贵州省黔东南州2025-2026学年 九年级上学期期末数学 压轴卷

保密★启用前 黔东南州2025-2026学年上学期期末压轴卷 九年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 5．（本题3分）下列事件为确定事件的是（    ） A．买彩票中特等奖 B．一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球 C．打开电视机，正在播新闻联播 D．如果为有理数，那么 6．（本题3分）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 7．（本题3分）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（ ） 第7题图 第9题图 第10题图 A． B． C． D． 8．（本题3分）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 11．（本题3分）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） 第11题图 第12题图 A．7 B．7.5 C．8 D．9 12．（本题3分）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）把一元二次方程化成一般形式： ． 14．（本题4分）已知点和点关于原点对称，则 ． 15．（本题4分）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 16．（本题4分）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）解方程： (1) (2) 18．（本题10分）电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． (1)求该水果销售量的月增长率． (2)若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (3)求的面积． 20．（本题10分）“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．    (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 21．（本题10分）如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 22．（本题12分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长和图中阴影部分的面积． 23．（本题12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）采用自然光晾晒衣物，可使衣物的清洁度更高．如图1是小明家房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线．如图2，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为轴建立平面直角坐标系．抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱和的高度均为． (1)求如图（1）中抛物线的解析式． (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数，图象直接写出的取值范围． 25．（本题12分）【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点D，逆时针旋转到处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则　　． （2）如图③，是的直径，点C、D在上，若，，求的长． 【拓展规律】 （3）如图④，，，若，，求的长（用含a，b的代数式表示） （4）如图⑤，，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则线段与的数量关系是　　．（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 黔东南州2025-2026学年上学期期末压轴卷答案解析 九年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式的性质，根据二次函数的顶点式写出顶点坐标是解题的关键． 首先明确抛物线已经是顶点式，再结合抛物线的顶点坐标为，直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为， 故选：A． 3．（本题3分）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 4．（本题3分）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 5．（本题3分）下列事件为确定事件的是（    ） A．买彩票中特等奖 B．一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球 C．打开电视机，正在播新闻联播 D．如果为有理数，那么 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各项分析判断即可． 【详解】解：A、买彩票中特等奖，是随机事件； B、一个口袋只装有5个黑球，从中摸一个是黑球，是必然事件（即确定事件）； C、打开电视机，正在播新闻联播，是随机事件； D、如果为有理数，那么，是随机事件． 故选：B 6．（本题3分）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 7．（本题3分）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到． 【详解】解：连接， 是圆O的直径， ， ， ， ． 故选：B． 8．（本题3分）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 9．（本题3分）如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，由旋转的性质可得出，，，由已知条件结合三角形外角的性质求出的度数，即可得出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10．（本题3分）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 11．（本题3分）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 12．（本题3分）如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）把一元二次方程化成一般形式： ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 14．（本题4分）已知点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算，最后计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（本题4分）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 【答案】12 【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量． 【详解】解：设白球有x个，则总球数为个． 根据题意得：． ， 即， 移项得， 即， 解得． 检验：当时，分母，方程成立． 故答案为12． 16．（本题4分）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，． （2）解：， 因式分解，得， 或， ，． 18．（本题10分）电商直播持续火热，为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．8月份销售1800件，10月份销售2178件，8月份到10月份销售量的月增长率相同． (1)求该水果销售量的月增长率． (2)若该运营中心平均每天可销售70件，每件盈利30元．为了尽可能的让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件火龙果每降价1元，平均每天可多售出5件，当每件火龙果降价多少元时，日盈利可达到2295元？ 【答案】(1)该水果销售量的月增长率为． (2)每件火龙果降价13元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据销售的数量原来销售量增加的销售量求解即可； （2）设每件商品降价x元，根据日盈利可达到2295元列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该水果销售量的月增长率为m．由题意得 解得，（不合题意，舍去） 答：该水果销售量的月增长率为． （2）解：设每件火龙果降价x元时，日盈利可达到2295元．由题意得： 解得，， ∵尽可能的让利给消费者 ∴每件火龙果降价13元． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析， 点的坐标为 (2)图见解析 (3)的面积为 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，求绕原点旋转度的点的坐标，利用网格求三角形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据对称的性质即可画出关于原点对称的图形，写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转后的图形， （3）利用割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求；点的坐标为． （2）解：如图，即为所求； （3）解：的面积是． 20．（本题10分）“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．    (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查“古典概型求单次抽取的概率”“列表法或画树状图法求概率”，理解抽取后再放回洗匀，属于放回型，正确列出表格或画出树状图是解题关键． （1）单次抽取，共有4种等可能的结果，根据公式求解即可； （2）放回型两次抽取，列出表格或树状图，分别求出甲胜和乙胜的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知共有4种等可能的结果，故随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率为； （2）解：分别以卡片A，B，C，D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种， ∴甲胜出的概率为， ∴乙胜出的概率为， ∵甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等， ∴游戏不公平． 21．（本题10分）如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 22．（本题12分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长和图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，论证即可； （2）根据等腰三角形的性质结合勾股定理求出，连接，可得是等边三角形，从而得到，进而计算出弧长及阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，解得舍负， ，， 是等边三角形，， ， 的长， ∴图中阴影部分的面积 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质、扇形面积、三角形面积等知识点，关键是灵活应用知识点解题． 23．（本题12分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作轴于点C，交于点D，设点P的横坐标为，则，根据，结合二次函数的性质，即可得出答案； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，点P的坐标为，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式列出方程组，解方程组，得出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 将代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 如解图，过点P作轴于点C，交于点D，    设点P的横坐标为， 则， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点M的坐标为，点P的坐标为， 由已知可知：， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24．（本题12分）采用自然光晾晒衣物，可使衣物的清洁度更高．如图1是小明家房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线．如图2，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为轴建立平面直角坐标系．抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱和的高度均为． (1)求如图（1）中抛物线的解析式． (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数，图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)水平距离为5米 (3)m的取值范围是或 【分析】（1）由题意得，抛物线经过点和点，并将其代入求解即可； （2）根据的最低点离地面米，可得，，将点代入可求出抛物线的表达式，根据的高度为，令，求出横坐标的值，即可求得，进而得到水平距离； （3）由于抛物线，抛物线 的对称轴分别为和，当或时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，，由于平移不改变图形形状和大小，故当或时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间必须包含在或区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过点和点， 将点和点代入， 得，解得， ； （2）解：如图所示， 由题知，的最低点离地面米， 抛物线的表达式为：， 点在抛物线上， 当时，， ， 则抛物线的表达式为：， 当时，即 解得，（不合题意，舍去）， ，（米）； （3）解：由（2）题可知，抛物线，抛物线的对称轴分别为和， ∴此时，当或时，y的值随x值的增大而减小， 将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为， 如图所示， 平移不改变图形形状和大小， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象， 得m的取值范围是： ①且，得， ②且，得， 由题意知， 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键． 25．（本题12分）【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点D，逆时针旋转到处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则　　． （2）如图③，是的直径，点C、D在上，若，，求的长． 【拓展规律】 （3）如图④，，，若，，求的长（用含a，b的代数式表示） （4）如图⑤，，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则线段与的数量关系是　　．（直接写出答案） 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4）或 【分析】（1）先判断出E、A、C三点共线，再用旋转的性质得出是等腰直角三角形，证明可得结论； （2）连接、、即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出的长度； （3）以为直径作，连接并延长交于点，由（2）问题可知：；又因为，所以利用勾股定理即可求出的长度； （4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线的右侧和当点E在直线的左侧时，连接、后，利用（2）和（3）问的结论进行解答． 【详解】解：（1）将绕点D，逆时针旋转到处， ∴， ∵， ∴， ∴E、A、C三点共线， ∴为平角， 由旋转知，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5； （2）连接、、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 将绕点D，逆时针旋转到处，如图③， ∴， ∵， ∴， ∴E、A、C三点共线， ∵，， ∴由勾股定理可求得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）以为直径作，连接并延长交于点， 连接，，，如图④， 由（2）的证明过程可知：， ∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∵，， ∴由勾股定理可求得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）分以下两种情况： 当点E在直线的左侧时，如图⑤， 连接，， ∵，， 点P是的中点， ∴，， 又∵，点Q是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（2）的证明过程可知：， ∴， ∴； 当点E在直线的右侧时，如图⑥， 连接、， 同理可知：， 设，则， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（3）的结论可知：， ∴． 综上所述，线段与的数量关系是 或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $