2026年高一数学上学期寒假“承上启下”复习卷（人教A版）

寒假作业15 2026年高一数学上学期寒假“承上启下”复习卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 3．函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是定义在R上的偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 8．若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 10．若，且 则（        ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（   ） A． B．为偶函数 C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象过点，函数的解析式为 . 13．若，且，则 . 14．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 17．（15分）2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 18．（17分）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 19．（17分）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业15 2026年高一数学上学期寒假“承上启下”复习卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】依题意，或，而， 所以. 故选：B 2．已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 3．函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定． 【详解】，，所以在有零点． 故选：B． 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题． 4．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 5．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据是平面向量的基底，确定的关系，再结合数量积的定义进行判断. 【详解】因为是同一平面内所有向量的一个基底，所以不共线. 所以由，因为不共线，所以且，即为钝角.所以“”是“的夹角是钝角”的充分条件； 由的夹角是钝角，所以“”是“的夹角是钝角”的必要条件. 综上可得：在是同一平面内所有向量的一个基底时，“”是“的夹角是钝角”的充要条件. 故选：B 6．已知是定义在R上的偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，令，再结合其偶函数性质即可得到，再次赋值即可得到. 【详解】由题意，是偶函数，故根据递推关系， 令，得，结合偶函数性质，代入得，解得，故A错误； 令，得，代入，得，故C正确； 令，得，无法得到的具体值，故BD错误. 故选：C. 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 8．若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】解：由对，且，都有， 所以函数在上递减， 又函数为偶函数， 所以函数关于对称， 所以， 又， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 【答案】BCD 【分析】根据象限角的概念、弧长公式、扇形面积公式、三角函数的定义，即可分别求解． 【详解】对于A选项，若，则角的终边在第一象限、第二象限或轴正半轴，A错； 对于B选项，因为圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，由三角函数的定义可得，C对； 对于D选项，若是第一象限角，即， 所以， 若为偶数，设，则， 此时为第一象限角， 若为奇数，设，则， 此时为第三象限角， 综上所述，若是第一象限角，则是第一或第三象限角，D对. 故选：BCD. 10．若，且 则（        ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知等式两端同乘化简得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】由两端同乘可得：， 即，又， 所以， 对于A，由，令， 得，所以， 所以，当且仅当时取等号，A正确， 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，当且仅当时取等号， 可得，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确， 故选：ABD 11．已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（   ） A． B．为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对A，利用赋值法，令可得解；对B，令，结合奇偶函数定义判断；对C，根据当时，，结合是奇函数，得当时，，从而得解；对D，令，利用单调性定义证明在上单调递增，结合是奇函数，所以在上单调递增，得解. 【详解】对于A，令，得，解得，故A正确； 对于B，令，则，所以是奇函数，故B错误； 对于C，当时，，因为当时，，是奇函数， 所以当时，，所以，故C正确； 对于D，设，令，则， 因为，所以， 因为，所以，因此，即在上单调递增， 因为是奇函数，所以在上单调递增， 当时，，故，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象过点，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13．若，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 14．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在上有两个不同实数解，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由函数的图象，如图所示， 若令，则方程可化为， 由图可知，当时，与有3个交点， 要使关于的方程恰有6个不同的实数解， 则关于的方程在上有两个不同实数解， 可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）解不等式求出集合，再利用集合的运算即可求出答案； （2）根据题意得到是的真子集，分为和两种情况分别求解即可得到答案. 【详解】（1）若，则，则或， 解不等式得，所以， 则或. （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知， 当，则，解得，满足题意， 当，则，解得， 所以实数的范围为或. 16．（15分）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 【答案】(1) (2)值域为，，. 【分析】（1）根据题意，，结合诱导公式，即可求解； （2）根据三角函数恒等变换得，结合正弦函数的性质求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又， 故； （2）因为， 所以 ， 所以的值域为， 令， 解之得， 所以的单调递增区间为，. 17．（15分）2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【详解】（1）当且时， ， 当且时， ， 综上，； （2）当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 18．（17分）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，利用辅助角公式化简，结合三角形内角范围即可求角； （2）根据，代入可得，接着用余弦定理可求，由勾股定理可知，再在中利用勾股定理即可求. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，可得， 又，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，可得． （2）因为的面积为，，由（1）知， 所以，得， 所以，可得， 所以，所以． 在直角中，， 可得. 19．（17分）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； （3）判断函数的奇偶性，化简，并转化为，令，可得，继而化为对于恒成立，利用函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题意可知； ， 故. （2）由题意得，其定义域为R， 在R上单调递增， 证明：任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在R上单调递增； （3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数； 可化为， 即，即， 令，因为，故，则， 由于在R上单调递增，可得， 结合题意可得对于恒成立， 而，， 结合对勾函数在上单调递增，可得， 即，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $