，要求最小， ∴，， ∴ ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意得出，． 42．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】23 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 题型八 根据一元一次方程的解求参数（共6小题） 43．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的值，把代入方程，得到，整理得到，根据无论k为何值，它的解总是，得到，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴ ∴， ∵无论k为何值，它的解总是， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 44．在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 45．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解，求参数的值，先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∵方程有非负整数解， ∴， ∴； 故选D． 46．已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 47．若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为 ． 【答案】2，0，3， 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的解的情况求参数，正确理解方程的解为整数由此得到k的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为整数， ∴ 或， ∴，0，3，， 故答案为2，0，3，． 48．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，将代入方程，化简后得到关于的恒等式，令的系数和常数项分别为零，解出和的值，再求它们的和即可． 【详解】解：将代入方程，得． 两边同乘得，即． 整理得． ∵无论为何值方程都成立， ∴且，解得，． ∴． 故答案为：． 题型九 绝对值方方程（共5小题） 49．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 50．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 51．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 52．为何值时，方程有解？ 【答案】当时，方程有解 【分析】把x分成，和三种情况对方程进行讨论，进而确定a的范围． 【详解】解：当时，原式即， 则， 解得，根据题意得， 解得； 当时，原式即，此时； 当时，原式即， 解得， 则， 解得． 综上所述，当时，方程有解． 【点睛】本题考查了含有绝对值的方程的解的情况，正确进行分类讨论是关键． 53．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和； （2）解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； （3）解：当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去． 所以，原方程分解为或 题型十 整式加减的应用（共6小题） 54．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 55．三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（    ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和的值，即可求出与的周长和 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据题意和图形，正确列出代数式是解决本题的关键． 根据图形中各边之间的关系，即可一一判定． 【详解】解：由图可知：，，故A不正确； 小长方形的周长为：，故B不正确； 与的周长和为： ， 长方形的周长为：， 故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确， 故只需知道和的值，即可求出与的周长和，故D正确， 故选：D． 56．如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据图得到，阴影的大长方形的长为，宽为；阴影的小长方形的长为，宽为c，再用周长公式即可表示出两个阴影小长方形的周长之和． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据长与宽之间的数量关系来解答． 57．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 故答案为：． 58．如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，，现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为，设面积为的长方形一条边为，若无论为何值，图中阴影部分的值总保持不变，此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算的应用，由题意可得图②中，，由此表示出阴影部分的面积，然后令含的项的系数之和为，列方程求得的值，从而求解． 【详解】解：由题意可得：，， ， 又阴影部分的值总保持不变， ， 解得：， ， 故答案为：． 59．为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）长方形的面积为48   （2） ，，   （3） 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，属于中档题． （1）先表示长方形长和宽，代入数值计算面积； （2）通过周长公式列方程，相减得的值，再代入求各部分周长； （3）用、表示、，通过代数变形得出长方形 的周长为． 【详解】解：（1）长方形的长为：，长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， ，，代入得，面积为：， 长方形的面积为48； （2）长方形的周长为24， 即，①， 同理，长方形的周长为16， 即，②， ②①得， 如图，， ， ， ，，； （3）由（2）可知：，，， 长方形的周长为， ，， 即③，④， 用③④得，． 故长方形的周长用，表示为． 题型十一 探究线段的数量关系（共6小题） 60．如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 61．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（　　） A．a+b B．a+2b C．2a﹣b D．2b﹣a 【答案】C 【分析】由已知M是AB的中点，N是CD的中点，推出AM=MB=AB，CN=ND=CD，进一步推出AB+CD=2a-2b，从而得出答案 【详解】解：∵点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点， ∴AM=MB=AB，CN=ND=CD， ∵MN=MB+BC+CN=a， ∴MB+CN=MN-BC=a-b， ∴AB+CD=2MB+2CN=2(a-b)， ∴AD=AB+BC+CD=2a-2b+b=2a-b． 【点睛】此题考查线段中点的定义及线段和、差关系，本题的关键是根据线段的中点找出各线段间的关系求解． 62．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差运算，设，，得出，，根据中点的定义可得，，再进一步求解即可．掌握线段的中点的含义是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵点， ， ，在同一条直线上，， ∴， ∴， ∵点为线段中点， 点为线段中点， ∴，， ∴ ， ∴线段，，之间的关系为． 故答案为：． 63．如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，能根据图形求出各个线段之间的关系是解此题的关键． （1）根据线段中点求出、的长，根据即可求得的长，根据可求出、的长，最后根据即可得解； （2）根据为的中点，，可得到，，结合，，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点，， ，， ，， ． 64．如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)画图见解析，，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的相关计算，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的相关计算是关键． （1）根据线段中点的定义，得到，，，即得答案； （2）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相加即可； （3）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相减即可． 【详解】（1）解：点M是的中点，， ， 同理可得，， ； （2）解：点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ； （3）解：如图所示， 猜想．理由如下： 点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ． 题型十二 整式加减中的无关型问题（共5小题） 65．若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，通过合并多项式中的同类项后，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零求解． 【详解】解：， 合并同类项得：． ∵多项式合并后不含二次项， ∴二次项系数， 解得． 故答案为：． 66．若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】将化简得，从而可求，再将化简，代值计算即可． 【详解】解： ； 因为值与字母的取值无关， 所以， 解得：， ； 当，时， 原式 ； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值及多项式的值与某个字母无关的意义，理解多项式的值与某个字母无关的意义是解题的关键． 67．某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中无关项的计算方法，理解材料提示含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，商场购进甲种羽绒服的数量不影响总利润，意味着总利润与甲种羽绒服的数量无关．因此，在总利润的表达式中，甲种羽绒服数量的系数必须为零，从而建立方程求解a． 【详解】解：设购进甲种羽绒服x件，则乙种羽绒服为件． 每件甲种羽绒服的利润为元，即元； 每件乙种羽绒服的利润为元，即280元． 总利润， 化简得：， 由于P与x无关，故x的系数为零，即，解得． 故答案为：40． 68．若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则． 先求两个多项式的差，合并同类项后，令二次项的系数为零，解方程即可． 【详解】解：计算两个多项式的差： ， 由于差不含二次项，则二次项系数， 解得 ． 故答案为：． 69．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 题型十三 利用分类讨论求解（共4小题） 70．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)①8，②1 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差计算，熟练掌握绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，线段中点有关计算，线段的和差计算，分类讨论，是解题的关键． （1）①根据非负数性质求出m，n的值．根据线段的中点性质求出，然后再相加即可；②根据线段的中点性质求出，然后再计算即可； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时．根据线段的和差计算，线段的中点性质进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴，， ∴ 解得． ∵， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴； ②∵F是的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况讨论：①如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴． ②如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 综上所述，的值为或． 71．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 72．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4 (2)①秒或秒；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点． （1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答； （2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可； ②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点， ∴A点表示的数为， ∵再向右移7个单位到达C点， ∴C点表示的数为， ∴A、C两点间距离为7， ∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B， ∴B点表示的数为； （2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为， ∴， ∵M与Q相距1个单位长度， ∴，即或， 解得或， ∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度； ②设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为， ∴，， ∴当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； ∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 73．如图，已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为（秒）． (1)求a、b的值； (2)当点P到原点O的距离和点Q到原点O的距离相等时，求t的值； (3)当之间的距离为8时，求t的值． 【答案】(1)；10 (2)4或 (3)或 【分析】本题重点考查非负数的性质、数轴、一元一次方程的应用等知识，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键； （1）由非负数的性质得，，求得，； （2）动点对应的数为，动点对应的数是，进行分类讨论求解即可； （3）分、、三种情况进行讨论，列出相应一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，，且， ，， 解得，， ，的值分别为，10； （2）解：点，沿数轴同时出发相向匀速运动，点的速度为2个单位秒，点的速度为1个单位秒， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不满足， 故t的值为或； （3）当之间的距离为8时， 当时，当之间的距离为8时， 则， 解得：， 当时，之间的距离最大为2，故不满足； 当时，当之间的距离为8时， 则 解得：， 故t的值为或． 74．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 75．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 【答案】(1)，8，16； (2)当为6或时； (3)． 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴解得：，， ∵，， ， ， （2）由（1）可知，，，， ∴点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， ∴或 或 ∴当为6或时，、之间的距离为2． （3）点表示的数为，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则， ， 不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ， 不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ，符合题意， 点表示的数为：， 点表示的数为， 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 76．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)－1，3，4 (2)或 (3)①甲：；乙：或；②秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离； （2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤，（Ⅱ）t＞，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）因为， 所， 所以； 所以AB的距离＝， 故答案为：－1，3，4； （2）设数轴上点C表示的数为c． 因为， 所以，即． 因为， 所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上． ①当C点在线段AB上时，则有， 得，解得； ②当C点在线段AB的延长线上时，则有， 得，解得． 故当时，或； （3）①因为甲球运动的路程为：， 所以甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： （I）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， 因为，乙球运动的路程为：， 所以乙球到原点的距离为：； （I I）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：； ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 77．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c． (1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c =______； (2)如图3，若a，b，c满足， ①=_____，b=_____，c=_____； ②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值． 【答案】(1)-7，3，-2 (2)①-5，-4，3，②当A为BC的中点时，t=3 【分析】（1）先得出每个相对面，再由相对面上的两个数互为相反数可得出a，b的值，再根据点C是线段AB的中点得出c的值； （2）①根据非负数的和等于0，即每一项等于0，求出a，b，c的值即可； ②根据数轴上点的运动规律表示出t秒后A，B表示的数，再根据点A是BC的中点列方程求解即可． 【详解】（1）解： “a”与“7”相对，“b”与“-3”相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴a=-7，b=3， ∵点C为线段AB的中点， ∴c==-2， 故答案为：-7，3，-2； （2）解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0， ∴a+5=0，b+4=0，c-3=0， ∴a=-5，b=-4，c=3， 故答案为：-5，-4，3； ②当点A与点C重合时，则 2t=3-（-5）， 解得t=4， 当点B与点C重合时，则 t=3-（-5）， 解得t=8， 可见点A先到达点C， 只存在AB=AC，且点A在点B右侧而在点C左侧的情况， ∴=-5+2t， 解得：t=3． ∴当A为BC的中点时，t=3． 【点睛】此题考查了正方体相对面上的文字，计算线段的中点以及非负数的性质，解题的关键是要有空间想象能力． 78．已知在数轴上所表示的数分别为，且． (1)___________，___________； (2)①有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为___________个单位长度； ②如图所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数． (3)在（）的条件下，当火车以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）①由数轴上两点间距离公式的，又由题意可得，进而即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可知两点只能在点的右侧， 即只能向右运动，再根据题意列出方程解答即可求解； （）设运动时间为，分所表示的数为和所表示的数为两种情况，利用数轴上两点间距离公式分别表示出和，进而表示出，再根据的值与它们的运动时间无关求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①由（）知，，， ∴， 又由题意可得，， ∴， 即玩具火车的长为个单位长度， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵点在的右侧，当时，可知， ∴两点只能在点的右侧， ∴只能向右运动，即， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴点所表示的数为或； （3）解：存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为，理由如下： 设运动时间为， 分两种情况：①当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； ②当所表示的数为时，则点表示的数为，如图， ∴ 运动时，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 当的值与它们的运动时间无关时，则， 解得，此时定值为； 综上，存在，使得的值与它们的运动时间无关，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，理解题意是解题的关键． 题型十四 绝对值的几何意义与动点问题（共3小题） 79．在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 【答案】(1)①2或6  ②1  ③x的值为或0 (2)数轴表示见解析 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值方程的应用，将数轴上的距离关系转化为绝对值方程是解题关键． （1）根据题意，利用“绝对值的几何意义”求解． （2）先通过距离公式转化为绝对值表达式，再分区间讨论去绝对值，进而求解不等式． 【详解】（1）①解：代数式可看成数轴上表示数的点与表示4的点之间的距离， ， ，， 或6． ②解：代数式可看成数轴上表示到和4距离相等的点， ， ． ③解：代数式可看成数轴上表示到4的距离是到距离两倍的点， ， ， 当表示数的点在点左侧时，，解得， 当表示数的点在点和点之间时，，解得， 当表示数的点在点右侧时，， 所以此种情况不存在，综上所述，或0； 答：x的值为或0． （2）解：由题可知，设点D表示的数为x， 不小于， ， ， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得（不符合，舍去）， 在数轴上，选定区域为，如图所示， 符合条件的点为签字笔加粗部分的点． 80．数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是 ； ②的最小值为 ； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1) 3 (2) 5 8 (3)当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． （1）绝对值的几何意义，表示与a的差的绝对值，可理解为与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，分别讨论在的左侧、3的右侧或者和3中间时，距离之和的大小即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为，然后根据题目条件用表示总成本，由（2）可得实验室建在、之间（包含、）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3． （2）解：①表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当或时，，则的最小值是5； 故答案为：5． ②表示在数轴上对应的点分别与、和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当时，，则的最小值是8； 故答案为：8． （3）解：以市民广场为原点，、、分别为、1、3建立数轴，设实验室对应的数字为， 总运输和包装成本为，由（2）知时，总成本可能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵ ∴． 则，当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 81．阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． 【答案】(1)4，； (2)2，2，8 (3)6；2，3，4，5，6，7，8； (4)6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是正确理解绝对值表示距离的本质； （1）数轴上两点间的距离是两个数之差的绝对值； （2）由绝对值拓展的资料可得答案； （3）根据的绝对值意义，借助数轴即可得到答案； （4）思路同（3），只有当时取得最小值，进而得到答案； 【详解】（1）解：由题可知： 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为， 故答案为：4，； （2）解：可以理解为数轴上表示和2的两点之间的距离， 可以理解为数轴上表示的点到表示2和8这两点的距离之和， 故答案为：2，2，8； （3） 解：由数轴易得： 当时，的值最小为， 故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8； （4） 解：借助数轴易得： 当时，的最小值是， 故答案为：6． 题型十五 有理数混合运算的实际应用（共4小题） 82．综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并正确使用所给的方法是解题关键． （1）根据【拓展延伸】所给的方法，将每个二进制数转化成十进制数，即可得到答案； （2）类比二进制，八进制数转化为十进制数，需要依次乘以，，，，； （3）根据题干可知，此种计数法属于五进制，类比二进制进行转化，可得十进制下的天数．十进制数转化为二进制数，需要使用除二取余法，即将十进制数反复除以2，并记录每次的余数（0或者1），直到商为0，最后将余数按倒序排列，得到答案． 【详解】（1）解：图2中四个二进制数分别为，，，， 依次转化：， ， ， ， ∴这个四位数为； （2）类比（1）的方法， ， （3）由题意可知，孩子出生天数为，转化为十进制数， ， ∴孩子已经出生了42天． 下面将42转化为二进制数， ， ， ， ， ， ， ∴． 83．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟 (2)①小明不能按照计划到家并支付费用；②先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里，最少时间18分钟，费用14元； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为： （元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 84．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 85．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)表格见解析； 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 题型十六 角n等分线的有关计算（共4小题） 86．如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 87．从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：① ，， ， 平分，平分， ，， ； ②，理由如下： ， ； （2） ，， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 88．如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 89．定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 1．如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是______，点表示的数是_______，、两点间的距离是______； (2)在数轴上动点对应的数是_______（用含的代数式表示）；在数轴上动点对应的数是____；（用含的代数式表示）；当______时，动点与点的距离为1． (3)几秒后，线段与线段恰好满足？ 【答案】(1)2；；6 (2)；；或； (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，非负数的性质，能将相关基础知识灵活运用起来是本题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点A和点B表示的数，再根据数轴上的两点之间的距离计算公式求解即可； （2）用点A表示的数加上点M运动的距离可得点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的距离即可得到点N表示的数，再根据数轴上的两点之间的距离计算建立方程求解即可； （3）分别用含x的式子表示出和，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是2，点表示的数是， ∴、两点间的距离是； （2）解：由题意得，在数轴上动点对应的数是，在数轴上动点对应的数是； ∵动点与点的距离为1， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：由（2）可得，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 2．仔细观察分析如图图形和式子，完成下面的问题． 将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； …… (1)类比上例，写出第四个等式：__________； (2)类比上例，计算：； (3)在图②的大正方形网格中包含多少个正方形?在的大正方形网格中包含多少个正方形? 【答案】(1) (2)2500 (3)14个；91个 【分析】本题考查了图形类的规律探究，含乘方的有理数运算，根据题意得到规律是解题的关键． （1）根据所给式子的规律列式直接解答即可； （2）根据所给式子的规律，可知， （3）分别计算出前面几个大正方形网格中的正方形个数，总结出规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，第四个等式为， 故答案为：； （2）解：根据式子可知，， ， ， …… ， ∴； （3）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形． ∴在图②的大正方形网格中包含14个正方形；在的大正方形网格中包含91个正方形． 3．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令， 则， 因此， 所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2；；；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握给出的运算方法是解题的关键． （1）根据给出的数字，抽象概括出数字规律，进行解答即可； （2）仿照（1）中②的运算方法进行计算即可； （3）利用（1）中②的方法，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵ ∴，； 故答案为： 2；；； （2）令 则 得：，； （3）令 则 ： ∴ ∴ ． 4．如果一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们可以把这样的自然数叫做“对称数”．例如：自然数5665从最高位到个位排出的一串数字是：5，6，6，5，从个位到最高位排出的一串数字也是：5，6，6，5，所以5665是“对称数”．再如：11，272，393，4884…都是“对称数”． (1)请你直接写出3个五位“对称数”； (2)猜想：任意一个四位“对称数”能否被11整除，并说明理由；（温馨提示：设这个四位数千位上的数字为a，百位上的数字为b，a，b均为自然数）； (3)已知一个能被11整除的三位“对称数”，若个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，则y与x之间的数量关系是_________． 【答案】(1)13531，25652，36763（答案不唯一） (2)能被11整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式加减的应用、对称数的定义理解、数的整除性分析，解题关键是根据对称数的数位特征表示出数的代数式，再结合整除的性质进行分析推导． （1）根据“对称数”的定义即可求解； （2）根据题意得：这个四位“对称数”为，化简为，再根据数的整除特性即可得出答案； （3）根据题意表示出三位“对称数”，即，将变形为，能被整除，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：写出3个五位“对称数”：13531，25652，36763（答案不唯一）； （2）解：任意一个四位“对称数”能被11整除，理由如下： 设四位“对称数”个位上的数字为，十位上的数字为（a，b均为自然数），则四位“对称数”可表示为， ∵， ∴能被11整除， 即任意一个四位“对称数”能被11整除． （3）解：∵这个三位“对称数”的个位上的数字为x，十位上的数字为y， ∴这个三位数为， ∵这个三位“对称数”能被整除，且x、y是自然数， ∴能被整除． 又∵， ∴， 即， ∴y与x之间的数量关系是． 故答案为：． 5．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）分四种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由已知可得，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； 本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可分为四种情况： ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵， ∴，，， 又∵， ∴三个有理数有两个正数一个负数， 不妨设，，， ∴． 6．如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8． （2）解：由（1）可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，． （3）解：设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 7．将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 8．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 【答案】(1) (2) (3)20，40或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义； （1）求解，结合角的和差可得答案； （2）设，表示，，再结合角的和差可得答案； （3）①当C在的右上方时，如图，，，②当C在的右下方时，如图，，，③当C在的左下方时，如图，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，平分， ， ， ． （2）解：如图， 设， ， ， ， ， ． （3）解：①当C在的右上方时，如图， ，， ， ． ②当C在的右下方时，如图， ，， ， 即， ． ③当C在的左下方时，如图， ，， ， 即， ． 综上所述，当时，t的值为20或40或． 学科网（北京）股份有限公司 $