第4讲 平面向量题型总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，涵盖线性运算、基本定理、数量积及应用，按考向解读、知识再现、题型分类构建体系。通过考点梳理明确命题趋势，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破向量运算与几何应用难点。 资料特色在于结合五年考情精准定位高频考点，设计单选、多选、填空分层练习，培养学生数学思维与数学语言表达能力。如数量积最值问题通过坐标法转化为函数问题，高效突破难点，既提升学生解题速度与准确率，又为教师提供清晰复习节奏把控方案。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第4讲 平面向量题型总结 一、考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：平面向量的线性运算 2025 天津卷：线性运算与数量积；2023 全国甲卷：线性运算及几何意义；2021 全国乙卷：向量平行坐标运算； 1. 高频考查向量加减乘运算及几何意义，结合三角形、平行四边形命题2. 向量共线、垂直条件与几何性质结合是热点 考点 2：平面向量的基本定理及坐标表示 2025 全国一卷：向量坐标计算；2025 全国二卷：向量垂直坐标运算；2025 上海卷：向量与数列结合（三角形构成）；2024 新课标 Ⅰ 卷：向量垂直坐标运算；2024 全国甲卷：向量平行与垂直条件；2023 新课标 Ⅰ 卷：坐标运算与垂直；2023 全国乙卷：正方形中数量积坐标运算；2022 新高考 Ⅰ/Ⅱ 卷：线性运算坐标表示；2022 全国乙卷：向量模坐标计算； 1. 核心考查坐标表示，结合垂直 / 平行的坐标条件，侧重代数运算2. 基底表示与几何动点问题结合，考查转化思想 考点 3：平面向量的数量积 2025 北京卷：数量积取值范围；2024 新课标 Ⅱ 卷：数量积运算；2023 北京 / 全国甲卷：数量积坐标运算；2023 全国乙卷：圆中数量积最值；2022 全国乙卷 / 北京卷：数量积应用； 1. 高频考查模、夹角、垂直的数量积运算，结合几何图形2. 最值问题通过坐标法或几何意义转化为函数问题 考点 4：平面向量的应用举例 2025 天津卷：椭圆中向量与直线综合；2022 浙江卷：单位圆内接正八边形向量模取值范围；2021 上海卷：三角形中向量线性关系判断； 1. 重点考查向量在矩形、圆、椭圆等几何图形中的应用2. 取值范围与最值问题通过坐标法或几何性质求解 二 知识再现 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.与的数量积(或内积)： 4.平面向量的坐标运算 (1)设=,=，则+=. (2)设=,=，则-=. (3)设A，B,则. (4)设=，则=. (5)设=,=，则·=. 5.平面向量的坐标运算 (1)设A，B,则. (2)设=,=，则=. (3)设=，则 6.两向量的夹角公式 设=,=，且，则 (=,=). 7.向量的平行与垂直 设=,=，且 . . 题型一 平面向量线性运算 一、单选题 1．化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】因为，故选：. 2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点， 易知，所以．故选：D 3．在中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答. 【详解】在中，令，则是对角线的中点， .故选：C 4．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底表示，从而解出，即可求得. 【详解】，， 两式联立得，，， 所以.故选：C． 5．在中，，，若点M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：.故选：A. 6．在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出. 【详解】根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即， 可得.故选：A 7．在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答. 【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图， 则，而点为的中点， 有，由得：， 则有， 所以.故选：C 8．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可. 【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则 故选：A 题型二 平面向量共线垂直 9．已知向量，若，则实数m的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】解：由，得，解得.故选：A. 10．已知向量，且与互相平行，则的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果. 【详解】∵向量，， ∴，， ∵与互相平行， ∴，解得．故选：C． 11．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答. 【详解】向量，不共线，且，，， ，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是. 故选：A 12．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（    ） A． B．0或 C．0或1 D．0或3 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等 【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A. 13．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得到，再利用向量的数量积运算分别求得选项中的向量与的数量积，从而可判断是否垂直. 【详解】因为，是单位向量，且夹角为， 所以， 对于A，因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以与不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确.故选：D. 14．已知平面向量满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由得， 由得，即故选：B 15．已知，向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直可得它们的数量积为零，求出，根据坐标表示模求出的值即可. 【详解】由，可知， 得，所以，所以， 解得，又，∴，故选：C． 题型三 平面向量夹角问题 16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案. 【详解】因为，以， 又，，所以，， 设与的夹角为， 则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D. 17．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量、的夹角为，由已知可得出，根据平面向量数量积的运算性质求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】设向量、的夹角为，由题意，， 又因为，因此，.故选：B. 18．已知单位向量，满足，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案. 【详解】由单位向量，则，即，，.故选：B. 19．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由化简得，由与的数量积建立方程即可求得参数. 【详解】由，得，， ∴， ∴，解得.故选：B 题型四 平面向量模长问题 20．已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答. 【详解】向量，都是单位向量，且，则，解得， 所以.故选：D 21．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，，所以，. 又，所以.故选：C 22．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出，再求出即得解. 【详解】解：， ， 向量与向量的夹角为.故选：D. 23．已知平面单位向量，，满足，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解. 【详解】如图，设，， 因为，所以平行四边形为菱形， 则为正三角形，所以，且反向， 所以，所以， 因为，所以，故选:C. 题型五 平面向量投影向量问题 24．若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量同向的单位向量即可得． 【详解】，，， 向量在向量上的投影为，与量同向的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为．故选：C． 25．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解. 【详解】由已知条件得：，即， 又在方向上的投影向量为，故选：A. 二、多选题 26．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在方向上的投影向量是 【答案】BD 【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为. 【详解】已知则， ，，，，故A错误； ，所以向量的夹角为，故B正确； ，，故错误； 在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD. 27．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误. 【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确； 若，可得，即，解得，所以B正确； 若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误； 若，则，所以； 但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.故选：AB 28．已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为2 B．存在，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断； B.利用数量积公式，可得，即可求解； C.根据模的公式，计算，即可判断； D.根据投影向量公式，即可计算求值. 【详解】对于选项，， 当，即时取最大值2，故A正确； 对于B选项，要使，则， 则，因为，所以，故存在，使得，故B正确； 对于C选项，因为， 所以向量不是单位向量，故C错误； 对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：. 29．已知向量，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的值为 【答案】BD 【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC，由模长公式以及垂直关系即可判断D. 【详解】，，即有，故选项A错误； 不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，在单位圆上. 根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：，，即可得选项B成立，选项C错误. 由可得：，可得：，，则可得：，故选项D成立.故选：BD 30．已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可． 【详解】由已知各选项中向量与向量不平行， ， ， ， ， ，只有BC选项符合题意．故选：BC． 31．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误.故选：AB. 32．已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，先求出向量在方向上的投影的数量的最值，从而得出的范围，对各选项判断即可． 【详解】由题意知，， 当P点与D重合时，向量在方向上的投影的数量最大，为， 当P点与A重合时，向量在方向上的投影的数量最小，为， 所以的最大值为，最小值． 可知，故A不满足，BCD都满足．故选：BCD． 33．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项． 【详解】，A正确； 由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误； ，C正确； ， 在上的投影为，又， ∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD． 三、填空题 34．已知向量，，则_________． 【答案】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，因此，.故答案为：. 35．已知向量，若，则__________. 【答案】0 【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解. 【详解】由题意知，又，所以，解得,故答案为：0 36．已知夹角为的非零向量满足，，则__________. 【答案】2 【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为的夹角为，且， 而，则， 所以， 则，解得：.故答案为：2. 37．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______ 【答案】 【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可. 【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°， 所以.故答案为： 38．已知向量，若与垂直，则___________. 【答案】 【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出. 【详解】∵与垂直，∴，则，解得， ∴，则， ∴，故答案为：. 39．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________． 【答案】 【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案. 【详解】由､均为单位向量，， 得：，即， 所以，所以， 又，所以与的夹角为.故答案为： 40．平面向量满足,,则与的夹角为______. 【答案】 【分析】将两边平方,再将,代入,即可求得夹角. 【详解】解:由题知,所以两边平方可得, 化简可得,即, 即,因为与的夹角范围为:, 所以与的夹角为.故答案为: 41．已知，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】 【分析】由题知，进而根据投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为 所以，解得， 所以，向量在向量上的投影向量为故答案为： 高考真题再现 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 10．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 13．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【答案】4 【分析】 由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 15．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 17．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 18．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 课后作业 一、单选题 1．在中，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理以及向量的线性运算即可求解． 【详解】∵ ∴．故选：D． 2．在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出m，n. 【详解】 设，， 因为，所以， 因为，所以， 设，则， ，解得，，即.故选：C. 3．如图，在中，，则（    ） A．9 B．18 C．6 D．12 【答案】D 【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 所以，所以， ， 因为， 所以.故选：D. 4．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的共线定理可知，存在实数使得，再根据平面向量的坐标运算即可计算得出结果. 【详解】由，且都是非零向量，可知存在实数使得， 即满足 所以，得.故选：C. 5．已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】计算出和，利用垂直列出方程，求出实数的值. 【详解】由题意得，， 由．得，所以.故选：D． 6．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量，求得，再结合，即可求解. 【详解】由题意，向量，可得， 又由向量与的夹角为，， 则.故选：D. 7．已知向量，，若向量满足，，则（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积坐标运算求解即可. 【详解】设向量，因为，， 所以，解得，所以，故，故选：C. 8．平面向量，若，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，所以，解得， 所以，因此.故选：B． 9．已知向量，，且，则向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果. 【详解】，， ，又，.故选：D. 10．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和向量数量积的运算得出，然后代入公式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B． 二、多选题 11．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的值为 C．若，则的值为 D．若，则与的夹角为锐角 【答案】AC 【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A说法正确； 因为，所以，所以选项B说法不正确； 因为，所以，所以选项C说法正确； 当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC 12．在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可. 【详解】如图所示： 因为，所以，所以， 故选项A正确， 因为，所以所以 ， 故C选项错误， 由， ， 在，， 所以，即，所以， 所以，所以，即 即，故选项D正确，由，所以在中，因为， 所以，故B正确，故选：ABD. 13．已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果. 【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有， 得，即， 又，∴， 可得，，，，， 所以A选项正确，B选项错误； ，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误； ，D选项正确.故选：AD 14．已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解． 【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则，，则，， 所以，则点P的坐标为． 由题意可知，，则， 易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以， 即，即，即， 易知，故． 因为，，所以，所以，得， 结合，可得．故选：CD． 三、填空题 15．若平面向量，，且，则______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求，根据向量的模的坐标表示求. 【详解】由，得，所以，得，所以， 则.故答案为：. 16．已知向量，，且，则t=____. 【答案】 【分析】由可得：，进而计算求解. 【详解】因为，所以，则有， 又，，所以，解得：，故答案为：. 17．已知 ，， 若， 则__________ 【答案】 【分析】根据题干条件，计算出，求出的值. 【详解】， 且， ∴，故故答案为： 18．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______． 【答案】 【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ， 所以 且，则 ， 故 ，又，则.故答案为:. 四、双空题 19．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】          【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解的值即可； ②首先根据投影的计算公式求出在方向上的投影，进而求出在方向上的投影向量. 【详解】①已知，，由于，所以，解得； ②由①知：，，得， 则，， 故在方向上的投影为， 得在方向上的投影向量为.故答案为：； 20．已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________. 【答案】          【详解】 解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，， 设，所以， 因为，所以，所以， 又，所以.故答案为：；10. 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第4讲 平面向量题型总结 一、考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：平面向量的线性运算 2025 天津卷：线性运算与数量积；2023 全国甲卷：线性运算及几何意义；2021 全国乙卷：向量平行坐标运算； 1. 高频考查向量加减乘运算及几何意义，结合三角形、平行四边形命题2. 向量共线、垂直条件与几何性质结合是热点 考点 2：平面向量的基本定理及坐标表示 2025 全国一卷：向量坐标计算；2025 全国二卷：向量垂直坐标运算；2025 上海卷：向量与数列结合（三角形构成）；2024 新课标 Ⅰ 卷：向量垂直坐标运算；2024 全国甲卷：向量平行与垂直条件；2023 新课标 Ⅰ 卷：坐标运算与垂直；2023 全国乙卷：正方形中数量积坐标运算；2022 新高考 Ⅰ/Ⅱ 卷：线性运算坐标表示；2022 全国乙卷：向量模坐标计算； 1. 核心考查坐标表示，结合垂直 / 平行的坐标条件，侧重代数运算2. 基底表示与几何动点问题结合，考查转化思想 考点 3：平面向量的数量积 2025 北京卷：数量积取值范围；2024 新课标 Ⅱ 卷：数量积运算；2023 北京 / 全国甲卷：数量积坐标运算；2023 全国乙卷：圆中数量积最值；2022 全国乙卷 / 北京卷：数量积应用； 1. 高频考查模、夹角、垂直的数量积运算，结合几何图形2. 最值问题通过坐标法或几何意义转化为函数问题 考点 4：平面向量的应用举例 2025 天津卷：椭圆中向量与直线综合；2022 浙江卷：单位圆内接正八边形向量模取值范围；2021 上海卷：三角形中向量线性关系判断； 1. 重点考查向量在矩形、圆、椭圆等几何图形中的应用2. 取值范围与最值问题通过坐标法或几何性质求解 二 知识再现 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.与的数量积(或内积)： 4.平面向量的坐标运算 (1)设=,=，则+=. (2)设=,=，则-=. (3)设A，B,则. (4)设=，则=. (5)设=,=，则·=. 5.平面向量的坐标运算 (1)设A，B,则. (2)设=,=，则=. (3)设=，则 6.两向量的夹角公式 设=,=，且，则 (=,=). 7.向量的平行与垂直 设=,=，且 . . 题型一 平面向量线性运算 一、单选题 1．化简后等于（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，若点M满足，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型二 平面向量共线垂直 9．已知向量，若，则实数m的值是（    ） A． B． C．1 D．4 10．已知向量，且与互相平行，则的值（    ） A． B． C． D．2 11．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 12．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（    ） A． B．0或 C．0或1 D．0或3 13．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 14．已知平面向量满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知，向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三 平面向量夹角问题 16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（     ） A． B． C． D． 18．已知单位向量，满足，若向量，则（    ） A． B． C． D． 19．已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型四 平面向量模长问题 20．已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 21．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．已知平面单位向量，，满足，则（    ） A．0 B．1 C． D． 题型五 平面向量投影向量问题 24．若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 25．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在方向上的投影向量是 27．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角 28．已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为2 B．存在，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 29．已知向量，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的值为 30．已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 32．已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 33．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 34．已知向量，，则_________． 35．已知向量，若，则__________. 36．已知夹角为的非零向量满足，，则__________. 37．已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______ 38．已知向量，若与垂直，则___________. 39．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________． 40．平面向量满足,,则与的夹角为______. 41．已知，则向量在向量上的投影向量为__________． 高考真题再现 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·上海·高考真题）已知,，求 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 15．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 18．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 课后作业 一、单选题 1．在中，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则（    ） A．9 B．18 C．6 D．12 4．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．1 D． 5．已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 6．平面向量与的夹角为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若向量满足，，则（    ） A．13 B．12 C． D． 8．平面向量，若，则（    ） A．6 B．5 C． D． 9．已知向量，，且，则向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 11．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的值为 C．若，则的值为 D．若，则与的夹角为锐角 12．在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D．1 三、填空题 15．若平面向量，，且，则______. 16．已知向量，，且，则t=____. 17．已知 ，， 若， 则__________ 18．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______． 四、双空题 19．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________. 20．已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________. 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $