第13讲 三角函数基础知识题型总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数基础知识，覆盖任意角与弧度制、三角函数定义、同角关系、诱导公式四大高考核心考点，按“概念-公式-应用”逻辑架构知识体系。通过考向解读分析命题趋势，知识再现梳理基础内容，题型总结（含18类例题及变式）实现方法指导与真题训练，助力学生系统突破难点。 资料以五年考情为导向，采用“题型分类+分层训练”模式，如通过几何法确定角的n等分象限，齐次化处理同角关系问题，培养学生数学思维与符号意识。设置基础到综合的练习梯度，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第13讲三角函数基础知识题型总结 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点 1：任意角与弧度制 2023 北京卷：说明 “若为第一象限角，且，则” 为假命题的一组值；2022 全国甲卷：利用 “会圆术” 公式计算圆弧长度近似值 1. 主要考查圆弧长度计算、扇形面积相关问题以及角的概念辨析，常与几何图形结合。2. 圆锥侧面积与展开图的关系是考查重点之一，需关注公式应用。 考点 2：任意角的三角函数 2025 天津卷：判断 “” 是 “” 的条件；2024 北京卷：角与角终边关于原点对称时求的最大值；2023 全国乙卷：根据函数单调递增及对称轴求参数； 1. 涉及三角函数符号判断、诱导公式应用、三角函数线比较以及与直线图像、角的对称关系结合的求值问题。2. 条件判断、最值求解及象限角相关推理是常见考查形式，需熟练掌握三角函数基本性质。 考点 3：同角三角函数的基本关系 2025 全国二卷：已知求；2024 新课标 Ⅰ 卷：已知求；2024 全国甲卷：已知求；2023 全国乙卷：已知求；2023 上海卷：在中利用余弦定理和同角关系求；2022 上海卷：已知向量条件求；2021 新高考全国 Ⅰ 卷、全国甲卷：已知求相关三角函数值； 1. 涵盖利用同角关系进行三角函数式的化简、求值，以及结合二倍角公式、两角和差公式的综合应用。2. 齐次化处理、方程思想在解题中常用，需熟练掌握公式变形与综合运用。 考点 4：三角函数的诱导公式 2025 北京卷：写出满足且的一组值；2023 全国乙卷：在中利用诱导公式和正弦定理求角；2023 全国甲卷：根据函数为偶函数求参数；2022 浙江卷：已知求；2021 全国乙卷：利用诱导公式和二倍角公式计算； 1. 诱导公式常与三角形中的角、函数奇偶性、方程求解等结合考查，涉及角的对称关系、函数最值及参数确定等问题。2. 需灵活运用诱导公式进行角的转化，结合其他三角函数知识解决综合问题。 二 知识再现 一．任意角的概念 ①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． ②角的分类 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 ③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0°到360°之间的角，还包括了正角、零角和负角‌。在实际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0°,360°]这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被推广到了任意角 二．（1）弧度制的概念 ①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制； ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(1弧度记作1 rad) ③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2π rad＝360° 180°＝πrad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 三．终边相同的角的表示． 终边相同的角: 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 四．象限角和轴线角 象限角: 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 （1）象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} （2）轴线角的集合表示 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 五．角的对称 1 若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为：； 2 若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为：； 3 若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为：； 4 若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为： 5 若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为： 六．角的n等分 如何确定角终边所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、4……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。 七．扇形弧长与面积 1、扇形弧长与面积的基本公式 已知扇形的半径为R，圆心角为 弧长公式： 面积公式： 2、应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 八、三角函数的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 九、三角函数值的符号及公式一 1、三角函数值的符号 【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键； （2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一 其中 【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)． 十、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 十一 诱导公式 公式 终边关系 图示 公式 公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等. ， 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式五 公式六 记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“偶”当中k取偶数时，如，三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定； ②“奇”当中k取奇数时，如，三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定； 题型一 任意角的概念 例1.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 变式训练 1如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 题型二 弧度制与角度制的互化 例1（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 例2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 变式训练 1.的角化成弧度制为 ． 题型三 终边相同的角的表示 例1.下列各角中，与 角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 例2.设集合，那么（   ） A． B． C． D． 变式训练 1.将化为的形式是 ． 2.与角终边相同的角的集合是 ． 题型四 象限角与轴线角 例1.(多选) 下列命题中错误的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 例2.的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3.若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 例4.(多选) 若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 变式训练 1.在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.已知是锐角，那么是（    ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 题型五 区域角的表示 例1.已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．    B．   C．   D．   题型六 扇形的弧长及面积公式 例1.已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 例2.如图中，的半径为20，则阴影部分的面积为 .    变式训练 1.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ． 2.已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为 ． 题型七 利用三角函数的定义求值（3种类型） 例1.若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 例2.已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 1.如果角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2.若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 题型八 三角函数的符号与所在象限判断 简记：一同正，二正弦，三正切，四余弦 例1.已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2.已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式训练 1.已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.若，，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型九 求任意角的三角函数值 例1.的值为（ ） A． B． C． D． 变式训练 1.的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 2.“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十 对sinα，cosα，tanα三个量知一求二 例1.计算：(1)已知，，求的值. (2)已知，求，的值 变式训练 1.设为第二象限角，若，则 . 2.若，，则（ ） A． B． C． D． 题型十一 正、余弦齐次式化简 例1.已知，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 例2.已知，则的值为 ． 变式训练 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 题型十二 sinα±cosα、sinαcosα三个量知一求其二 例1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2.已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 变式训练 1.（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型十三 利用同角关系化简求值 例1.已知 ，则的值为 ． 例2.化简：． 变式训练 1.若，，则 ． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 利用诱导公式求解给角求值 例1.（    ） A． B． C． D． 变式训练 1.的值为（    ） A． B． C． D． 2.的值是（    ） A． B． C． D． 题型十五 利用诱导公式求解给值求值问题 例1.已知为第四象限的角，且，则（     ） A． B． C． D． 例2.已知，且α是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 变式训练 1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则(     ) A． B． C． D． 2.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十六 利用诱导公式化简与求值 例1.化简（    ） A． B． C．1 D． 例2.化简下列各式： (1)； (2)． 变式训练 1.化简求值： (1)已知，且为第四象限的角，求的值． (2)已知，求的值． 2.已知． (1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值． 题型十七 利用诱导公式证明恒等式 例1.求证：当或3时，. 例2.求证：． 变式训练 1.已知角的终边在第三象限，，证明：． 2.（1）求证：； （2）设，求证. 3.若，求证：. 题型十八 利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型） 例1.已知，则（   ） A． B． C． D． 例2.若，则等于（    ） A． B． C． D． 变式训练 1.已知，则等于 ． 2.已知，，则（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第13讲三角函数基础知识题型总结 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点 1：任意角与弧度制 2023 北京卷：说明 “若为第一象限角，且，则” 为假命题的一组值；2022 全国甲卷：利用 “会圆术” 公式计算圆弧长度近似值 1. 主要考查圆弧长度计算、扇形面积相关问题以及角的概念辨析，常与几何图形结合。2. 圆锥侧面积与展开图的关系是考查重点之一，需关注公式应用。 考点 2：任意角的三角函数 2025 天津卷：判断 “” 是 “” 的条件；2024 北京卷：角与角终边关于原点对称时求的最大值；2023 全国乙卷：根据函数单调递增及对称轴求参数； 1. 涉及三角函数符号判断、诱导公式应用、三角函数线比较以及与直线图像、角的对称关系结合的求值问题。2. 条件判断、最值求解及象限角相关推理是常见考查形式，需熟练掌握三角函数基本性质。 考点 3：同角三角函数的基本关系 2025 全国二卷：已知求；2024 新课标 Ⅰ 卷：已知求；2024 全国甲卷：已知求；2023 全国乙卷：已知求；2023 上海卷：在中利用余弦定理和同角关系求；2022 上海卷：已知向量条件求；2021 新高考全国 Ⅰ 卷、全国甲卷：已知求相关三角函数值； 1. 涵盖利用同角关系进行三角函数式的化简、求值，以及结合二倍角公式、两角和差公式的综合应用。2. 齐次化处理、方程思想在解题中常用，需熟练掌握公式变形与综合运用。 考点 4：三角函数的诱导公式 2025 北京卷：写出满足且的一组值；2023 全国乙卷：在中利用诱导公式和正弦定理求角；2023 全国甲卷：根据函数为偶函数求参数；2022 浙江卷：已知求；2021 全国乙卷：利用诱导公式和二倍角公式计算； 1. 诱导公式常与三角形中的角、函数奇偶性、方程求解等结合考查，涉及角的对称关系、函数最值及参数确定等问题。2. 需灵活运用诱导公式进行角的转化，结合其他三角函数知识解决综合问题。 二 知识再现 一．任意角的概念 ①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． ②角的分类 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 ③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0°到360°之间的角，还包括了正角、零角和负角‌。在实际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0°,360°]这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被推广到了任意角 二．（1）弧度制的概念 ①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制； ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(1弧度记作1 rad) ③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2πrad 2π rad＝360° 180°＝πrad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 三．终边相同的角的表示． 终边相同的角: 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 四．象限角和轴线角 象限角: 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 （1）象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} （2）轴线角的集合表示 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 五．角的对称 1 若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为：； 2 若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为：； 3 若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为：； 4 若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为： 5 若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为： 六．角的n等分 如何确定角终边所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、4……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。 七．扇形弧长与面积 1、扇形弧长与面积的基本公式 已知扇形的半径为R，圆心角为 弧长公式： 面积公式： 2、应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 八、三角函数的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 九、三角函数值的符号及公式一 1、三角函数值的符号 【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键； （2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一 其中 【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)． 十、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 十一 诱导公式 公式 终边关系 图示 公式 公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等. ， 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式五 公式六 记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“偶”当中k取偶数时，如，三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定； ②“奇”当中k取奇数时，如，三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定； 题型一 任意角的概念 例1.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据时针每小时转，分针每小时转，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可求解. 【详解】因为时针每小时转，分针每小时转， 又因为时针、分针都按顺时针方向旋转， 故时针转过的角度数为，分针转过的角度数为． 变式训练 1如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】．【分析】由角的定义即可求解. 【详解】由角的定义可得． 题型二 弧度制与角度制的互化 例1（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确；对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 例2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】画图设外接圆半径，利用正三角形性质可得圆弧长，再由弧度制定义可得. 【详解】不妨设正的外接圆半径，圆心为， 取的中点为，连接，易知在上，且，；如下图所示： 在中，，所以； 依题意可知该圆弧长， 所以圆心角. 变式训练 1.的角化成弧度制为 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 题型三 终边相同的角的表示 例1.下列各角中，与 角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可得到答案. 【详解】对选项A，，故A错误. 对选项B，因为，故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，，故D错误. 例2.设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得． 【详解】由题意得， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又， 即N是由的整数倍构成的集合，则 变式训练 1.将化为的形式是 ． 【答案】 【分析】根据条件直接计算即可. 【详解】因为, 故答案为： 2.与角终边相同的角的集合是 ． 【答案】 【分析】终边相同的角相差360°的整数倍. 【详解】由于，故与角终边相同的角的集合是. 故答案为： 题型四 象限角与轴线角 例1.(多选) 下列命题中错误的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 【答案】AD 【分析】根据任意角、象限角的定义判断各项的正误. 【详解】A：由于三角形内角范围为，内角为不是第一、二象限角，错； B：由任意角定义，始边相同而终边不同的角一定不相等，对； C：如为正角且在第四象限角，故第四象限角不一定是负角，对； D：钝角范围为，而是第三象限角，此时钝角大，错. 例2.的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 例3.若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【答案】D 【解析】当时，，终边位于第一象限 当时，，终边位于第二象限 当时，，终边位于轴的非正半轴上 当时，，终边位于第一象限 综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上 例4.(多选) 若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 【答案】BD 【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确． 变式训练 1.在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合任意角的概念分析即可. 【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 2.是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A。【解析】， 与终边相同，所以是第一象限角． 3.已知是锐角，那么是（    ）． A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【分析】由题知，故，进而得答案. 【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角. 其中D选项不包括，故错误. 题型五 区域角的表示 例1.已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示． 变式训练 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 题型六 扇形的弧长及面积公式 例1.已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为. 例2.如图中，的半径为20，则阴影部分的面积为 .    【答案】200 【分析】由图可知弓形的面积等于扇形的面积减去的面积，所以阴影部分的面积等于以为半径的半圆的面积减去弓形的面积，求解即可. 【详解】由已知，所以， 所以， ，扇形的面积为， 所以阴影部分的面积为. 变式训练 1.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】由扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以，，解得：. 2.已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】1 【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则，扇形面积为． 题型七 利用三角函数的定义求值（3种类型） 例1.若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，则.故选：D 例2.已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可. 【详解】由三角函数的定义知: ， 所以. 变式训练 1.如果角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得. 【详解】由题可得，因为，所以. 2.若角的终边经过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义可得. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 所以. 题型八 三角函数的符号与所在象限判断 简记：一同正，二正弦，三正切，四余弦 例1.已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解. 【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 例2.已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】∵点是第三象限的点，∴，， 由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴； 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，的终边位于第三象限．故选:C 变式训练 1.已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件得到、，，即可判断. 【详解】因为，即， 又，所以，即，所以， 所以角的终边在第三象限. 2.若，，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由，，得，， 所以是第一象限角.故选：A. 题型九 求任意角的三角函数值 例1.的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】.故选：D. 变式训练 1.的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【解析】故选：D. 2.“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则； 若，不一定有， 例如，则； 综上所述：“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A. 题型十 对sinα，cosα，tanα三个量知一求二 例1.计算：(1)已知，，求的值. (2)已知，求，的值 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求即可； （2）讨论为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值. 【详解】（1）由，得：， 又，所以. （2）因为，所以为第二或第三象限角，又. 若为第二象限角，则； 若为第三象限角，则. 变式训练 1.设为第二象限角，若，则 . 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可. 【详解】为第二象限角，则，， 若，则有，解得， 所以. 2.若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，， 所以，所以，因为，所以， 又因为， 所以，所以，所以， 所以.故选：C 题型十一 正、余弦齐次式化简 例1.已知，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C【解析】因为，所以.故选：C. 例2.已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由齐次式法结合平方关系即可求解. 【详解】. 变式训练 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意知， 则，故选：D 2.已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】B【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】因为 ，解得. 题型十二 sinα±cosα、sinαcosα三个量知一求其二 例1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求. 【详解】，则， 而，又， ∴，则. 例2.已知，是关于x的方程的两根，则实数 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理列出关于m的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解． 【详解】由，是关于的方程的两根，所以， 由，可得，则， 经检验符合题意，所以实数的值为. 变式训练 1.（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角函数基本关系和完全平方公式、三角函数值的正负求解. 【详解】将平方得， 因为，所以， 因为，所以，，， 所以， 因为，所以， 根据解得， 所以.故选：ACD. 2.（多选）已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以，而α为锐角， 所以，故A错误； 由，两边平方可得，故C正确； 因为α为锐角， 所以，故D正确； 由，故B错误. 题型十三 利用同角关系化简求值 例1.已知 ，则的值为 ． 【答案】3 【解析】 例2.化简：． 【答案】 【解析】 ． 变式训练 1.若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以，所以. 题型十四 利用诱导公式求解给角求值 例1.（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案. 【详解】. 变式训练 1.的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 2.的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 题型十五 利用诱导公式求解给值求值问题 例1.已知为第四象限的角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为第四象限的角，且，即， . . 例2.已知，且α是第四象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即， 因为是第四象限角，所以， 所以. 变式训练 1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可. 【详解】由题意得， 2.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解. 【详解】因为， 且，， 所以. 题型十六 利用诱导公式化简与求值 例1.化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接利用诱导公式化简得解. 【详解】. 例2.化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用诱导公式，化简求值. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 变式训练 1.化简求值： (1)已知，且为第四象限的角，求的值． (2)已知，求的值． 【解析】（1），且为第四象限的角 ， （2）原式 2.已知． (1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得； （2）根据角的范围将代入计算即可得. 【详解】（1） 即 （2）由，可得． 因为为第三象限角， 因此，故. 题型十七 利用诱导公式证明恒等式 例1.求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 例2.求证：． 【答案】证明见解析 【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明. 【详解】证明：左边 =右边，所以原式或立． 变式训练 1.已知角的终边在第三象限，，证明：． 【解析】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 2.（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 3.若，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明； 【详解】证明：若为偶数，则 左边； 若为奇数，则左边 题型十八 利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型） 例1.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 例2.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 变式训练 1.已知，则等于 ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 2.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $