期末提优1 选择题填空题小题专项训练（9大提优点）-2025-2026学年人教版数学七年级上学期压轴题考点考法专题集训及单元期中期末培优试卷

期末提优1 选择题填空题小题专项训练（9大提优点） 提优点1 数轴与绝对值 1．已知三个实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|＝（　　） A．﹣a+b B．a+b C．a﹣b D．﹣a﹣b 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义计算即可． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜c＜0＜b，且|c|＜|b|＜|a|， 所以a﹣b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，a+b＜0， 则|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|＝b﹣a+c﹣a﹣c+b+a﹣b＝﹣a+b． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2025秋•万宁校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示﹣2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】圆周上的0点与﹣1重合，滚动到﹣2025，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数对应的数即为重合点． 【解答】解：由条件可知﹣1﹣（﹣2025）＝2024， 2024÷4＝506， ∴0与数轴上的﹣2025重合， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴．熟练掌握该知识点是关键． 3．数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|a﹣c|﹣|c﹣1|＝|a﹣1|若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则正确表示的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设B表示的数为b，从选项数轴上找出a、b、c的关系，代入|a﹣c|﹣|c﹣1|＝|a﹣1|，看是否成立． 【解答】解：∵数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b， ∴b＝1， ∵|a﹣c|﹣|c﹣1|＝|a﹣1|， ∴|a﹣c|﹣|c﹣b|＝|a﹣b| A、b＜a＜c，则有|a﹣c|﹣|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a≠|a﹣b|，选项错误， B、c＜b＜a，则有|a﹣c|﹣|c﹣b|＝a﹣c+c﹣b＝a﹣b＝|a﹣b|，选项正确， C、a＜c＜b，则有|a﹣c|﹣|c﹣b|＝c﹣a+c﹣b＝2c﹣a﹣b≠|a﹣b|，选项错误， D、b＜c＜a，则有|a﹣c|﹣|c﹣b|＝a﹣c+b﹣c＝a+b﹣2c≠|a﹣b|，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值．解题的关键是从数轴上找出a、b、c的关系，代入|a﹣c|﹣|c﹣1|＝|a﹣1|，看是否成立． 4．（2024秋•邓州市期末）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则下列说法正确的是（　　） A．p+m＞0 B．mn＜0 C．m﹣p＜0 D．|p|＜q 【分析】根据n+q＝0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，然后观察数轴得出p＜n＜0＜m＜q，|p|＞|m|，|p|＞|q|，即可解答． 【解答】解：∵n+q＝0， ∴n和q互为相反数，O在线段NQ的中点处， 如图， ∴p＜n＜0＜m＜q，|p|＞|m|，|p|＞|q|， ∴p+m＜0，mn＜0，m﹣p＞0，|p|＞q， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 5．（2024秋•婺源县校级期中）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知A，B，C，D在数轴上分别表示a，b，c，d，，则线段BD的长度为　3.5或0.5或1.5　 ． 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1， ∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1， ∵， ∴|d﹣a|＝1.5， ∴点D与点A之间的距离为1.5， 如图（1） 线段BD的长度为3.5； 如图（2） 线段BD的长度为0.5； 如果a＝b， 则|d﹣a|＝1，就是|d﹣b|＝1，|d﹣b|， ∴此时BD＝1.5， 故答案为：3.5或0.5或1.5． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 6．（2024秋•晋江市期末）|a﹣b|的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离．当x≥t时，|x+2|﹣|x﹣3|的值均为定值，则t的最小值是 　3　 ． 【分析】根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，|x+2|表示x与﹣2两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离，|x+2|﹣|x﹣3表示x到﹣2的距离与x到3的距离的差，然后根据数轴即可求解． 【解答】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，|x+2|表示x与﹣2两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离， 则|x+2|﹣|x﹣3|表示x到﹣2的距离与x到3的距离的差， 可知，当x≥3时，这两个距离的差都是5， 当x≤﹣2时，这两个距离的差都是﹣5， 当﹣2＜x＜3时，这两个距离的差是变化的，最小是﹣5，最大是5， 所以，当x≥t时，|x+2|﹣|x﹣3|的值均为定值，这个定值是5，t的最小值是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 7．（2025春•嘉兴月考）如图，四个相邻的整数a，b，c，d对应数轴上的点A，B，C，D，数m对应数轴上的点M，则|m﹣a|+|m﹣b|+|m﹣c|+|m﹣d|的最小值为　4　 ． 【分析】根据绝对值的几何意义，将原式转化为点M到四个点的距离之和，然后通过分析点M在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【解答】解：由绝对值的几何意义可知|m﹣a|+|m﹣b|+|m﹣c|+|m﹣d|表示点M到A，B，C，D四个点的距离之和， ∵a，b，c，d是四个相邻的整数，当点M在线段BC上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设a＝n﹣1，b＝n，c＝n+1，d＝n+2（n为整数），当m在b与c之间时， a﹣b＝（n+1）+（n+2）﹣（n﹣1）﹣n＝4， ∴|m﹣a|+|m﹣b|+|m﹣c|+|m﹣d|的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，掌握相应的定义是关键． 提优点2 规律探究 8．（2024秋•雁塔区校级月考）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回移动（第一次先向右移动），移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；…则动点A第一次经过表示55的点时，经过了 　20　 次移动． 【分析】第1次移动到达表示2的点，第2次移动到达表示1的点，则经过2次移动实际向右移动了1个单位长度，表示的数为1；第3移动到达表示5的点，第4次移动到达表示3的点，则经过4次移动实际再向右移动了2个单位长度，表示的数为：3＝1+2，…，据此可求解． 【解答】解：第1次移动到达表示2的点，第2次移动到达表示1的点，则经过2次移动实际向右移动了1个单位长度，表示的数为1； 第3移动到达表示5的点，第4次移动到达表示3的点，则经过4次移动实际再向右移动了2个单位长度，表示的数为：3＝1+2， …， 以2次为一个周期，则移动2n次后，所表示的数为：1+2+3+…+n， ∴当时， 解得：n＝10， 则当n＝9时，所表示的数为：， 即第18次移动后得到的次数为：45， 则第19次移动后得到的数为：45+20＝65，第一次经过55． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是结合所给的条件总结出存在的规律． 9．（2024秋•西安校级期中）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4．则（﹣1）⊗[3⊗（﹣2）]的值是　﹣38　 ． 【分析】根据a⊗b＝2a﹣3b，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣3b， ∴（﹣1）⊗[3⊗（﹣2）] ＝（﹣1）⊗[2×3﹣3×（﹣2）] ＝（﹣1）⊗（6+6） ＝（﹣1）⊗12 ＝2×（﹣1）﹣3×12 ＝﹣2﹣36 ＝﹣38， 故答案为：﹣38． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10．（2025秋•肥东县月考）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（　　） A．15 B．﹣10 C．﹣6 D．﹣8 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【解答】解：（2+5）﹣（3+4）＝0， （﹣2+5）﹣（2+4）＝﹣3， （﹣1+7）﹣（﹣3+4）＝5， 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和， 则[﹣1+（﹣7）]﹣（﹣3+5）＝﹣10， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 11．（2024秋•丰都县期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示613×54，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①m＝6；②n＝6；③y＝7；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【解答】解：由题知， zm＝18，zn＝12， 则z＝2或3或6． 当z＝2时，m＝9，n＝6； 当z＝3时，m＝6，n＝4； 当z＝6时，m＝3，n＝2； 又因为xn＝8，ym＝10c+1， 所以z＝6，m＝3，n＝2， 所以x＝4． 由ym＝10c+1得， y＝7，c＝2． 故①②错误，③正确． 所以运算结果为15232． 故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键． 12．（2025秋•天府新区校级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…依此规律，第100个图案有（　　）个黑棋子． A．500 B．498 C．497 D．499 【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律求解即可． 【解答】解：观察图1有5×1﹣1＝4个黑棋子； 图2有5×2﹣1＝9个黑棋子； 图3有5×3﹣1＝14个黑棋子； 图4有5×4﹣1＝19个黑棋子； … 图n有（5n﹣1）个黑棋子， 当n＝100时，5n﹣1＝499个黑棋子， 当5n﹣1＝499， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细观察并发现图形的变化规律，难度不大． 13．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为其中k是使结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第100次“F运算”的结果是 　4　 ． 【分析】按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解． 【解答】解：由题意可知，当n＝34时，历次运算的结果是： ， ， ， 故规律为：17→52→13→40→5→16→1→4→1…， 即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴当n＝34时，第2024次“F运算”的结果是1． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键． 14．（2025秋•固安县期中）定义一种运算：其中k是正整数，且k≥2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.8]＝0．若a1＝1，则a2025的值为（　　） A．2025 B．4 C．2024 D．5 【分析】根据题意，依次求出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， a2＝1+1﹣5×[]+5×[]＝1+1＝2， a3＝2+1﹣5×[]+5×[]＝2+1＝3， a4＝3+1﹣5×[]+5×[]＝3+1＝4， a5＝4+1﹣5×[]+5×[]＝4+1＝5， a6＝5+1﹣5×[]+5×[]＝5+1﹣5＝1， a7＝1+1﹣5×[]+5×[]＝1+1﹣5+5＝2， …， 由此可见，这列数从a1开始按1，2，3，4，5循环出现． 因为2025÷5＝405， 所以a2025＝5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，能通过计算发现这列数从a1开始按1，2，3，4，5循环出现是解题的关键． 15．（2025•防城港一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：0，2，4，，，，…由此规律，可得第12个数和第13个数的和为　156　 ． 【分析】根据所给规律，发现第奇数个数和第偶数个数表示方法的特征，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为0，2，4，，，，…， 所以当n为奇数时，第n个数可表示为；当n为偶数时，第n个数可表示为， 所以第12个数为，第13个数为， 所以156， 即第12个数和第13个数的和为156． 故答案为：156． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出当n为奇数时，第n个数可表示为；当n为偶数时，第n个数可表示为是解题的关键． 16．（2025秋•大足区期末）下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律排列组成，其中第①个图形有3个正方形，第②个图形有7个正方形，第③个图形有11个正方形，…，按此规律，第⑨个图形中共有（　　）个正方形． A．32 B．33 C．34 D．35 【分析】观察图形的变化写出前几个图形中正方形的个数，进而可得第⑨个图形中正方形的个数． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第①个图形有4×1﹣1＝3个正方形， 第②个图形有4×2﹣1＝7个正方形， 第③个图形有4×3﹣1＝11个正方形， …， 按此规律， 第⑨个图形中共有4×9﹣1＝35个正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 17．（2025秋•夏津县期末）发现规律解决问题是常见解题策略之一，已知数a＝15+25+35+45+55+…+295，这个数a的个位数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】依次求出15，25，35……105的个位数字，而底数是两位数的时候，它们的5次方的结果的个位数与前面一位数的时候相同，最后把这些个位数字相加，便可得出答案． 【解答】解：因为15的个位数是1，25的个位数是2，35的个位数是3，45的个位数是4，55的个位数是5， 65的个位数是6，75的个位数是7，85个位数是8，95个位数是9，105的个位数是0， 由此可发现：n5的个位数与n的个位数相同． 所以a的个位数应是：1+2+3+……0+1+2+3+……+0+1+2+3+……+9的结果的个位数， 且该结果的个位数是5． 故选：C． 【点睛】C． 18．（2025秋•黔江区期末）现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，…，其中a3＝2024，a7＝﹣2022，a98＝﹣1，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（　　） A．1989 B．﹣1989 C．2055 D．﹣2055 【分析】根据任意相邻三个数的和为同一个常数可得出，a1＝a4＝a7＝…，a2＝a5＝a8＝…，a3＝a6＝a9＝…，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为这列数中任意相邻三个数的和为同一个常数， 所以a1+a2+a3＝a2+a3+a4＝a3+a4+a5＝…， 则a1＝a4＝a7＝…，a2＝a5＝a8＝…，a3＝a6＝a9＝…， 又因为a3＝2024，a7＝﹣2022，a98＝﹣1， 所以a1＝a7＝﹣2022，a2＝a5＝…＝a98＝﹣1，a3＝2024， 那么这列数按﹣2022，﹣1，2024循环出现． 又因为100÷3＝33余1， 所以33×（﹣2022﹣1+2024）+（﹣2022）＝﹣1989． 则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝﹣1989． 故选：B． 【点睛】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现这列数按﹣2022，﹣1，2024循环出现是解题的关键． 19．（2025秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　3　 ． 【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值． 【解答】解：如图， 由题意得，x+y+2+5＝23， ∴x+y＝16， 又∵4+a+x+y＝23， 即4+a+16＝23， ∴a＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了有理数的加法，根据每个“单元”中的四个数之和都是23推断出a的值是解题的关键． 20．（2024秋•嘉祥县期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝　　 ． 【分析】根据线段中点定义先求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，从而找到MnNn的规律，即可求出结果． 【解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M1，N1， ∴M1N1＝AM1﹣AN1 AMAN （AM﹣AN） MN 20 ＝10． ∵线段AM1和AN1的中点M2，N2； ∴M2N2＝AM2﹣AN2 AM1AN1 （AM1﹣AN1） M1 N1 20 20 ＝5． 发现规律： MnNn20， ∴M10N10； 故答案为：． 【点睛】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出MnNn20是解题关键． 21．（2025秋•自贡期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3…在射线OA上，点B1，B2，B3…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从O→A1→B1→B2→A2…按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（　　）秒． A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π 【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，然后可得到动点M到达A10点处运动的单位长度＝4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10），然后除以速度即可得到动点M到达A10点处所需时间． 【解答】解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度， ∵10＝4×2.5， ∴动点M到达A10点处运动的单位长度＝4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10）＝10+55π； ∴动点M到达A10点处运动所需时间＝（10+55π）÷1＝（10+55π）秒． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出运动规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式． 提优点3 新定义运算 22．对于任意非零有理数a，b，定义运算“※”如下，则1※2+2※3+3※4+…+365※366的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据新定义的运算将所求的式子化为常规运算，再计算即可． 【解答】解：∵a※b， ∴1※2+2※3+3※4+…+365※366 ... ＝﹣（1...） ＝﹣（1） ． 故选：D． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，有理数的混合运算，理解新定义运算，发现数字的规律是解题的关键． 23．（2024秋•尧都区期末）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，以此类推，则a2025＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【分析】先分别求出a1，a2，a3，a4，a5，找出规律，再计算求解． 【解答】解：∵a1＝3， ∴a22，a3，a4，a53，…， ∵2025÷4＝506……1， ∴a2025＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找出变化规律是解题的关键． 24．（2025秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝4+3﹣2＝5， 下列说法： ①﹣7♥9＝﹣16； ②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5； ③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3； ④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与（m为常数）有相同的解，则m＝﹣3或1． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可判断； ②③均根据已知条件中的新定义，列出方程，解方程即可判断； ④根据新定义和同解方程的定义，先求出已知条件中方程的解，再把x的值代入根据新定义列出的方程方程进行解答，然后判断即可． 【解答】解：①∵m♥n，﹣7＜9， ∴﹣7♥9＝﹣7﹣9＝﹣16， 故①正确； ②∵m♥n，1♥（2x﹣3）＝2， ∴1﹣（2x﹣3）＝2或1+2x﹣3﹣2＝2， 1﹣2x+3＝2或2x﹣4＝2， 2x＝2或2x＝6， ∴x＝1或x＝3， 故②错误； ③∵m♥n，﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2， ∴﹣2﹣（﹣1+|x|）＝﹣2或﹣2﹣1+|x|﹣2＝﹣2， ﹣2+1﹣|x|＝﹣2或﹣5+|x|＝﹣2， |x|＝1或|x|＝3， ∴x＝±1或±3（舍去）， 故③错误； ∵m♥n，﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）， ∴﹣x＝﹣m+2x﹣3m﹣x或﹣x＝﹣m+2x+3m+x﹣2， ﹣x＝﹣4m+x或﹣x＝2m+3x﹣2， 2x＝4m或4x＝2﹣2m， x＝2m或x， ∵， 6（x+1）﹣2＝3（x+3）+1， 6x+6﹣2＝3x+9+1， 6x+4＝3x+10， 3x＝6， x＝2， 把x＝2分别代入x＝2m或x得： m＝1或﹣3， 故④正确， 综上可知：正确的是①④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和新定义的含义． 25．（2025秋•怀安县期末）定义一种新运算：m〇n＝3m﹣mn，例如：1〇2＝3×1﹣1×2＝1． （1）（﹣4）〇3＝　0　 ． （2）若2〇（x﹣1）＝6，则x的值为 　1　 ． 【分析】（1）根据新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出一元一次方程即可解得答案． 【解答】解：（1）（﹣4）〇3 ＝3×（﹣4）﹣（﹣4）×3 ＝﹣12+12 ＝0， 故答案为：0； （2）∵2〇（x﹣1）＝6， ∴3×2﹣2（x﹣1）＝6， 解得x＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查有理数混合运算及解一元一次方程，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式． 26．（2024春•肇东市校级月考）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x＜0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是 　﹣2，﹣1　 ． 【分析】（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，分两种情况讨论x的范围：①﹣1＜x＜﹣0.5，②﹣0.5＜x＜0，即可得到答案． 【解答】解：①﹣1＜x＜﹣0.5时， [x]+（x）+[x）＝﹣1+0﹣1＝﹣2； ②﹣0.5＜x＜0时， [x]+（x）+[x）＝﹣1+0+0＝﹣1； 故[x]+（x）+[x）的结果是﹣2，﹣1． 【点睛】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，解此题的关键是分类讨论思想的应用． 27．（2025秋•铜梁区期末）一个三位正整数（3≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤6且a，b，c都为整数），若百位数字比个位数字大3，则称这个数m是“秋数”，并规定Q（m）＝a+2b+c．例如724，∵7﹣4＝3，∴724是“秋数”，则Q（724）＝7+2×2+4＝15．例如682，∵6﹣2≠3，∴682不是“秋数”．若三位正整数n是“秋数”，则Q（n）的最大值是 　33　 ，若三位正整数n是“秋数”，且Q（n）＝27时，则满足条件的“秋数”n的最小值是 　693　 ． 【分析】根据题中“秋数”的定义，得出关于a，b，c之间的数量关系，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为三位正整数n是“秋数”， 令其百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c， 则a﹣c＝3， 又因为3≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤6且a，b，c都为整数， 所以当a＝9，b＝9，c＝6时， Q（n）有最大值为：9+2×9+6＝33． 由Q（n）＝27得， a+2b+c＝27， 因为要求“秋数”n的最小值， 则a＝3，c＝0， 此时b＝12，不符合题意； a＝4，c＝1， 此时b＝11，不符合题意； a＝5，c＝2， 此时b＝10，不符合题意； a＝6，c＝3， 此时b＝9，符合题意． 所以满足条件的“秋数”n的最小值为：693． 故答案为：33，693． 【点睛】本题考查整式加减，理解题中“秋数”的定义及分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键． 提优点4 整式加减及其应用 28．（2024秋•包头期末）已知M＝4x3+3x2﹣5x+8a+1，N＝2x2+ax﹣6，若多项式M+N不含一次项，则多项式M+N的常数项是（　　） A．35 B．40 C．45 D．50 【分析】直接利用整式的加减运算法则合并同类项进而得出a的值，即可得出答案． 【解答】解：∵M＝4x3+3x2﹣5x+8a+1，N＝2x2+ax﹣6，多项式M+N不含一次项， ∴4x3+3x2﹣5x+8a+1+2x2+ax﹣6 ＝4x3+5x2﹣（5﹣a）x+8a﹣5， ∴5﹣a＝0， 解得：a＝5， 故8a﹣5＝35． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确得出a的值是解题关键． 29．（2024秋•鄞州区校级期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 【分析】先根据图形即题目给出的数据得出阴影A、阴影B和5个小长方形的较长边和较短边，分别按照①②③④的要求进行计算即可． 【解答】解：阴影A的较短边为x﹣8，较长边为y﹣12， 阴影B的较短边为x﹣y+12，较长边为12， 小长方形的较短边为4，较长边为y﹣12， 则①小长方形的较长边为y﹣12，故①正确； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x﹣y+4，故②错误； ③阴影A和阴影B的周长和为2（y﹣12+x﹣8）+2（12+x﹣y+12）＝4x+8，若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，故③正确； ④阴影A和阴影B的面积和为（y﹣12）（x﹣8）+12（x﹣y+12），当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为240，是一个定值，故④正确． 综上可知，正确的为①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式加减的运用，准确计算是解题关键． 30．（2025春•璧山区校级期中）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则F（A）+G（B）＝　90　 ；若F（A）被9除余8，F（A）﹣G（B）被10整除，当F（A）+G（B）的值为某个自然数的平方时，B的值为　4653　 ． 【分析】（1）当A取最大值，要使A的千位取最大数字7，百位数字取次大数字6；B取最小值时，要使B的千位取最小数字1，百位数字取次小数字2，由此求出A，B的值，再代入F（A）+G（B）计算即可； （2）设A的千位数字为a，百位数字为b，可得F（A）＝10a+b+1，设B的千位数字为m，百位数字为n，可得G（B）＝10m+n+1；根据F（A）被9除余8，可得a+b＝7；根据F（A）﹣G（B）被10整除，可得b＝n；计算出F（A）+G（B）＝10a+2b+2+10m，分情况分别讨论，通过尝试判断是否有符合条件的m即可． 【解答】解：（1）当A取最大值，B取最小值时，A＝7612，B＝1287， ； （2）设A的千位数字为a，百位数字为b，其中1≤a≤7，1≤b≤7， 则A＝1000a+100b+10（8﹣a）+（8﹣b）＝990a+99b+88， ∴； 设B的千位数字为m，百位数字为n，其中1≤m≤8，1≤n≤8， 则B＝1000m+100n+10（9﹣m）+（9﹣n）＝990m+99n+99， ； ∵F（A）被9除余8， ∴F（A）+1能被9带除， ∴10a+b+1+1＝9a+（a+b+2），是9的倍数， ∴a+b+2＝9， ∴a+b＝7； ∵F（A）﹣G（B）被10整除， ∴10a+b+1﹣（10m+n+1）＝10（a﹣m）+b﹣n，是10的倍数， ∴b﹣n＝0， ∴b＝n； F（A）+G（B）＝10a+b+1+（10m+n+1）＝10（a+m）+b+n+2＝10a+2b+2+10m， 分情况讨论： 当a＝1，b＝6时，F（A）+G（B）＝10×1+2×6+2+10m＝24+10m， 通过尝试可知，只有m＝4时，F（A）+G（B）＝24+10×4＝64，是自然数8的平方， 此时m＝4，n＝b＝6，B＝4653，符合题意； 当a＝2，b＝5时，F（A）+G（B）＝10×2+2×5+2+10m＝32+10m， 通过尝试可知，没有m的值可以使F（A）+G（B）是自然数的平方； 当a＝3，b＝4时，或a＝4，b＝3时，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 当a＝5，b＝2时，F（A）+G（B）＝10×5+2×2+2+10m＝56+10m， 通过尝试可知，没有m的值可以使F（A）+G（B）是自然数的平方； 当a＝6，b＝1时，F（A）+G（B）＝10×6+2×1+2+10m＝64+10m， 通过尝试可知，只有m＝8时，F（A）+G（B）＝64+10×8＝144，是自然数8的平方， 此时m＝8，n＝b＝1，B＝8118，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 综上可知，B的值为4653． 故答案为：90；4653． 【点睛】本题考查整式加减的应用，根据已知条件得出A和B之间存在的数量关系是解题的关键． 提优点5 方程的解 31．（2025秋•洪山区期末）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程，求出m的值即可． 【解答】解：， 去分母得5x﹣1＝14， 移项、合并同类项得5x＝15， 系数化为1得x＝3， 把x＝3代入得1＝2|m|﹣3， ∴2|m|＝4， ∴|m|＝2， ∴m＝±2， 故选：D． 【点睛】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 32．（2025秋•和平区校级期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【分析】由乘车的人数不变，可得出关于m的一元一次方程；由客车辆数不变，可得出关于n的一元一次方程，再对照给定的4个等式即可得出结论． 【解答】解：由人数不变，可列出方程：40m+10＝43m+1， ∴等式④正确； 由客车的辆数不变，可列出方程：， ∴等式③正确． ∴正确的结论是③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 33．（2025秋•泰兴市期末）已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程ak﹣2x＝kx﹣4的解总是x＝2，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】把x＝2代入方程ak﹣2x＝kx﹣4得出ak﹣4＝2k﹣4，求出（a﹣2）k＝0，根据方程的解总是x＝2得出a﹣2＝0，再求出a即可． 【解答】解：把x＝2代入方程ak﹣2x＝kx﹣4，得ak﹣4＝2k﹣4， ak﹣2k＝﹣4+4， （a﹣2）k＝0， ∵a为常数，且无论k取何值，关于x的方程ak﹣2x＝kx﹣4的解总是x＝2， ∴a﹣2＝0， ∴a＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于a的方程a﹣2＝0是解此题的关键． 34．（2025春•卧龙区校级月考）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是　﹣14　 ． 【分析】根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出4+a的值为﹣5，﹣1，分别求出a的值求和即可． 【解答】解：， 去分母，得6x﹣（4﹣ax）＝2（x+2）﹣3， 去括号，得6x﹣4+ax＝2x+4﹣3， 移项、合并同类项，得（4+a）x＝5， ∴． 要想使方程的解满足条件，则整数a满足：， ∴4+a是负整数，且能整除5， ∴4+a的值为﹣5，﹣1， 当4+a＝﹣5时，a＝﹣9， 当4+a＝﹣1时，a＝﹣5， ∴符合条件的所有整数a的和为：﹣14． 故答案为：﹣14． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键． 35．如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程2x＝和4x﹣2＝0为“友好方程”．若关于x的方程5x+m＝0与2x﹣2＝x+3是“友好方程”，则m＝　﹣1　 ． 【分析】先解方程2x﹣2＝x+3得到x＝5，则根据“友好方程”的定义得到是方程5x+m＝0的解，据此得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：2x﹣2＝x+3， 移项得：2x﹣x＝2+3， 合并同类项得：x＝5， ∵关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣2＝x+3是“友好方程”，5的倒数是， ∴是方程5x+m＝0的解， ∴， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，掌握“友好方程”的定义是解题关键． 提优点6 一元一次方程的实际应用 36．（2022秋•平山县期末）某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．设把x公顷沙漠改为绿洲，则可列方程为 　54+x＝80%（108﹣x）　 ． 【分析】改造后，绿洲的面积＝沙漠的面积×80%． 【解答】解：把x公顷沙漠改造成绿洲，可知沙漠面积变为（108﹣x）公顷，绿洲面积变为（54+x）公顷， 根据题意可得：54+x＝（108﹣x）×80%， 化简可得：54+x＝80%（108﹣x）． 故答案为：54+x＝80%（108﹣x）． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 37．（2025秋•句容市期末）将长度分别为2dm和3dm的两根细铁丝分别围成长方形甲和长方形乙（接缝处忽略不计），使这两个长方形的长相等，如果将二者等长的边重合，恰好拼成一个正方形，那么这个正方形的边长为 　dm ． 【分析】设这个正方形的边长为xdm，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设这个正方形的边长为xdm，则长方形甲的宽为（1﹣x）dm，长方形乙的宽为（x）dm， 由题意得：x+1﹣x＝x， 解得：x， 故答案为：dm． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，长方形和正方形的性质等，掌握长方形和正方形的性质是解题的关键． 38．在4时与5时之间，什么时刻时钟的时针与分针两针夹角成180度？ 【分析】根据时针每分钟走0.5度，而分针每分钟就走6度，设时针在4时x分时，时针与分针成180度角，依此列出方程，即可求出答案． 【解答】解：设时针在4时x分时刻时钟的时针与分针两针夹角成180度，依题意有 6x﹣0.5x＝120+180， 解得x＝54． 故在4时54分时刻时钟的时针与分针两针夹角成180度． 【点睛】考查了一元一次方程钟面角的应用，关键是根据时针与分针转动的度数关系即时针每分钟走0.5度，而分针每分钟就走6度，列出方程，求出x的值． 提优点7分类讨论 39．（2025秋•江阳区校级期中）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＞0，则x+y的值等于（　　） A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1 【分析】先根据绝对值的定义确定x、y的可能取值，再由xy＞0确定x，y具体值，再求x+y的值． 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5， ∴x＝±4，y＝±5， ∵xy＞0， ∴x、y同号， ∴x＝4时，y＝5， 此时x+y＝4+5＝9； x＝﹣4时，y＝﹣5， 此时x+y＝﹣4﹣5＝﹣9． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算，绝对值，做题的关键是掌握有理数的乘法运算法则、有理数的加法法则，绝对值的定义． 40．（2024秋•甘州区期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中正确的是（　　） ①如果ad＞0，则一定会有bc＞0； ②如果ab＜0，则一定会有cd＞0； ③如果bc＞0，则一定会有ad＞0； ④如果cd＜0，则一定会有ab＜0． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】先根据数轴的性质可得a＜b＜c＜d，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【解答】解：由数轴可知，a＜b＜c＜d． 如果ad＞0，则a，b，c，d都同号，所以一定会有bc＞0，①正确； 如果ab＜0，则a＜0，b＞0，所以c，d一定大于0，所以cd＞0，②正确； 如果bc＞0，则b，c同号，但a，d的符号不能确定，所以不一定会有ad＞0，③错误； 如果cd＜0，则c＜0，b＞0，所以a＜0，b＜0，所以一定会有ab＞0，④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 41．如图是一个运算程序，若第1次输入a的值为16，则第512次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据程序多次计算，寻找其中的规律，即可解题． 【解答】解：由题意得， 第1次输入a的值为16，则； 第2次输入a的值为8，则； 第3次输入a的值为4，则； 第4次输入a的值为2，则； 第5次输入a的值为1，则a+3＝1+3＝4； 第6次输入a的值为4，则； 第7次输入a的值为2，则； 第8次输入a的值为1，则a+3＝1+3＝4； ......； 所以从第2次开始，输出结果是4，2，1的循环， 因为（512﹣1）÷3＝170......1， 所以第512次输出的结果是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，理解程序示意图是解题的关键． 42．现有甲、乙两个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠方案 甲 全场按标价的六折销售 乙 实行“每满100元赠100元的购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金（比如：顾客先购买衣服花费220元，赠券200元．再购买裤子时可冲抵现金，但不再送券） 两个商场同时出售某种标价320元的破壁机和某种标价390元的空气炸锅，张阿姨想买这两样厨房用具，为了方便只选择在一家商场购买，最少需付 　410　 元． 【分析】根据题意和甲乙两家商场的优惠方案，可以分别计算出在两家商场的花费情况，然后再比较大小，即可得到最少需要支付的费用． 【解答】解：由题意可得， 当在甲商场购买时需要花费：（320+390）×0.6＝710×0.6＝426（元）， 当在乙商场购买时需要花费：（320+390）﹣300＝710﹣300＝410（元）， ∵410＜426， ∴最少只需要付410元， 故答案为：410． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题明确有理数混合运算的计算方法． 43．已知点A，点B，点C是同一条数轴上的三个点，点A在数轴上表示的数是1，AB＝2，点B在点A右侧时，点A，B，C有一点是另一条线段的中点，则点C在数轴上表示的数是 　﹣1或2或5　 ． 【分析】需要考虑3种情况，即A为CB中点、B为AC中点、C为AB中点，分类讨论即可解题． 【解答】解：①当A为CB中点时， ∵AB＝2， ∴CA＝AB＝2， 又∵点A在数轴上表示的数是1， ∴C在数轴上表示的数为：1﹣CA＝1﹣2＝﹣1； ②当B为AC中点时， ∵AB＝2， ∴BC＝AB＝2， 又∵点A在数轴上表示的数是1， ∴C在数轴上表示的数为：1+AB+BC＝1+2+2＝5； ③当C为AB中点时， ∵AB＝2， ∴AC＝CB＝AB÷2＝2÷2＝1， 又∵点A在数轴上表示的数是1， ∴C在数轴上表示的数为：1+AC＝1+1＝2； 故答案为：﹣1或2或5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离和线段中点的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 44．（2025秋•新吴区期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　4　 个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　4或10　 ． 【分析】根据题意可知，MN的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4），分别将NA和BM的长度用含a的代数式的绝对值表示出来，根据NA和BM的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：由题意可知，MN＝3AB． ∵MN＝m﹣n＝10﹣（﹣2）＝12， ∴ABMN＝4． 故答案为：4． 设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4）， ∴NA＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，BM＝|a+4﹣10|＝|a﹣6|， ∴|a+2|：|a﹣6|＝3：1，即|a+2|＝3|a﹣6|． 当a＜﹣2时，﹣（a+2）＝﹣3（a﹣6），解得a＝10（不符合题意，舍去）； 当﹣2≤a＜6时，a+2＝﹣3（a﹣6），解得a＝4； 当a≥6时，a+2＝3（a﹣6），解得a＝10． 综上，点A所表示的数为4或10． 故答案为：4或10． 【点睛】本题考查数轴，用绝对值表示数轴上两点间的距离是本题的关键． 45．（2025秋•玄武区期末）已知∠AOB＝90°，以O为端点画射线OM．将射线OM沿直线OA翻折，得到射线ON，将射线ON绕点O顺时针旋转60°，得到射线OP．若∠MOP＝10°，则∠MOB＝　55°或65°或125°或115°．　 °． 【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行分类讨论解答即可． 【解答】解：如图1， 由题意可知∠AON＝∠AOM，∠NOP＝60°，∠MOP＝10°， ∴∠NOM＝70°， ∴∠AON＝∠AOM＝35°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MOB＝90°﹣35°＝55°； 如图2， 由题意可知∠AON＝∠AOM，∠NOP＝60°，∠MOP＝10°， ∴∠NOM＝50°， ∴∠AON＝∠AOM＝25°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MOB＝90°﹣25°＝65°； 如图3， ∠CON＝∠COM，∠NOP＝60°，∠MOP＝10°， ∴∠NOM＝70°， ∴∠CON＝∠COM＝35°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MOB＝90°+35°＝125°； 如图4， 由题意可知∠CON＝∠COM，∠NOP＝60°，∠MOP＝10°， ∴∠NOM＝50°， ∴∠CON＝∠COM＝25°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MOB＝90°+25°＝115°； 综上所述，∠MOB的度数为55°或65°或125°或115°． 故答案为：55°或65°或125°或115°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角的余角和补角，解题的关键是根据题意画出图形． 45．（2025秋•常州期末）定义：C是线段AB（5＜AB＜10）上的一点，若点C将AB分得的两条线段中，有一条线段的长与AB的长的和是10，则称点C是线段AB的“圆满分割点”．已知MN＝8，P、Q分别是线段MN、PN的“圆满分割点”，则QN的长是 　2或4　 ． 【分析】根据线段的“圆满分割点”的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵P是线段MN的“圆满分割点”，MN＝8， ∴PM＝2，PN＝6或PM＝6，PN＝2， ∵Q线段PN的“圆满分割点”， ∴PN＝6， ∴PQ＝4，QN＝2或PQ＝2，QN＝4， 综上所述：QN的长是2或4， 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 提优点8 多结论问题 47．（2025秋•邹平市期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，，下列判断： ①射线OF是∠BOE的角平分线； ②∠BOC是∠3的补角； ③∠COD＝∠BOE； ④∠3的余角有∠BOE和∠COD． 其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【分析】根据角平分线的定义和互为余角、互为补角的定义判断即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴射线OF是∠BOE的角平分线，故正确； ②∵∠BOC+∠4＝180°，又∵∠3＝∠4，∴∠BOC+∠3＝180°，即∠BOC是∠3的补角，故正确； ③∵，∴∠AOD＝90°，∠BOE+∠3＝90°，∴∠4+∠COD＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠COD＝∠BOE，故正确； ④∠3的余角有∠BOE和∠COD，故正确． 正确的是①②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键． 48．（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知3个多项式分别为：A＝x2﹣x，B＝x2+1，C＝x+2，下列结论正确的个数有（　　） ①若|C|＝3，则x＝±1； ②若mA+B﹣C的结果为单项式，则m＝﹣1； ③若关于x的方程B﹣A＝nC无解，则n＝1； ④代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】将A、B、C按要求代入各选项计算即可． 【解答】解：①∵|C|＝3， ∴C＝±3， 当C＝3时，x+2＝3， 解得：x＝1， 当C＝﹣3时，x+2＝﹣3， 解得：x＝﹣5，故①错误； ②mA+B﹣C ＝mx2﹣mx+x2+1﹣x﹣2 ＝（m+1）x2﹣（m+1）x﹣1， 若为单项式，则m+1＝0， 解得：m＝﹣1，故②正确； ③∵B﹣A＝nC， ∴x2+1﹣x2+x＝nx+2n， ∴x﹣nx＝2n﹣1， ∴（1﹣n）x＝2n﹣1， ∵方程无解， ∴1﹣n＝0， ∴n＝1，故③正确； ④|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C| ＝|x2﹣x﹣x2﹣1|+|x2+1﹣x2+x+x+2|﹣|x2﹣x+x+2| ＝|﹣x﹣1|+|2x+3|﹣|x2+2|， 若x≤﹣1， 原式＝﹣x﹣1+2x+3﹣（x2+2） ＝﹣x﹣1+2x+3﹣x2﹣2 ＝﹣x2+x， 若x≥﹣1， 原式＝x+1+2x+3﹣（x2+2） ＝x+1+2x+3﹣x2﹣2 ＝﹣x2+3x+2， 若x， 原式＝﹣x﹣1﹣2x﹣3﹣x2﹣2， ＝﹣x2﹣3x﹣6， ∴代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 49．（2025秋•巴南区期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　） ①abc＞0 ②a﹣b+c＜0 ③ ④|a﹣b|＞|b﹣c|﹣c A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据所给数轴可得出a，b，c的正负及绝对值的大小关系，据此可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， b＜c＜0＜a，且|a|＜|c|＜|b|， 所以abc＞0， 故①正确． 因为c﹣b＞0，且a＞0， 所以c﹣b+a＞0， 即a﹣b+c＞0， 故②错误． 因为b＜c＜0＜a， 所以， 所以， 故③正确． 因为|a﹣b|＝a﹣b，|b﹣c|﹣c＝c﹣b﹣c＝﹣b， 且a﹣b＞﹣b， 所以|a﹣b|＞|b﹣c|﹣c． 故④正确． 所以正确的个数有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 50．（2024秋•宁津县期末）互不重合的三个点A，B，C均在数轴上，已知AB＝a，BC＝b，AC＝c，给出下列说法： ①若点A表示的数为1，点B表示的数为4，点C表示的数为7，则a＝b＝3，c＝6； ②若点A表示的数为1，a＝3，则点B表示的数为4； ③有理数a，b，c满足|a﹣b|≤c； ④若a＝3k，b＝k+9，c＝2k+1，则点A一定在线段BC上． 其中所有正确说法的序号是 　①③④　 （填写正确的序号） 【分析】根据数轴上两点间的距离公式逐项判断即可． 【解答】解：若A表示数为1，B表示数为4，C表示数为7， 则a＝4﹣1＝3，b＝7﹣4＝3，C＝7﹣1＝6，故①正确， 若A表示数为1，a＝3，则|a﹣b|＝3， ∴1﹣b＝±3， ∴b＝4或﹣2， ∴B表示数为4或﹣2，故②错误， a，b，c的关系可能情形为：a＝b+c，b＝a+c，c＝a+b， 当a+5＝a＝b+c或b＝a+c时，|a﹣b|＝c， 当c＝a+b时，|a﹣b＜c， ∴|a﹣b|≤c，故③正确， 若a＝3k，b＝k+9，c＝2k+1，且k＞0， 当点C在AB上时，则有AB＝AC+BC，即， 3k＝2k+1+k+9， 化简得：3k＝3k+10，不成立， 当点B在AC上时，则有AC＝AB+BC，即， 2k+1＝3k+k+9， 化简得：2k+1＝3k+9，不成立， 当点A在BC上时，则有BC＝AC+AB，即， k+9＝2k+1+3k， 化简得：4k＝8， 解得：k＝2， ∴点A一定在线段BC上，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解答的关键． 51．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为线段AD上顺次排列的四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论：①以O为顶点的角有15个；②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝4∠COB，则；③若M为AB的中点，N为CD的中点，则；④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN．其中正确的有 　①②　 ．（填序号） 【分析】在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，数出有几个角即可． 在②中，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m，再换算即可． 在③中，由M为AB的中点，N为CD的中点，得AMAB，NDCD，再换算即可． 在④中，设MC＝CB＝x，设BN＝y，再换算即可． 【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个， 故①正确． 在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m， ∵∠AOD＝4∠COB， ∴2α+2β+m＝5m， ∴α+β＝2m． ∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m， （∠MOC+∠BON）（∠2+∠4）（α+β）＝3m， ∴， 故②正确． 在③中， ∵M为AB的中点，N为CD的中点， ∴AMAB，NDCD， ∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD（AB+CD）＝AD（AC+CB+CD）＝AD（AD+BC）（AD﹣BC）， 故③正确． 在④中， ∵MC＝CB， ∴设MC＝CB＝x， 设BN＝y， ∴MN＝ND＝2x+y， ∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y， 2CN＝2（x+y）＝2x+2y， ∴CD≠2CN， 故④错误． 综上所述，正确的①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，线段中点的定义，线段的和差，掌握这些知识是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末提优1 选择题填空题小题专项训练（9大提优点） 提优点1 数轴与绝对值 1．已知三个实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣|a+b|＝（　　） A．﹣a+b B．a+b C．a﹣b D．﹣a﹣b 2．（2025秋•万宁校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示﹣2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|a﹣c|﹣|c﹣1|＝|a﹣1|若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则正确表示的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•邓州市期末）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则下列说法正确的是（　　） A．p+m＞0 B．mn＜0 C．m﹣p＜0 D．|p|＜q 5．（2024秋•婺源县校级期中）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知A，B，C，D在数轴上分别表示a，b，c，d，，则线段BD的长度为　 ． 6．（2024秋•晋江市期末）|a﹣b|的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离．当x≥t时，|x+2|﹣|x﹣3|的值均为定值，则t的最小值是 　 　 ． 7．（2025春•嘉兴月考）如图，四个相邻的整数a，b，c，d对应数轴上的点A，B，C，D，数m对应数轴上的点M，则|m﹣a|+|m﹣b|+|m﹣c|+|m﹣d|的最小值为　 　 ． 提优点2 规律探究 8．（2024秋•雁塔区校级月考）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回移动（第一次先向右移动），移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；…则动点A第一次经过表示55的点时，经过了 　 　 次移动． 9．（2024秋•西安校级期中）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4．则（﹣1）⊗[3⊗（﹣2）]的值是　 　 ． 10．（2025秋•肥东县月考）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为（　　） A．15 B．﹣10 C．﹣6 D．﹣8 11．（2024秋•丰都县期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示613×54，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①m＝6；②n＝6；③y＝7；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025秋•天府新区校级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…依此规律，第100个图案有（　　）个黑棋子． A．500 B．498 C．497 D．499 13．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为其中k是使结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第100次“F运算”的结果是 　 　 ． 14．（2025秋•固安县期中）定义一种运算：其中k是正整数，且k≥2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.8]＝0．若a1＝1，则a2025的值为（　　） A．2025 B．4 C．2024 D．5 15．（2025•防城港一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：0，2，4，，，，…由此规律，可得第12个数和第13个数的和为　 　 ． 16．（2025秋•大足区期末）下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律排列组成，其中第①个图形有3个正方形，第②个图形有7个正方形，第③个图形有11个正方形，…，按此规律，第⑨个图形中共有（　　）个正方形． A．32 B．33 C．34 D．35 17．（2025秋•夏津县期末）发现规律解决问题是常见解题策略之一，已知数a＝15+25+35+45+55+…+295，这个数a的个位数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2025秋•黔江区期末）现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，…，其中a3＝2024，a7＝﹣2022，a98＝﹣1，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（　　） A．1989 B．﹣1989 C．2055 D．﹣2055 19．（2025秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　 ． 20．（2024秋•嘉祥县期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；…连续这样操作10次，则M10N10＝　 ． 21．（2025秋•自贡期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3…在射线OA上，点B1，B2，B3…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度，一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从O→A1→B1→B2→A2…按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（　　）秒． A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π 提优点3 新定义运算 22．对于任意非零有理数a，b，定义运算“※”如下，则1※2+2※3+3※4+…+365※366的值为（　　） A． B． C． D． 23．（2024秋•尧都区期末）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，以此类推，则a2025＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 24．（2025秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝4+3﹣2＝5， 下列说法： ①﹣7♥9＝﹣16； ②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5； ③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3； ④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与（m为常数）有相同的解，则m＝﹣3或1． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 25．（2025秋•怀安县期末）定义一种新运算：m〇n＝3m﹣mn，例如：1〇2＝3×1﹣1×2＝1． （1）（﹣4）〇3＝　 　 ． （2）若2〇（x﹣1）＝6，则x的值为 　 　 ． 26．（2024春•肇东市校级月考）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x＜0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是 　 　 ． 27．（2025秋•铜梁区期末）一个三位正整数（3≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤6且a，b，c都为整数），若百位数字比个位数字大3，则称这个数m是“秋数”，并规定Q（m）＝a+2b+c．例如724，∵7﹣4＝3，∴724是“秋数”，则Q（724）＝7+2×2+4＝15．例如682，∵6﹣2≠3，∴682不是“秋数”．若三位正整数n是“秋数”，则Q（n）的最大值是 　 ，若三位正整数n是“秋数”，且Q（n）＝27时，则满足条件的“秋数”n的最小值是 　 　 ． 提优点4 整式加减及其应用 28．（2024秋•包头期末）已知M＝4x3+3x2﹣5x+8a+1，N＝2x2+ax﹣6，若多项式M+N不含一次项，则多项式M+N的常数项是（　　） A．35 B．40 C．45 D．50 29．（2024秋•鄞州区校级期中）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 30．（2025春•璧山区校级期中）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则F（A）+G（B）＝　 　 ；若F（A）被9除余8，F（A）﹣G（B）被10整除，当F（A）+G（B）的值为某个自然数的平方时，B的值为　 　 ． 提优点5 方程的解 31．（2025秋•洪山区期末）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 32．（2025秋•和平区校级期末）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 33．（2025秋•泰兴市期末）已知a为常数，且无论k取何值，关于x的方程ak﹣2x＝kx﹣4的解总是x＝2，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 34．（2025春•卧龙区校级月考）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是　 　 ． 35．如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程2x＝和4x﹣2＝0为“友好方程”．若关于x的方程5x+m＝0与2x﹣2＝x+3是“友好方程”，则m＝　 　 ． 提优点6 一元一次方程的实际应用 36．（2022秋•平山县期末）某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．设把x公顷沙漠改为绿洲，则可列方程为 　 　 ． 37．（2025秋•句容市期末）将长度分别为2dm和3dm的两根细铁丝分别围成长方形甲和长方形乙（接缝处忽略不计），使这两个长方形的长相等，如果将二者等长的边重合，恰好拼成一个正方形，那么这个正方形的边长为 　 ． 38．在4时与5时之间，什么时刻时钟的时针与分针两针夹角成180度？ 提优点7分类讨论 39．（2025秋•江阳区校级期中）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＞0，则x+y的值等于（　　） A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1 40．（2024秋•甘州区期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中正确的是（　　） ①如果ad＞0，则一定会有bc＞0； ②如果ab＜0，则一定会有cd＞0； ③如果bc＞0，则一定会有ad＞0； ④如果cd＜0，则一定会有ab＜0． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 41．如图是一个运算程序，若第1次输入a的值为16，则第512次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 42．现有甲、乙两个商场开展的促销活动如表所示： 商场 优惠方案 甲 全场按标价的六折销售 乙 实行“每满100元赠100元的购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金（比如：顾客先购买衣服花费220元，赠券200元．再购买裤子时可冲抵现金，但不再送券） 两个商场同时出售某种标价320元的破壁机和某种标价390元的空气炸锅，张阿姨想买这两样厨房用具，为了方便只选择在一家商场购买，最少需付 　 　 元． 43．已知点A，点B，点C是同一条数轴上的三个点，点A在数轴上表示的数是1，AB＝2，点B在点A右侧时，点A，B，C有一点是另一条线段的中点，则点C在数轴上表示的数是 　 　 ． 44．（2025秋•新吴区期末）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　 个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　 ． 45．（2025秋•玄武区期末）已知∠AOB＝90°，以O为端点画射线OM．将射线OM沿直线OA翻折，得到射线ON，将射线ON绕点O顺时针旋转60°，得到射线OP．若∠MOP＝10°，则∠MOB＝　 　 °． 46．（2025秋•常州期末）定义：C是线段AB（5＜AB＜10）上的一点，若点C将AB分得的两条线段中，有一条线段的长与AB的长的和是10，则称点C是线段AB的“圆满分割点”．已知MN＝8，P、Q分别是线段MN、PN的“圆满分割点”，则QN的长是 　 ． 提优点8 多结论问题 47．（2025秋•邹平市期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，，下列判断： ①射线OF是∠BOE的角平分线；②∠BOC是∠3的补角；③∠COD＝∠BOE； ④∠3的余角有∠BOE和∠COD． 其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 48．（2025秋•沙坪坝区校级期末）已知3个多项式分别为：A＝x2﹣x，B＝x2+1，C＝x+2，下列结论正确的个数有（　　） ①若|C|＝3，则x＝±1； ②若mA+B﹣C的结果为单项式，则m＝﹣1； ③若关于x的方程B﹣A＝nC无解，则n＝1； ④代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2025秋•巴南区期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　） ①abc＞0 ②a﹣b+c＜0 ③ ④|a﹣b|＞|b﹣c|﹣c A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 50．（2024秋•宁津县期末）互不重合的三个点A，B，C均在数轴上，已知AB＝a，BC＝b，AC＝c，给出下列说法： ①若点A表示的数为1，点B表示的数为4，点C表示的数为7，则a＝b＝3，c＝6； ②若点A表示的数为1，a＝3，则点B表示的数为4； ③有理数a，b，c满足|a﹣b|≤c； ④若a＝3k，b＝k+9，c＝2k+1，则点A一定在线段BC上． 其中所有正确说法的序号是 　 （填写正确的序号） 51．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为线段AD上顺次排列的四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论：①以O为顶点的角有15个；②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝4∠COB，则；③若M为AB的中点，N为CD的中点，则；④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN．其中正确的有 　 ．（填序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $