第2章等式与不等式高频考点分类复习培优讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义以等式与不等式高频考点为核心构建知识体系，通过10个专题考点系统梳理内容，从一元二次方程根与系数关系到不等式综合应用，按逻辑递进呈现知识脉络，突出各考点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于真题导向的分层练习设计，例题选自上海各区高一期末试题，如根与系数关系的含参问题、均值不等式求最值等，变式训练覆盖选择、填空、解答题，培养数学思维与运算能力。基础学生可掌握方法，优秀学生能深化综合应用，助力教师实施精准分层教学。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式高频考点分类复习 考点01：一元二次方程的根与系数的关系 考点02：不等式的性质 考点03：一元二次不等式的求解 考点04：分式不等式的求解 考点05：绝对值不等式的求解 考点06：平均值不等式（比较大小与证明） 考点07：利用均值不等式求最值 考点08：三角不等式 考点09：基本不等式的实际应用 考点10：不等式综合 考点01：一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（2024高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【答案】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【解析】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 【例2】 （24-25闵行区高一上期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【小问1详解】 由题意，解得或， 的范围是． 【小问2详解】 由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 【变式训练】 1. （2024-25虹口高一上期末）已知是方程的两个实根，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据韦达定理得出，再化简计算即可. 【详解】因为是方程的两个实根，所以， 则. 故答案为：3. 2. （24-25向明中学高一上期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 3. 已知且，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】通过是函数两个大于的不同零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意可知是函数两个大于的不同零点， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 4. （24-25松江区高一上期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . （1）求实数的值； （2）求和的值. 【答案】（1）1； （2）3，. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出. （2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以； . 5. （24-25浦东新区高一上期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. （1）求 的值； （2）当 取到最小值时，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)因为方程有两个实根，所以，求出的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和两根之积，代入即可求值. (2)利用韦达定理， 把表示成关于的二次函数，即求出二次函数取最小值时的值. 【小问1详解】 因为 有两个根， 所以 ， ， 即 ，解得 或 ， 由韦达定理，得 ， ， 【小问2详解】 设抛物线方程 ，定义域为 或 ， 开口向上，抛物线的对称轴 ， 当 时，函数严格减函数，即在 上是严格减函数， 时，函数为严格增函数，即在 上是严格增函数， 当时，取最小值32即  取最小值. 考点02：不等式的性质 【例3】（24-25闵行区高一上期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（ ） A 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【变式训练】 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 【答案】①③④ 【分析】根据不等式的性质一一判断求解. 【解析】对于①,因为，且，根据不等式的可加性， 所以，故①正确； 对于②，例如有，故②错误； 对于③, ，因为，所以， 即，故③正确； 对于④，因为，所以且， 所以，故④正确， 故答案为：①③④. 2. （24-25浦东新区高一上期末）如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案. 【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确； 对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误； 对于B选项，由于，但，故B选项错误； 对于D选项，由于，但，故D选项错误. 故选：C. 3. （24-25建平中学高一上期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 4. （2024-25敬业中学高一期末）已知且，则下列关系中恒成立是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AC，举反例即可排除； 对于B，利用指数函数的单调性即可排除； 对于D，利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A，令，则，但，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，，所以，故B错误； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 5. （2024-25控江中学高一上期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过取，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，通过作差，即可求解. 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误， 对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确， 故选：B. 考点03：一元二次不等式的求解 【例4】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可； （2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以， 所以若，求实数的取值范围为. （2）当时，方程的两个根为， 当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合， 因为，，所以，此时， 综上，实数的取值范围为. 【例5】（2024-25上海实验学校高一期末）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答. 【详解】依题意，，，即， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 【变式训练】 1. （24-25浦东新区高一上期末）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解. 【详解】因为不等式的解集是， 在上恒成立， ，即． 故答案为: . 2. （224-25奉贤区高一上期末）不等式的解集为__________． 【答案】R 【解析】 【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集. 【详解】开口向上，， 二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R 3. （24-25上海华东模范中学高一上期末）不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 5. （24-25向明中学高一上期末）求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【小问1详解】 由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可； （2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以， 所以若，求实数的取值范围为. （2）当时，方程的两个根为， 当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合， 因为，，所以，此时， 综上，实数的取值范围为. 考点04：分式不等式的求解 【例6】（24-25宜川中学高一上期末）不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于，求解即可. 【详解】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】不等式等价于，即， 解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 2. （2024-25虹口高一上期末）不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】由题意，所以解集为. 故答案为： 3. （24-25建平中学高一上期末）不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将1移到不等号左边，通分化简即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 考点05：绝对值不等式的求解 【例7】（2024-25格致中学高一上期末）不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为,即可求得解集. 【详解】解：因为,, 所以,即, 所以,且, 解得且. 所以解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查含绝对值的分式不等式的解法,注意分母不等于零是易错点. 【变式训练】 1.（2024-25华东师大附中进华中学高一期末）（1）解不等式． 【详解】（1）因为， 所以或， 所以或， 所以不等式的解集为； 2．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 【答案】3 【分析】求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答. 【解析】不等式，化为，因此不等式的解集为， 依题意，，于是，解得， 所以实数等于3. 故答案为：3 3.（24-25建平中学高一上期末） 若关于的不等式的解集为，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的性质得到的取值，再根据已知解确定实数的值. 【详解】根据绝对值不等式的性质可得， 又，所以，则， 当时，不等式可化为，解得，即， 当时，不等式可化为，即恒成立， 当时，不等式可化为，即， 解得与矛盾， 综上不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以， 故答案为：2. 考点06：平均值不等式 【例8】（24-25华东师大附中高一上期末）若满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【变式训练】 1.设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 2.设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：B 考点07：利用均值不等式求最值 【例9】（24-25浦东新区高一上期末）已知，，且，则的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解． 【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题． 【例10】（2024-25虹口高一上期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（ ）. A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 【变式训练】 1. （24-25建平中学高一上期末）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故最小值为. 故答案为：. 2. （24-25向明中学高一上期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解析】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 4. （2024-25上海大学附中高一期末）已知实数满足，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 考点08：三角不等式 【例11】（24-25长宁区高一上期末） 若对任意，都有，则实数的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是.  因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是.  故答案为：3. 【例12】（2024-25晋元高级中学高一上期末）方程的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集. 【详解】由绝对值三角不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的解集为. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故的最小值为6. 故答案为：6 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题. 2. （24-25松江区高一上期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案. 【详解】因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得： 则实数取值范围是. 故答案为： 3. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 考点09：基本不等式的实际应用 【例13】(24-25行知中学高一上期末) 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【提示】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【变式训练】 1.（24-25高一上·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2)当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据基本不等式计算即可； （3）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）由题意可得：甲队的报价为元，； （2）甲队的报价为. 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立. 所以当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. （3）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 考点10：不等式综合 【例14】（20-21高一上·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果； （2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，代入特殊值可知f（2）≥1，从而有a≤1或a≥3；令F（x）＝f（x）﹣x+1，分类讨论a≤1或a≥3时F（x）的最小值，使得F（x）min≥0，可求出a的取值范围. 【解析】（1）当时，即为， 当时，，解得； 当时，，可得解集为空集； 当时，，解得解集为空集， 综上，原不等式的解集为； （2）关于的不等式恒成立，即为恒成立， 因为f（2）≥1成立，即|2﹣a|≥1，解得a≤1或a≥3， 设函数F（x）＝f（x）﹣x+1，则F（x）≥0恒成立， 若a≥3，则F（x）＝， 由此F（x）min＝﹣1与F（x）≥0恒成立矛盾， 若a≤1，则F（x）＝， 由此F（x）min＝1﹣a≥0恒成立，符合F（x）≥0恒成立的要求， 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]． 【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解； （2）含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参. 【变式训练】 1．（2025高一上·上海松江·期中）（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或. 【解析】（1）分，，三种情况求解即可； （2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围； （3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值 【解析】（1）若时，，符合题意； 若时，，解得，故； 若时，，无解； 综上，的解是； （2）根据三角不等式得，，所以，解得或， ∴集合； （3）由可得，由可得，故， 若，，解得，符合题意； 若，设，由于，所以只要即可 即 因为，可得或； 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存，或或 【解析】 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【小问1详解】 不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. 【小问2详解】 不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. 【小问3详解】 由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 1. （224-25奉贤区高一上期末）设、是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 2. （2024-25嘉定高一上期末）已知方程的两个根为、，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 3. （2024-25嘉定高一上期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（2024高三下·上海杨浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解. 【解析】不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5.不等式的解集为_______ 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，由此可求结果. 【详解】因为，解得， 所以解集为， 6. （2024-25洋泾中学高一期末）求函数的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，结合一次函数单调性求解即可. 【详解】因为 则在上单调递减，此时； 当时，； 在上单调递增，此时； 综上， 故答案为：1. 7. （2024-25嘉定高一上期末）若，则的最小值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 8. （2024-25敬业中学高一期末）已知正实数满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可得，结合二次函数性质求结论. 【详解】由已知，， 所以，， 所以， 所以当时（此时），取最大值，最大值为. 故答案为：. 9. 已知正实数满足，则最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据结合基本不等式即可得解. 【详解】解：因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 10. （2024-25长宁高一期末）若对任意，都有，则实数的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是.  因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是.  故答案为：3. 11.（24-25华东师大附中高一上期末） 已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 12. （2024-25格致中学高一上期末）已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 13．（2024秋•奉贤区校级期中）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是　　． 【分析】先求表达式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于表达式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可． 【解答】解：|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和， 当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1， 所以|x﹣3|+|x﹣4|≥1， 如果不是空集，所以a＞1， 故答案为：（1，+∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的几何意义，是基础题． 14.（24-25浦东新区高一上期末） 若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】令，去绝对值，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 由题意可知，对任意的恒成立， 当时，， 则函数在上为减函数，则； 当时，， 则； 当时，， 则函数在上为增函数，. 综上所述，函数在上的最小值为，故. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15.（2024-25徐汇高一上期末） 下列说法正确的是（ ） A. 方程的两个实数根满足 B. 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C. 已知方程的两个实数根，则 D. 若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 16. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析每一个选项判断得解． 【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确； 对于选项B，因为，所以，所以该选项正确； 对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误； 对于选项D，所以，所以该选项正确． 故选：C 17. （2024-25上海大学附中高一期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】因为，所以，故①错误； ，故②正确； ，即，所以，故③错误； 因为，所以，故④错误； 故选：A 18. （24-25进才中学高一上期末）设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】正向取反例即可，反向根据不等式性质即可，最后根据必要不充分条件判定即可. 【详解】正向来看，取，则，满足，但不满足且，故充分性不成立， 反向来看，，则，故必要性成立， 所以前者是后者的必要不充分条件. 故选：B. 19. （2024-25金山高一上期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 20. （24-25长宁区高一上期末）已知． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围． （2）设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）问题化为在R上恒成立，利用即可求参数范围； （2）由题意、是方程的两个根，应用韦达定理并结合列方程求参数值，注意验证. 【小问1详解】 由题意，在R上恒成立，则， 所以，可得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题设，、是方程的两个根， 则，，， 由，即， 所以，可得或. 经验证，或均满足， 所以或. 21. （24-25浦东新区高一上期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. （1）求 的值； （2）当 取到最小值时，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)因为方程有两个实根，所以，求出的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和两根之积，代入即可求值. (2)利用韦达定理， 把表示成关于的二次函数，即求出二次函数取最小值时的值. 【小问1详解】 因为 有两个根， 所以 ， ， 即 ，解得 或 ， 由韦达定理，得 ， ， 【小问2详解】 设抛物线方程 ，定义域为 或 ， 开口向上，抛物线的对称轴 ， 当 时，函数严格减函数，即在 上是严格减函数， 时，函数为严格增函数，即在 上是严格增函数， 当时，取最小值32即  取最小值. 22．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）解绝对值不等式、一元二次不等式并结合区间的概念、并集的概念即可得解. （2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的跟的关系可先得，再解分式不等式即可得解. 【解析】（1）由，得， 因为，所以，故， 所以. （2）由题意得有两个根为1和5， 所以， 则的解集为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式高频考点分类复习 考点01：一元二次方程的根与系数的关系 考点02：不等式的性质 考点03：一元二次不等式的求解 考点04：分式不等式的求解 考点05：绝对值不等式的求解 考点06：平均值不等式（比较大小与证明） 考点07：利用均值不等式求最值 考点08：三角不等式 考点09：基本不等式的实际应用 考点10：不等式综合 考点01：一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（2024高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【例2】 （24-25闵行区高一上期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【变式训练】 1. （2024-25虹口高一上期末）已知是方程的两个实根，则__________. 2. （24-25向明中学高一上期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知且，，则实数的取值范围是_______. 4. （24-25松江区高一上期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . （1）求实数的值； （2）求和的值. 5. （24-25浦东新区高一上期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. （1）求 的值； （2）当 取到最小值时，求 的值. 考点02：不等式的性质 【例3】（24-25闵行区高一上期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（ ） A 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【变式训练】 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 2. （24-25浦东新区高一上期末）如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. （24-25建平中学高一上期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 4. （2024-25敬业中学高一期末）已知且，则下列关系中恒成立是（ ）. A. B. C. D. 5. （2024-25控江中学高一上期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 考点03：一元二次不等式的求解 【例4】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【例5】（2024-25上海实验学校高一期末）甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________． 【变式训练】 1. （24-25浦东新区高一上期末）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________． 2. （224-25奉贤区高一上期末）不等式的解集为__________． 3. （24-25上海华东模范中学高一上期末）不等式的解集为__________. 4. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 5. （24-25向明中学高一上期末）求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）. 6.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 考点04：分式不等式的求解 【例6】（24-25宜川中学高一上期末）不等式的解集为__________. 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）不等式的解集是______. 2. （2024-25虹口高一上期末）不等式的解集为__________. 3. （24-25建平中学高一上期末）不等式的解集为__________． 考点05：绝对值不等式的求解 【例7】（2024-25格致中学高一上期末）不等式的解集为________. 【变式训练】 1.（2024-25华东师大附中进华中学高一期末）（1）解不等式． 2．（2023·上海闵行·二模）若不等式的解集为，则实数等于 . 3.（24-25建平中学高一上期末） 若关于的不等式的解集为，则实数__________． 考点06：平均值不等式 【例8】（24-25华东师大附中高一上期末）若满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1.设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2.设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 考点07：利用均值不等式求最值 【例9】（24-25浦东新区高一上期末）已知，，且，则的最大值为_________ 【例10】（2024-25虹口高一上期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（ ）. A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【变式训练】 1. （24-25建平中学高一上期末）已知实数满足，则的最小值为__________． 2. （24-25向明中学高一上期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 4. （2024-25上海大学附中高一期末）已知实数满足，则的最小值为____________. 考点08：三角不等式 【例11】（24-25长宁区高一上期末） 若对任意，都有，则实数的最大值为________ 【例12】（2024-25晋元高级中学高一上期末）方程的解集为_______. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的最小值为________. 2. （24-25松江区高一上期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 3. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 考点09：基本不等式的实际应用 【例13】(24-25行知中学高一上期末) 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【变式训练】 1.（24-25高一上·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 考点10：不等式综合 【例14】（20-21高一上·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【变式训练】 1．（2025高一上·上海松江·期中）（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 1. （224-25奉贤区高一上期末）设、是方程的两个实数根，则的值为__________． 2. （2024-25嘉定高一上期末）已知方程的两个根为、，则的值为______. 3. （2024-25嘉定高一上期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 4．（2024高三下·上海杨浦·期末）不等式的解集为 ． 5.不等式的解集为_______ 6. （2024-25洋泾中学高一期末）求函数的最小值________． 7. （2024-25嘉定高一上期末）若，则的最小值是______. 8. （2024-25敬业中学高一期末）已知正实数满足，则的最大值为__________. 9. 已知正实数满足，则最小值为___________. 10. （2024-25长宁高一期末）若对任意，都有，则实数的最大值为________ 11.（24-25华东师大附中高一上期末） 已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 12. （2024-25格致中学高一上期末）已知实数、满足，则的最小值为__________． 13．（2024秋•奉贤区校级期中）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是　　． 14.（24-25浦东新区高一上期末） 若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 15.（2024-25徐汇高一上期末） 下列说法正确的是（ ） A. 方程的两个实数根满足 B. 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C. 已知方程的两个实数根，则 D. 若关于的一元二次方程的两个实数根，则 16. 如果，那么下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 17. （2024-25上海大学附中高一期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. （24-25进才中学高一上期末）设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 19. （2024-25金山高一上期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 20. （24-25长宁区高一上期末）已知． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围． （2）设、是方程的两个根，若，求实数的值； 21. （24-25浦东新区高一上期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. （1）求 的值； （2）当 取到最小值时，求 的值. 22．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $