江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周练（三）

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】由，根据平移法则即可得到答案. 【详解】，因此是需要用的图象得到的图象，即， 所以只需把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：A. 3．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 4．若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 【答案】A 【分析】作出函数的图象与函数的图象，由图象可得交点个数． 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． 5．已知数列为等比数列，为其前项和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题意，，进一步得即可求解. 【详解】因为，，而，其中是等比数列的公比， 从而“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 6．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 7．已知函数在R上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为减函数，利用对数函数单调递减、二次函数单调递减，结合对数函数的定义域以及分界点处两函数的单调性与整体保持一致得到不等式组，从而可得的范围. 【详解】函数在上单调递减， 所以对数函数单调递减函数、二次函数单调递减， ，解得，故选A. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 8．已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性可得，再利用对数运算及对数函数单调性确定的范围，利用单调性确定的范围即可. 【详解】依题意，，则， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由，得，又 ，，，则，， 在上单调递增，，则， 所以m，n，p的大小关系为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列条件中能使成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可判断A；利用函数的单调性可判断BD，运用不等式的性质可判断C. 【详解】对于A. 当时不能得到，故A错误； 对于B.因为为上的单调递增函数，由，可得，故B正确； 对于C.，故C正确； 对于D. 因为为上的增函数，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．下列命题是假命题的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数最小值为 C．函数与是同一个函数 D．若不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据存在性命题的否定判断A，利用换元法结合对勾函数单调性可判断B，根据函数定义域判断C，由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A为假命题； 对于B，令，则，所以函数在上单调递增， 所以，故B选项为真命题； 对于C，函数定义域为R，函数定义域为， 定义域不同，两函数不是同一个函数，故C选项为假命题； 对于D，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式，即， 由，则不等式变为，解得或，故D为假命题； 故选：ACD. 11．已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误， 对于B，令，得到，由选项A知， 所以，故B正确， 对于C，令，则， 又，则， 又由题可知，故， 又， 所以，故C正确， 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以， 即，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则 ． 【答案】 【分析】由已知，得，根据复数除法的运算法则，可求得，进而可求得. 【详解】依题意，，故． 故答案为：. 13．已知向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】先对平方可求，然后利用夹角公式求解. 【详解】因为，所以，即； 因为，，所以，又 所以. 故答案为：. 14．10名象棋手进行单循环赛（每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局得1分，负者得0分．比赛结束，10名选手得分互不相同，且第2名得分是后5名的总得分和的，则第2名的得分为 ． 【答案】15 【分析】分析得到后5名总得分至少有分，第2名最多得16分，后5名总得分应是7的倍数，第2名得分为5的倍数，从而得到第2名的得分. 【详解】后5名之间比赛场次为场，后5名总得分至少有分， 故第2名至少得分． 又因为10名选手得分互不相同，第1名选手最多赢9场，故第2名选手最多赢8场， 故第2名最多得16分， 由于各位选手的得分均为整数，第2名得分是后5名的总得分和的， 所以后5名总得分应是7的倍数，第2名得分为5的倍数． 故后5名总得分应得21分，第2名得15分，只有这样的得分才符合要求，其他均不合要求. 故答案为：15. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 16．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 17．设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)数列的前项的和为 【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项公式即可得解； （2）求得，可得，利用并项求和法可求得数列的前项的和. 【详解】（1）设的公比为，且， 因为是，的等差中项，所以，即为， 所以，解得或 (舍去)， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列的前项的和为 ． 18．强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】(1)（i）；（ⅱ），7.5 (2)答案见解析 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【详解】（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 19．已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 试卷第16页，共17页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 3．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 5．已知数列为等比数列，为其前项和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在R上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知正实数m，n，p满足，，，则m，n，p的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列条件中能使成立的有（    ） A． B． C． D． 10．下列命题是假命题的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数最小值为 C．函数与是同一个函数 D．若不等式的解集为，则不等式的解集为 11．已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则 ． 13．已知向量，满足，，，则 ． 14．10名象棋手进行单循环赛（每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局得1分，负者得0分．比赛结束，10名选手得分互不相同，且第2名得分是后5名的总得分和的，则第2名的得分为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 16．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 17．设是公比不为1的等比数列，已知，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，，求数列的前项和． 18．强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 19．已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 试卷第16页，共17页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $