8.4.1 机械能守恒定律 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

本讲义聚焦机械能守恒定律核心知识点，系统梳理机械能的定义、动能与势能转化原理，深入解析守恒定律的内容、表达式及条件，通过三种判断方法搭建从基础概念到综合应用的学习支架，涵盖单体、轻弹簧、轻杆、轻绳连接系统等典型题型。 资料以“基础回顾-必备知识-巩固强化-课时精练”为逻辑主线，通过分题型例题（如轻弹簧连接系统、轻杆关联速度问题）培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，结合蹦极、滑雪等生活情境渗透科学态度与责任。课中助力教师高效授课，课后通过精练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

8.4.1 机械能守恒定律 【基础回顾】 1．机械能 重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 2．动能与势能的相互转化 通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 3．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 (2)表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 (3)条件：只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。 4．对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。 5．判断机械能守恒的方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) (3)机械能的定义法 机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。 【必备知识】 1、 机械能是否守恒的三种判断方法 ( 1 )利用机械能的定义判断:若物体动能、势能之和不变,则机械能守恒。 (2)利用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功(或做功代数和为 0 ), 则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断:若物体或系统与外界没有能量交换,物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化, 则机械能守恒。 二、轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒 两点提醒 （1）对同一弹簧，无论弹簧伸长还是压缩，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 【巩固强化】 题型1 判断机械能是否守恒 【例题精讲】 1．竖直放置的轻弹簧下端固定在地上，上端与钢板连接，钢板处于静止状态，如图所示。一物块从钢板正上方0.2m处的P点自由落下，打在钢板上（碰撞时间极短）并与钢板一起向下运动0.1m后到达最低点Q。已知物块和钢板的质量都为1kg，重力加速度大小为g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．物块与钢板碰后一起向下做减速运动 B．物块与钢板碰后一起运动的加速度一直增大 C．从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为3J D．从P到Q的过程中，物块、钢板、弹簧组成的系统机械能守恒 【答案】C 【解析】解：AB.物块与钢板碰后一起向下运动中，开始物块与钢板的合重力大于弹簧的弹力，合重力与弹力的合力方向向下，由牛顿第二定律可知，则产生的加速度向下，物块与钢板一起向下做加速运动，随向下运动位移增大，弹簧的弹力增大，其合力减小，加速度减小；当弹簧的弹力大小等于合重力时，其合力是零，加速度是零，继续向下运动，弹力大于合重力，其合力向上，加速度向上，物块与钢板做减速运动，弹力继续增大，加速度继续增大，后到达最低点Q，加速度最大，可知物块与钢板碰后一起先向下加速，后减速，则运动的加速度先向下减小后反向增大，故AB错误； C.物块与钢板碰撞前，物块从P点开始做自由落体运动，下落到钢板时的速度大小由速度—位移关系公式 代入数据得v0＝2m/s 物块与钢板碰撞运动中，因碰撞时间极短，内力远大于合外力，则物块与钢板组成的系统动量守恒，设物块与钢板碰撞后的共同速度为v1，取向下为正方向，由动量守恒定律可得mv0＝2mv1 代入数据得v1＝1m/s 碰后从P到Q的过程中，由能量守恒定律可得 代入数据解得ΔEp＝3J，即弹簧弹性势能的增加量为3J，故C正确； D.物块与钢板碰撞后一起运动，其碰撞是非弹性碰撞，碰撞运动中有机械能的减少，所以从P到Q的过程中，物块、钢板和弹簧组成的系统机械能不守恒，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，物块与圆环通过光滑轻质定滑轮用细绳连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的细绳水平，竖直杆与滑轮间的距离为L。某时刻圆环由静止释放，圆环下落到B点时，速度达到最大，此时细绳与竖直杆成37°。已知圆环的质量为m，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力不计，下列判断正确的是（　　） A．物块的质量为 B．当圆环到达B位置时，物块所受合力为0 C．圆环下落过程中，圆环的机械能先增大后减小 D．圆环下落过程中，物块的机械能一直增大 【答案】D 【解析】解：AB、依题意知，圆环在B点时速度最大，则圆环的加速度为0，但物块此时的加速度并不为0，则物块此时的合力并不为0，故无法算出物块的质量，故AB错误； C、圆环下落过程，轻绳对圆环一直做负功，故圆环的机械能一直减小，故C错误； D、轻绳对物块一直做正功，则物块的机械能一直增加，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m（M＞m）的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（　　） A．两滑块组成系统的机械能守恒 B．重力对M做的功等于M动能的增加 C．轻绳对m做的功大于m机械能的增加 D．两滑块组成系统的机械能损失的数值等于摩擦产生的热量的数值 【答案】D 【解析】解：A．滑块M沿粗糙斜面ab运动，受到滑动摩擦力作用，摩擦力对M做负功，消耗机械能转化为内能。因此系统的机械能不守恒，故A错误； B．由动能定理得，重力、拉力、摩擦力对M做的总功等于M动能的增加，故B错误； C．除重力弹力以外的力做功等于机械能的变化，所以轻绳对m做的功等于m机械能的增加，故C错误； D．由能量关系可知，两滑块组成系统的机械能损失的数值等于摩擦产生的热量的数值，故D正确； 故选：D。 4．宁波中心大厦是浙江省第一高楼（如图），总建筑距地面高度409m，地上80层，大厦内装有最大速度可达10m/s的超高速电梯。某次一乘客从3层搭乘该电梯直达63层仅需40s，则（　　） A．该电梯从地面到顶层的最短运行时间为40.9s B．该乘客全程的平均速率约为5.0m/s C．电梯上行过程，电梯对该乘客始终做正功 D．电梯匀速上行过程，该乘客的机械能保持不变 【答案】C 【解析】解：A.由题意可知，若该电梯从地面到顶层以最大速度做匀速直线运动，则电梯运行时间为： t， 但实际上，电梯启动的过程做加速运动、电梯停止的过程做减速运动，电梯不可能从地面到顶层一直做匀速直线运动，由此可知，该电梯从地面到顶层的最短运行之间一定大于40.9s，故A错误； B.由题意可知，该乘客全程的平均速率为： v7.66875m/s，故B错误； C.由题意可知，电梯上行的过程中，电梯对乘客的作用力始终向上、与乘客的位移方向相同，所以电梯上行过程，电梯对该乘客始终做正功，故C正确； D.结合前面分析及题意可知，电梯匀速上行过程，除重力对乘客做功以外，电梯一直对乘客做正功，则乘客的机械能增大，故D错误； 故选：C。 5．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发洲际弹道导弹，准确落入预定海域。该导弹射程约12000千米。下列说法正确的是（　　） A．射程12000千米指的是导弹的位移大小 B．研究导弹在空中的运动轨迹时，导弹可以看成质点 C．导弹上升过程中机械能守恒 D．导弹全程处于超重状态 【答案】B 【解析】解：A、射程12000km是指导弹沿地表飞行的路程，而位移是起点到终点的直线距离。在洲际飞行中，由于地球曲率，位移大小（弦长）与射程（弧长）并不相等，故A错误； B、在研究导弹飞行数千公里的轨迹时，其自身尺寸（几十米）远小于12000km的飞行距离，形状与大小对运动分析的影响可忽略，可视为质点，故B正确； C、导弹在上升过程中，发动机推力做正功，将燃料的化学能转化为机械能，其机械能增加，不守恒，故C错误； D、导弹在发动机关闭后的惯性飞行阶段（中段），仅受重力作用，处于完全失重状态，并非全程超重，故D错误。 故选：B。 6．（多选）风洞是进行空气动力学试验的最常用的工具，广泛应用于现代飞机、导弹和火箭的研发和生产中。在风洞中将一质量为m的飞行器（可视为质点）由静止释放，假设飞行器所受风洞阻力方向竖直向上，风洞阻力大小f与飞行器下降速率v的关系为f＝kv，测出飞行器由静止下降h后做匀速直线运动，重力加速度大小为g。关于飞行器下降h的过程下列说法正确的是（　　） A．飞行器的最大速率为v B．风洞阻力对飞行器做功为mgh C．飞行器运动过程中机械能守恒 D．飞行器运动时间为t 【答案】AB 【解析】解：飞行器在风洞中由静止释放，受到重力mg（竖直向下）和风洞阻力f＝ kv（竖直向上），其合力决定加速度。随着速度增加，阻力增大，合力减小，加速度减小，最终合力为零时，飞行器做匀速运动。 A.当飞行器匀速时，合力为零，即mg＝kv，解得 v 这是飞行器下降过程中的最大速率，因为随着速度增加，阻力增大，加速度减小，最终达到匀速。故A正确。 B.根据动能定理，飞行器从静止下降h后，动能为，其中v 动能定理表达式为：mgh﹣Wf 其中Wf为风洞阻力做的功。 代入v，得： mgh﹣Wfm（）2 解得：Wf＝mgh 故B正确。 C.飞行器在下降过程中受到风洞阻力，阻力做负功，机械能不守恒。 故C错误。 D.飞行器做非匀变速运动，加速度随速度变化，不能用匀变速公式直接求时间。 题目中未提供足够信息求解时间，且该表达式形式复杂，无法通过常规方法验证其正确性。故D错误。 故选：AB。 7．（多选）如图，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，a、b用刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，轻杆长为l，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，直到a着地的过程中，则（　　） A．小球a、b和杆组成的系统机械能守恒 B．轻杆跟墙壁夹角为30°时小球a的速度大小为 C．b的速度最大时，a离地面的高度为l D．a开始下滑至着地过程中，轻杆对b做功为mgl 【答案】AC 【解析】解：A、在运动过程中只有重力做功，小球a、b和杆组成的系统机械能守恒，故A正确； B、轻杆跟墙壁夹角为30°时，小球a的速度大小为va，小球b的速度大小为vb vacos30°＝vbsin30° 根据机械能守恒 解得，故B错误； C、当杆的推力等于零时，杆对b做正功最多，此时b的速度最大，设杆与水平方向的夹角为θ，对系统由机械能守恒有 速度关系 vasinθ＝vbcosθ 联立可得 当时 即，b的动能取得最大值而a离地面的高度为 故C正确； D、a开始下滑至着地过程中，系统减少的重力势能为mgl，而两球沿杆的速度相等，a球还有竖直分速度，则有va＞vb，则杆对a做功大于，杆对b做功小于，故D错误。 故选：AC。 题型2 单体机械能守恒 例题精讲】 1．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动，另一同样的小球乙在油中由静止开始下落。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。设地面处重力势能为零，在这两种情况下，下列说法正确的是（　　） A．甲球的重力势能变化量大 B．乙球的末机械能大 C．甲球的动能变化快 D．乙球重力势能变化快 【答案】C 【解析】解：A、重力势能的变化量由重力做功决定，由于两球质量相等，下落的高度差相同，因此两球重力势能的变化量相等，故A错误； B、甲球在真空中下落，仅重力做功，机械能守恒；乙球在油中下落，除重力外还需克服阻力做功，机械能减少，故甲球的末机械能较大，故B错误； C、根据动能定理，合外力的功等于动能变化量，合外力的功率反映动能变化的快慢。对甲球：a甲＝g，，解得：；对乙球：，且a乙，在同一高度，甲球速度始终大于乙球速度，且甲球合外力mg大于乙球合外力mg﹣f，故甲球合外力的功率mgv甲大于乙球合外力的功率（mg﹣f）v乙，表明甲球的动能变化更快，故C正确； D、重力势能变化的快慢即重力功率。同一高度甲球速度始终大于乙球速度，因此甲球重力功率mgv甲始终大于乙球重力功率mgv乙，故甲球重力势能变化更快，故D错误。 故选：C。 2．某款游乐装置的模型如图所示，半径为R的光滑金属圆环固定在竖直平面内，一套在圆环顶端的小环由静止释放后，沿圆环轨道自由下滑。已知重力加速度大小为g，小环可看作质点，则下滑过程中小环的线速度大小v与其到圆环顶端距离L的关系为（　　） A．v＝L B．v＝R C．v D．v＝2 【答案】A 【解析】解：小环在光滑圆环上自由下滑时，仅重力做功，机械能守恒。设小环下落的竖直高度为h，由机械能守恒定律得：。 根据圆的几何关系，小环到圆环顶端的距离L为对应弦长。设小环与圆心连线同竖直方向夹角为θ，则有h＝R（1﹣cosθ），且。 由几何关系可得L2＝2Rh，解得：。联立以上各式，解得线速度大小v与距离L的关系为：。故BCD错误，A正确。 故选：A。 3．如图所示，运动员（视为质点）从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时水平飞出，落到C点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在运动员从A点运动到B点的过程中，运动员的动能一直增大 B．在运动员从A点运动到B点的过程中，运动员的机械能增大 C．离开B点后，运动员在空中运动的过程中受到的重力的功率增大 D．落到C点时，运动员的速度方向可能竖直向下 【答案】C 【解析】解：AB、运动员从A点运动到B点的过程中，仅重力做功，机械能守恒。观察图像可知，运动员高度先降低后升高，重力势能先减小后增大，因此动能先增大后减小，故AB错误； C、运动员在B点水平飞出后做平抛运动，竖直分速度不断增大，由PG＝mgvy可知重力功率逐渐增大，故C正确； D、运动员落至C点时仍存在水平分速度，故速度方向不可能竖直向下，故D错误。 故选：C。 4．如图所示质量为0.5kg的石块从10m高山崖上以30°角斜向上方抛出，初速度v0的大小为5m/s。不计空气阻力，g取10m/s2。以下说法正确的是（　　） A．石块落地时的速度大小为20m/s B．只增大石块的初速度，石块落地时的动能不变 C．只改变石块初速度的仰角，石块落地时动量不变 D．只将石块初速度的仰角改为45°，石块落地时的速度大小为15m/s 【答案】D 【解析】解：A、由于仅重力做功，石块机械能守恒，根据机械能守恒定律得，代入数据解得石块落地速度大小为v＝15m/s，故A错误； B、由上述分析可知，若增大石块初速度，其落地动能将增大，故B错误； D、由公式可知，石块落地速度仅与抛出高度和初速度大小有关，与其他因素无关，故D正确； C、石块落地速度大小不变，但仅改变初速度仰角时，速度方向改变导致动量变化，故C错误。 故选：D。 5．如图所示，球员将质量为m的篮球以斜向上的初速度v0抛出，初速度方向与水平方向的夹角为45°，篮球在空中划出的弧线经过A、B、C三点，A与B在同一条水平线上，C是最高点。C到地面的距离为h，A、B到地面的距离均为，重力加速度为g，空气阻力不计，以地面为零重力势能面，下列判断正确的是（　　） A．篮球在最高点的机械能为mgh B．篮球在最高点的动能为 C．篮球从A运动到B的时间为 D．A、B之间的距离为 【答案】C 【解析】解：A．不计空气阻力，根据机械能守恒，篮球在最高点时有水平速度，此时篮球在最高点的机械能大于mgh，故A错误； B．篮球在水平方向做匀速直线运动，在最高点的水平速度vx＝v0cos45° 故篮球在最高点的动能，根据动能定理有 故B错误； C．篮球从A到C做斜上抛运动，篮球从A运动到C的时间 篮球从C运动到B的时间和从A运动到C的时间相等，故 故C正确； D．篮球A、B之间的距离，根据运动学公式有 故D错误。 故选：C。 6．（多选）如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于半径R），均可视为光滑轨道，在两轨道右端的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，下列说法中正确的是（　　） A．若hA＝hBR，两小球都能沿轨道运动到最高点 B．若hA＝hBR，两小球在轨道上上升的最大高度均为R C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，hA的最小值为R，B小球在hB＞2R的任何高度释放均可 【答案】AD 【解析】解：小球A在金属凹槽轨道（单轨模型）中运动，最高点受重力mg和弹力N作用，合力提供向心力。要通过最高点需满足N≥0，即，解得临界速度。根据机械能守恒，求得最小释放高度满足，解得。 小球B在金属圆管轨道（双轨模型）中运动，最高点速度仅需v＞0。由机械能守恒mg（hB﹣2R）＞0，解得hB＞2R。 AD、由分析可知，小球A需，小球B需hB＞2R。若，两球均能到达最高点，故AD正确； B、若，小球B能到达。小球A因速度不足会在到达最高点前脱离轨道，最大高度小于，故B错误； C、小球从最高点平抛，设落点为右端口（x＝R，y＝R）。竖直方向，解得；水平方向R＝vt，解得所需初速度。小球A最小通过速度，水平位移必大于R，故C错误。 故选：AD。 7．（多选）一质量为m的物体竖直向下加速运动，加速度大小为。物体下降h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体的重力势能变化了mgh B．物体的动能变化了 C．物体的机械能增加了 D．物体克服外力做功为 【答案】BC 【解析】BC 解：A．物体重力做功为mgh，则重力势能变化了﹣mgh，故A错误； B．物体所受的合力为 F合＝ma W合＝F合h 动能增加为，故B正确； CD．物体的机械能等于动能和重力势能之和，动能增加，重力势能减小mgh，则机械能增加，物体克服外力做功为，故C正确，D错误。 故选：BC。 题型3 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 解题要点 1. 常见图例: 2. 四点提醒 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时, 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化, 物体和弹簧组成的系统机械能守恒, 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 (2)对同一弹簧, 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定, 弹簧的伸长量和压缩量相等时, 弹簧的弹性势能相等。 (3)弹簧弹力做功与路径无关,取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 (4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统, 当弹簧形变量最大时, 弹簧两端连接的物体速度相等; 弹簧处于自然长度时, 弹簧弹性势能最小(为零)。 【例题精讲】 1．如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 【答案】C 【解析】解：A、设PO的距离为L，过程I中，根据动能定理有。设MO的距离为L1，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件kL1＝mgsinθ+μmgcosθ。P、M两点之间的距离L2＝L﹣L1，联立可得，故A错误； B、根据功能关系，过程Ⅱ中，Q从P点单向运动到O点时，Q和弹簧组成的系统损失的机械能ΔE＝μmgcosθ•L。结合，解得：。但在过程Ⅱ中，单独对Q而言其机械能是增加的，故B错误； D、无论Q从何处释放，其在斜面上运动时，弹簧与Q初始时的势能最终转化为摩擦热。当在M点时，满足kL1＝mgsinθ+μmgcosθ；当在O点时，满足mgsinθ＝μmgcosθ。因此在OM（含O、M点）之间速度减为零时，Q将保持静止，故D错误； C、设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为x，根据能量守恒定律有。结合，解得：，故C正确。 故选：C。 2．如图所示，光滑斜面固定在水平面上，一轻质弹簧下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块在斜面上A点上方某位置由静止释放，将弹簧上端压缩至最低点B（弹簧在弹性限度内），下列说法正确的是（　　） A．在接触弹簧前的过程中，物块的机械能增大 B．物块从A点运动到B点的过程中，弹簧弹性势能先增大后减小 C．物块能回到刚释放时的位置 D．物块从A点运动到B点的过程中，其动能一直减小 【答案】C 【解析】解：A、在接触弹簧前的过程中，仅有重力对物块做功，物块的机械能保持不变，故A错误； B、物块从A点运动至B点的过程中，弹簧弹力始终做负功，弹簧的弹性势能持续增大，故B错误； C、依据机械能守恒定律，物块能够返回到刚释放时的位置，故C正确； D、物块自A点运动到B点的过程中，物块先加速后减速，其动能先增加后减小，故D错误。 故选：C。 3．如图甲所示，水平面AB与竖直面内的半圆形导轨CDB在B点平滑相接，各处摩擦因数相同，D为半圆形导轨的中点。一质量为m＝1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩到A点后由静止释放，在弹力作用下获得向右的速度后脱离弹簧，从B点进入半圆形导轨，物体沿半圆形导轨从B运动到C过程中速度平方与其上升高度的关系如图乙所示，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．弹簧压缩到A点时弹簧的弹性势能为18J B．物体运动到C点时对半圆形导轨的压力大小为10N C．物体从B运动到C的过程中，合力对物体做的功为10J D．物体从D运动到C的过程中，物体的机械能减少值ΔE＜1J 【答案】D 【解析】解：A、由图乙可知，物体在B点的速度大小为v0＝6m/s。若水平面AB光滑，依据能量守恒定律，弹簧在A点时的弹性势能为，解得：Ep＝18J。由于实际轨道粗糙，故弹簧在A点时的弹性势能大于18J，故A错误； B、由图乙可知，半圆轨道半径R＝0.4m，物体在C点的速度大小为v1＝4m/s。设在C点导轨对物体的弹力为N，由牛顿第二定律得，代入数据解得：N＝30N。根据牛顿第三定律，物体在C点时对半圆形导轨的压力大小为30N，故B错误； C、根据动能定理，物体从B到C过程合外力做功为，解得：W＝﹣10J，故C错误； D、由能量守恒定律，物体从B到C过程减少的机械能为，代入数据解得：E＝2J。由于物体从B到C速度持续减小，依据牛顿运动定律分析可知，此过程物体对导轨的压力逐渐减小，由摩擦力公式f＝μN可知，物体从B到D过程所受摩擦力大于从D到C过程所受摩擦力。根据功能关系可知，物体从B到D过程克服摩擦力做功大于从D到C过程克服摩擦力做功。因整个过程机械能减少2J，故从D到C过程机械能的减少量小于1J，故D正确； 故选：D。 4．如图所示，角度为60°的“V”字形粗糙杆竖直固定，质量均为m的两个相同小球用一轻弹簧连接套在粗糙杆上等高的位置，两个小球与杆之间的动摩擦因数均为，弹簧在AB位置时处于原长，CD、EF位置与AB位置的竖直高度均为h。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k且弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，两个小球从CD位置由静止同时下滑，下列说法正确的是（　　） A．两个小球在CD位置的加速度大小为 B．两个小球下滑到AB位置时动能达到最大 C．从AB位置下滑到EF位置，两个小球所受的摩擦力先减小后增大 D．从AB位置下滑到EF位置，两个小球克服摩擦力做的功为mgh 【答案】D 【解析】解：A、对两个小球在CD位置进行受力分析，得mgsin60°+Fcos60°﹣μ（mgcos60°﹣Fsin60°）＝ma，其中F＝kx，x＝2htan30°，解得：，故A错误； B、当两个小球下滑到AB位置时，弹簧处于原长，受力分析得，。由于重力的下滑分力大于摩擦力，小球加速度方向沿杆向下，继续加速，因此在AB位置时动能未达到最大值，故B错误； C、从AB位置下滑到EF位置，摩擦力表达式为f＝μ（mgcos60°+Fsin60°），由于F持续增大，两个小球所受摩擦力不断增大，故C错误； D、由C项分析可知，摩擦力最小值为，最大值为。从AB下滑到EF的位移为。若取摩擦力平均值，单个小球克服摩擦力做功为，故D正确。 故选：D。 5．如图所示，物块静止在水平面上，绕过光滑定滑轮的细线一端连接在物块上，另一端连接轻弹簧，轻弹簧下面吊着小球，滑轮两边的细线竖直，物块及小球均处于静止状态，将小球缓慢向下拉，当物块对地面的压力恰好为零时，由静止释放小球，小球做简谐振动。已知小球上升到最高点时，弹簧恰好处于原长，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．释放小球瞬间，物块的加速度大小为g B．释放小球瞬间，小球的加速度大小为g C．物块的质量是小球的质量的3倍 D．小球向上运动过程中，重力势能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小 【答案】B 【解析】解：设小球质量为m，物块质量为M。小球做简谐振动，在最高点时弹簧处于原长，仅受重力作用，由牛顿第二定律得mg＝ma上，解得：a上＝g，方向竖直向下。 AB、根据简谐运动对称性，小球在最低点加速度a底＝g，方向竖直向上。对小球受力分析得F弹﹣mg＝ma底，解得：F弹＝2mg。此时物块对地面压力为零，说明细线拉力T＝Mg且T＝F弹，解得：M＝2m，故释放瞬间物块加速度为0。故A错误，B正确； C、由M＝2m可知C错误； D、小球和弹簧系统机械能守恒，Ek+Ep，重+Ep，弹＝C。重力势能与弹性势能之和Ep，总＝E总﹣Ek。小球上升过程中动能先增后减，故Ep，总先减后增，故D错误。 故选：B。 6．（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（　　） A．当x＝h+x0时，小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小 B．小球到达最低点的坐标大于h+2x0 C．小球受到的弹力最大值大于2mg D．小球动能的最大值为mghmgx0 【答案】ABCD 【解析】解：A、根据乙图可知，当x＝h+x0时，小球的重力等于弹簧的弹力，此时小球具有最大速度，小球动能最大，由于小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小，故A正确； BC、根据运动的对称性可知，小球由弹簧上端静止释放时，达到最低点时弹簧弹力等于2mg，现在小球从弹簧上端某一高度静止释放，所以小球运动的最低点受到的弹力最大值大于2mg，小球到达最低点的坐标大于h+2x0，故BC正确； D、小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知mg（h+x0）Ekm﹣0 故小球动能的最大值为：Ekm＝mghmgx0，故D正确。 故选：ABCD。 7．（多选）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端垂直固定一挡板。初始时刻质量均为m的物块A、B、C按照图示方式静置于斜面上，C紧靠挡板放置，B、C之间通过一轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k。现对A施加一沿斜面向下的恒力F，当A、B被压缩到最低点时撤去F，一段时间后当物块A运动到最高点时立即将其撤走，物块B运动到最高点时物块C恰好离开挡板。已知弹簧的弹性势能表达式为，x为弹簧的形变量，重力加速度大小为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时刻弹簧的形变量为 B．物块B运动到最高点时加速度大小为2gsinθ C．物块A与物块B分离瞬间两者的速度大小为 D．恒力F的大小为 【答案】BC 【解析】解：A、初始时刻，A、B静止，将A、B视为整体，受力平衡。设初始压缩量为x1，由平衡条件kx1＝2mgsinθ，解得：，故A错误； B、物块B运动到最高点时，C恰好离开挡板，说明挡板对C无弹力，此时弹簧处于伸长状态，对C受力分析可知弹簧弹力F弹＝mgsinθ。此时对B受力分析，B受重力沿斜面向下的分力mgsinθ和弹簧沿斜面向下的弹力F弹，合力F合＝mgsinθ+F弹＝2mgsinθ，由牛顿第二定律F合＝maB，解得：aB＝2gsinθ，故B正确； C、A、B一起上升直到分离，分离瞬间两者相互作用力为零，且加速度相同。对A：ma＝﹣mgsinθ；对B：ma＝﹣kx﹣mgsinθ。联立解得：x＝0，即分离时弹簧处于原长。B分离后从原长位置上升到最高点（此时弹簧伸长量），根据能量守恒定律：，解得：，故C正确； D、A、B一起被压缩到最低点时，设压缩量为xm。从最低点到分离点（x＝0），对A、B整体应用能量守恒：，代入v解得：。从初始位置x1到最低点xm，根据动能定理：，解得：，故D错误。 故选：BC。 题型4轻杆连接的物体系统机械能守恒 一．角速度相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 )转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足: 。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。: (4)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (5)由 知, 与 成正比。 二．角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景(关联速度情景) (1)两物体速度的关联实质:沿杆方向的分速度大小相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1．如图所示，滑块A、B的质量均为m、A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当A到达B所在的水平面时，B速度为零 B．B到达最右端时，A的速度大于 C．当A到达B所在的水平面时，A的速度为 D．B的最大速度为 【答案】B 【解析】解：AC、不计一切摩擦，滑块A、B组成的系统机械能守恒。从开始到A到达B所在水平面的过程中，有，又由关联速度关系得vAcos45°＝vB，联立解得：，。故AC错误； B、当B到达最右端时速度为零，此时轻杆与斜杆垂直，由机械能守恒得，解得：。故B正确； D、B的加速度为零时速度最大，当轻杆与水平杆垂直时B的合力为零，此时A的速度为零，由机械能守恒得，解得：。故D错误。 故选：B。 2．如图1所示，西班牙双人斗牛比赛是一项冒险的游戏，两人坐在跷跷板上，一人通过轻杆将另一人抬高从而躲避公牛的攻击。为研究方便，可将两人和轻杆组成的系统简化成图2所示的球杆模型，质量为1.2m的小球A和质量为m的小球B固定在轻杆的两端，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动，两球与轴O间的距离均为l，不计空气阻力，重力加速度为g。将杆由水平位置静止释放，杆转过θ角度的过程中（此时两人均未落地），以下说法正确的是（　　） A．小球A的机械能增加 B．小球B的机械能减少 C．系统减少的重力势能为 D．小球A的末态动能为 【答案】D 【解析】解：AB．系统转动过程中，B球高度增加，则重力势能增加，B球从静止运动，则动能增加，根据机械能的定义可知B球机械能增加，A、B两球组成的系统机械能守恒，可知A球机械能减小，故AB错误； C．B球重力势能增加，A球重力势能减少，则系统减少的重力势能为：，故C错误； D．末状态两球的速度大小相等，设此速度大小为v，由机械能守恒定律可知系统减少的重力势能等于系统增加的动能，则有：，小球A的末态动能为：，联立方程可得：，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：从初态到末态系统机械能守恒，可得： 由沿杆方向速度相等可得vPcosθ＝vQcosθ （θ为末态时轻杆AB与水平方向间的夹角） 联立解得 故BCD错误，A正确； 故选：A。 4．可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为60°，杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t2时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t1时刻轻杆与水平方向夹角为30° B．t2时刻甲球的加速度大于g C．t3时刻甲球的速率为 D．0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】D 【解析】解：A、设t1时刻轻杆与水平方向夹角为θ，将v甲和v乙沿杆方向和垂直于杆方向正交分解如图： 沿杆方向速度相等，则有 v甲sinθ＝v乙cosθ 从图像中可以看出此时 v甲＝v乙 所以 sinθ＝cosθ θ＝45° 故A错误； B、t2时刻乙球速率最大，此时图像中斜率为0，即加速度为0，则合外力为0，杆对乙球没有力，则杆对甲球也没有力，所以甲球只受重力，加速度为g，故B错误； C、t3时刻甲球落地，乙球速度为0，根据动能定理有 解得 故C错误； D、0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积为甲和乙的位移，甲球的位移为 乙球刚开始到墙的距离为 t3乙球到墙的距离为杆长L，所以乙球的位移为 所以 即0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为，故D正确。 故选：D。 5．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球转动到最低点时，A球的速度最大 B．A球的最大速度为 C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大 D．A球的最大速度为 【答案】D 【解析】解：根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为 vA：vB＝ω•2l：ω•l＝2：1 当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得： 解得： 由数学知识知，当θ＝45°时，sinθ+cosθ有最大值， 最大值为： 故ABC错误，D正确。 故选：D。 6．（多选）如图所示，质量均为m＝1kg小球a、b用长度为l＝2m的刚性轻杆连接，a、b竖直紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，开始a、b均处于静止状态。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，直到a落地的过程，已知重力加速度大小为g＝10m/s2，a、b均可视为质点，下列说法中正确的是（　　） A．小球a、b杆组成的系统动量守恒 B．轻杆跟墙壁夹角为30°时小球a的速度大小为 C．a刚与地面接触瞬间的速度为 D．b的速度最大时，a离地面的高度为 【答案】BD 【解析】解：A、系统在水平方向不受外力，但竖直方向a存在加速度，系统所受合外力不为零，故系统总动量不守恒，故A错误； B、当杆与墙壁夹角为30°时，a下降高度为h＝l（1﹣cos30°），解得：。根据系统机械能守恒，有。a、b速度沿杆方向分量相等，有vacos30°＝vbsin30°，解得：。将此关系代入机械能守恒方程，解得：，故B正确； C、当a刚接触地面时，b的速度为零，由系统机械能守恒有，解得：，故C错误； D、当杆对b的推力为零时，b的速度最大，此时杆对b做正功最多。设杆与水平方向夹角为θ，对系统由机械能守恒有。沿杆方向速度相等，有vasinθ＝vbcosθ。联立解得b的动能。当时，即时，b的动能最大，。此时a离地高度为，故D正确。 故选：BD。 7．（多选）如图所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处。现在杆中点处施加一大小始终为（g为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力F，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力F所做的功为mgL B．拉力F撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为θ时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为sinθ：1 D．当轻杆与水平面夹角为θ时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 【答案】ABD 【解析】解：A.小球恰好能到达O点正上方，则小球在最高点时速度为零，对小球从初始位置到最高点，由动能定理有W﹣mgL＝0解得W＝mgL，故A正确； B.设撤去力F时杆与水平方向的夹角为α，则有 解得从撤去力F到小球运动到最高点的过程中，小球的机械能守恒，由机械能守恒定律有 解得撤去力F时小球的速度大小为，故B正确； C.如图所示 设杆与水平地面夹角为θ时，小球的速度大小为v1，接触点沿着弹力方向速度相等，有正方体的速度大小v2＝vFN＝v1sinθ，即小球与正方体的速率之比为，故C错误； D.对小球和正方体组成的系统，机械能守恒定律有：mgL（1﹣sinθ） 联立解得：v2 故选：ABD。 题型5轻绳连接的物体系统机械能守恒 一．速度大小相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 三点提醒 (1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 (3)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。 二．速度大小不等 解题要点:因两物体速度大小不相等,需分析物体速度关系,根据第一讲考点四相关知识,对速度进行分解, 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，轻质动滑轮下方悬挂重物A。轻绳一端固定在天花板上，另一端绕过两滑轮与重物B相连，悬挂滑轮的轻绳均竖直。已知A、B的质量均为m、摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g。由静止释放A、B，当B的位移为h时，则B机械能的减少量为（　　） A．mgh B．mgh C．mgh D．mgh 【答案】C 【解析】解：对重物A和B组成的系统进行运动学与能量分析。设重物B下落高度为h，根据滑轮绳长约束关系，重物A上升高度为，且速度关系满足vB＝2vA。系统仅重力做功，机械能守恒，由，将代入得，解得。重物B机械能减少量为，计算得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．如图甲，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，在竖直平面内将质量为m的小球拉到A点，由静止释放小球（摆角很小），OA为不可伸长的细绳长为1.6m。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙。已知θ很小时用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，重力加速度g取10m/s2，小球可视为质点，忽略一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．F2+2F3＝3mg B．AB的弧长与BC的弧长相等 C．t0＝0.3πs D．OP之间的距离为0.8m 【答案】A 【解析】解：C、线圈在B点受到的拉力F与重力mg的合力提供向心力，设小球经过B点的速度为v1，则有，解得：。由于BC段摆长较小，故经过B点向C运动时绳子的拉力较大，因此0～t0对应摆球在CB间摆动，t0～3t0对应摆球在BA间摆动。当摆球在BA间摆动时，周期，解得：t0＝0.2πs。故C错误； A、当摆球在BA间摆动时，设摆角为α，则F3＝mgcosα，由机械能守恒及向心力公式，解得：F2+2F3＝3mg。故A正确； D、在BC间摆动时，周期，解得：。故D错误； B、设右侧最大摆角为α，左侧为β，由得4cosα﹣cosβ＝3，结合小角度近似，解得：。因α、β较小，有，故，根据弧长x＝θr可知AB与BC弧长比为2：1。故B错误； 故选：A。 3．如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：从初态到末态，根据系统机械能守恒，可得 由沿杆方向速度相等可得 vPcosθ＝vQcosθ（θ为末态时轻杆AB与水平方向间的夹角） 解得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，B球距地面高度为h，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，A球质量为m，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前瞬间的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B球落地时的速度vB B．A球的加速度大小为2g C．绳对B球做的功为﹣mgh D．A球机械能的增加量等于3mgh 【答案】A 【解析】解：B．对AB整体受力分析可知3mg﹣mg＝4ma，解得AB球的加速度大小均为a＝0.5g，故B错误； A．B球落地前的速度，解得，故A正确； C．对B球有3mg﹣T＝3ma，解得T＝1.5mg，则绳对B球做的功为WT＝﹣Th＝﹣1.5mgh，故C错误； D．A球机械能的增加量等于细绳拉力做功，即1.5mg，故D错误。 故选：A。 5．如图所示，水平长杆上套一物块Q，轻绳穿过光滑圆环连接物块P、Q。某时刻由静止释放P、Q，释放时左侧轻绳与水平方向的夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．P、Q的速度大小始终相等 B．θ＝90°时，P的速度最大 C．θ＝90°时，Q的速度最小 D．θ向90°增大的过程中，P的机械能一直减小 【答案】D 【解析】解：A、由图可知，P、Q沿绳方向的速度大小始终相等，vp＝vQcosθ，故P、Q速度大小不始终相等，故A错误； BC、根据题意可知，当θ＝90°时，Q在O点正下方，速度方向水平，绳子与运动方向垂直，Q沿绳方向速度为零，故P的速度为零，根据系统机械能守恒定律，可知Q的速度最大，故BC错误； D、根据题意可知，当θ向90°增大的过程中，P一直向下运动，绳的拉力做负功，故机械能一直减小，故D正确。 故选：D。 6．（多选）如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 【答案】BC 【解析】解：AB、设轻绳AO与竖直方向的夹角为θ，将小环A的速度正交分解，结合关联速度可得vAcosθ＝vB。最初小环A与重物B的速度均为零，当小环A运动至N点时θ＝90°，故此时重物B的速度也为零，因此重物B先加速下降后减速下降，其状态先失重后超重，故A错误，B正确； D、在△NAO 中，设绳子与竖直杆之间的夹角为 θ＝∠NAO。由几何关系可知，vB＝vAcosθ。当 θ＝60° 时，代入三角函数值可得 vB＝vA•cos60°，即，整理得 vA＝2vB。故D错误； C、小环A从M位置运动到N位置的过程中，小环A与重物B组成的系统机械能守恒，有，解得小环A运动到N位置时的动能，故C正确。 故选：BC。 7．（多选）如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能增加 B．轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 C．轻绳对小球A做的功为 D．物块B的机械能增加了 【答案】ABC 【解析】解：A．如图 根据几何关系可知，当在轻杆转过30°角的过程中，此时细绳与水平方向夹角也为30°角，所以物块B的重力势能增加 故A正确； B．轻杆转过30°角时，将小球A的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则 所以轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 故B正确； CD．对整个系统，根据机械能守恒定律 解得 物块B的机械能增加了 所以细绳对B做功为WB＝ΔE 细绳对系统不做功，则细绳对A做功为 故C正确，D错误。 故选：ABC。 课时精练 1．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接质量为m的小球（视为质点），另一端固定在O点，先把小球移到与O点等高的A点由静止释放（弹簧处于原长），然后小球运动到O点的正下方B点，B点为小球运动的最低点。已知AB两点间的高度差为h，重力加速度为g。小球从A到B的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球机械能的减小量大于弹簧弹性势能的增加量 B．小球所受弹簧弹力的冲量方向水平向左 C．若弹簧弹性势能增加量为ΔEp，则小球在B点的动能为ΔEp﹣mgh D．若弹簧的原长为L，则小球在B点时的加速度大小为g 【答案】D 【解析】解：A、在小球由A运动至B的过程中，小球与弹簧组成的系统仅受重力和弹力作用，系统机械能守恒。小球机械能减少量等于弹簧弹性势能增加量，二者数值相等，故A错误； B、由动量定理可知，合外力冲量等于动量变化量。小球在A点速度为零，在B点竖直分速度为零。若B点速度为零，则合冲量为零，弹力冲量与重力冲量大小相等方向相反，方向竖直向上；若B点存在水平向左速度，合冲量方向向左，因重力冲量竖直向下，弹力冲量需有向上分量以平衡重力，其方向不可能为水平向左，故B错误； C、根据机械能守恒定律，初态总能量mgh等于末态总能量ΔEp+EkB，解得EkB＝mgh﹣ΔEp。选项表达式符号错误，故C错误； D、在B点弹簧伸长量Δx＝h﹣L，弹力F＝k（h﹣L）方向竖直向上，重力mg方向竖直向下。由牛顿第二定律（取向上为正方向）得F﹣mg＝ma，解得加速度大小，故D正确。 故选：D。 2．2025年2月27日至3月10日，第十二届残运会高山滑雪比赛在新疆乌鲁木齐丝绸之路国际滑雪场举行。如图所示为一简化后的滑雪的雪道模型示意图，竖直平面内半径R＝5m的光滑四分之一圆弧轨道与水平雪道相切于B点。质量m＝60kg的运动员由A点静止下滑，最后静止于水平雪道上的C点。已知运动员与地面BC间的动摩擦因数μ＝0.25。运动员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为g＝10m/s2，则运动员在B点时所受圆弧轨道的支持力大小FN和B、C两点间的距离x分别为（　　） A．FN＝1800N；x＝20m B．FN＝1800N；x＝40m C．FN＝3600N；x＝20m D．FN＝3600N；x＝40m 【答案】A 【解析】解：运动员从A到B过程，由机械能守恒定律得，解得：vB＝10m/s。 运动员在B点时，根据牛顿第二定律得，解得：FN＝1800N。 运动员由B点运动到C点过程中，由动能定理得，解得：x＝20m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台上静止自由下落，不计空气阻力，则游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．橡皮绳的弹性势能减小 B．游客的机械能保持不变 C．游客的动能从橡皮绳绷紧时开始减小 D．橡皮绳弹性势能与游客的动能之和增加 【答案】D 【解析】解：A、安全绳绷紧前，弹性势能不变；绳绷紧后，随着伸长量的增大，弹性势能增大，故A错误； B、绳绷紧前，只有重力做功，游客的机械能保持不变；橡皮绳绷紧后，弹力对游客做负功，游客的机械能（动能+重力势能）减少，减少的机械能转化为橡皮绳的弹性势能，故B错误； C、绳绷紧后，游客受到重力和绳的拉力两个力作用，绳的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力先向下后向上，先加速运动后做减速运动，动能先增大后减小，故C错误； D、游客的重力势能转化为绳的弹性势能与游客的动能，从跳台到最低点重力势能的减少量等于弹性势能与动能之和的增加量，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意分析可知，设物块在B点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有 从A到B过程，根据能量守恒 解得，故C正确，ABD错误； 故选：C。 5．如图，水平传送带以恒定速度v顺时针转动，传送带右端上方的挡板上固定着一轻弹簧。t将质量为m的小物块P轻放在传送带左端，P与传送带之间的动摩擦因数为μ，在接触弹簧前速度已达到v，P与弹簧接触后继续运动，弹簧的最大形变量为d，设P与传送带之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P从接触弹簧到第一次运动到最右端过程中（　　） A．传送带多消耗的电能为小于2μmgd B．摩擦力对P先做正功再做负功 C．P的速度不断减小 D．P的加速度逐渐增大 【答案】A 【解析】解：A、对传送带进行分析，设物块P从接触弹簧到第一次运动至最右端所用时间为t，传送带位移为x1＝vt。物块先匀速后做加速度增大的减速运动，故有d，即x1＜2d。初始阶段弹簧弹力小于最大静摩擦力，物块保持匀速运动；当弹力等于最大静摩擦力后开始减速，因此传送带平均摩擦力μmg。由功能关系得传送带多消耗电能2μmgd，故A正确； B、该过程中物块始终受向右的摩擦力，摩擦力一直做正功，故B错误； C、物块接触弹簧后先保持匀速运动，弹力等于最大静摩擦力时才开始减速，故C错误； D、物块初始加速度为零，弹力等于最大静摩擦力后做加速度增大的减速运动，故D错误。 故选：A。 6．如图1所示，倾斜传送带常用于飞机上行李箱的搬运工作。一倾角为θ＝37°的传送带保持0.8m/s的恒定速率向上运行，工作人员以相同时间间隔将行李箱无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图2所示，A、B、C是传送带上3个进入货舱前匀速运动的行李箱，其中A与B间的距离小于B与C间的距离，行李箱A的质量为20kg，A与传送带间的动摩擦因数为0.8，传送带的长度为10m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．与传送带间的动摩擦因数相同 B．行李箱A在传送带上留下的划痕长度为0.8m C．行李箱A从传送带底端运动至顶端的过程，摩擦力对行李箱A做的功为102.4J D．由于搬运A，驱动传送带的电机额外消耗的电能为1206.4J 【答案】B 【解析】解：A．根据题意可知，A与B距离小于B与C间的距离，所以动摩擦因数不相等，故A错误； B．对行李箱A进行受力分析可知： a＝μgcosθ﹣gsinθ 解得 a＝0.4m/s2 A加速阶段的位移 解得 x＝0.8m 加速时间 解得 t＝2s 这段时间内，传送带的位移 x'＝vt 解得 x'＝1.6m 相对位移 Δx＝x'﹣x 解得 Δx＝0.8m 划痕长度为0.8m，故B正确； C．摩擦力对行李箱A做功等于行李箱A机械能的增加量 解得 W＝1206.4J 故C错误； D．由于搬运A，电机多做的功等于行李箱A的机械能增加量和A与传送带间的摩擦生热，故D错误。 故选：B。 7．如图所示，火车以速率v1匀速向前行驶，车厢内甲将物体从距车厢地面高h处相对自身以速率v2竖直向上抛出，经时间t，物体落到车厢地面。物体运动过程中，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．物体抛出时的速度大小为v1+v2 B．铁道边静止的乙观察到物体做匀变速直线运动 C．物体从抛出到落地过程机械能守恒 D．火车速率v1越大，则时间t越大 【答案】C 【解析】解：A、物体抛出时，相对于地面的速度是水平分速度v1和竖直分速度v2的合速度。根据矢量合成，合速度大小为v，故A错误。 B、以地面为参考系，物体的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是匀变速直线运动。合运动的加速度为g，但初速度方向与加速度方向不在同一直线，因此物体做匀变速曲线运动，而非直线运动，故B错误。 C、物体从抛出到落地运动过程中，只有重力做功，满足机械能守恒条件，因此机械能守恒，故C正确。 D、以火车为参考系，物体竖直方向的运动是“竖直上抛+自由下落”，物体下落的时间由竖直高度决定与水平方向的速度无关，故D错误。 故选：C。 8．如图所示，水平地面上固定一倾角为θ且足够长的光滑斜面，斜面底部固定安装一轻弹簧，弹簧上端拴接一小滑块a，小滑块a处于静止状态。另有一质量为m的小滑块b，从斜面上A处由静止开始下滑，滑块b与滑块a碰撞后粘连在一起向下运动。已知弹簧的形变量始终在弹性限度内，弹簧形变量为x时，弹性势能Ep。如果以位置A为坐标原点，沿斜面向下为x的正方向建立坐标系，则滑块b的动能与位移x的关系图像如图乙所示。不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．滑块b位移为x2时，弹簧的弹性势能最大 B．滑块a的质量为m C．弹簧的劲度系数为k D．由滑块a、滑块b和弹簧组成的系统，从位置A到弹性势能最大的过程中，系统的机械能守恒 【答案】B 【解析】解：A、滑块b位移为x2时动能最大，此时合力为零，处于平衡位置；弹簧弹性势能最大时形变量最大，对应滑块速度为零的x3位置，故A错误； B、碰撞前滑块b动能，碰撞后动能，解得：。由动量守恒mv0＝（m+ma）v，解得：ma＝m，故B正确； C、x1处满足kΔx1＝mgsinθ，x2处满足kΔx2＝2mgsinθ。联立得k（x2﹣x1）＝mgsinθ，结合Ek0＝mgsinθ•x1得，故C错误； D、碰撞过程存在机械能损失，系统机械能不守恒，故D错误。 故选：B。 9．（多选）如图所示，箱子悬挂在水平地面正上方h处，小球通过轻弹簧连接在箱子顶部中点。现将箱子和小球由静止释放，箱子落地瞬间速度减为零，此后整个过程小球未碰到箱底，箱子对地面压力的最小值恰好为零。已知弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧弹性势能Epkx2，x为弹簧的形变量，箱子质量为M，小球质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．释放瞬间，箱子加速度大小为g B．箱子落地后对地面压力的最大值为2（M+m）g C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．整个装置损失的机械能为（M+m）gh 【答案】ABC 【解析】解：A、在释放瞬间，箱子与小球整体仅受重力作用，系统处于自由落体状态。根据牛顿第二定律，整体的加速度大小为g，故箱子的加速度大小为g，故A正确； B、箱子落地后，小球以后的运动可视为简谐运动。设小球在平衡位置时弹簧的伸长量为x0，由受力平衡得kx0＝mg。当小球运动到最高点时，箱子对地面的压力恰好为零，说明弹簧对箱子有向上的弹力且大小为Mg，此时弹簧处于伸长状态，伸长量满足kx1＝Mg。小球振动的振幅A＝x0+x1，解得：。根据简谐运动的对称性，小球运动到最低点时，弹簧的伸长量最大，此时x2＝x0+A，解得：。地面受到的最大压力Nmax＝Mg+kx2，代入数据解得Nmax＝2（M+m）g，故B正确； C、小球在振动过程中，经过平衡位置时速度最大。根据简谐运动最大速度公式vmax＝Aω，其中角频率，代入振幅A的表达式解得，化简得，故C正确； D、整个装置损失的机械能等于箱子落地瞬间损耗的动能。设落地瞬间速度为v，根据v2＝2gh可知。由于落地后小球做振幅为A的简谐运动，根据能量守恒有，代入A和x0解得，则损失的机械能，该表达式与选项中给出的函数形式不符，故D错误。 故选：ABC。 10．（多选）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．两链条在触地之前做加速度大小不变的加速运动 B．两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动 C．甲图中链条触地瞬间的速度大小为 D．乙图中链条触地瞬间的速度大小为 【答案】BD 【解析】解：AB、设链条总长度为3l。根据分析可知，平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，根据牛顿第二定律可知，两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动，故A错误，B正确； C、甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，设链条触地瞬间的速度大小为v1，根据机械能守恒定律得 解得，故C错误； D、乙图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，设链条触地瞬间的速度大小为v2，根据机械能守恒定律得 解得，故D正确。 故选：BD。 11．（多选）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达半圆形轨道最高点C。下列说法正确的是（　　） A．物体在C点的速度不为零 B．物体在C点所受合力为零 C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 【答案】AC 【解析】解：ABC.小物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为r，在C点是速度大小为v，由牛顿第定律得 ，即a＝g，物体在C点的速度，故B错误，AC正确； D.由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体离开弹簧后的在水平面上的动能，由水平轨道向圆轨道的运动过程中满足机械能守恒，所以弹性势能等于小物体在C点时的动能和重力势能之和，故D错误。 故选：AC。 12．如图甲所示，一个质量为M的木板静止在光滑的水平桌面上，用劲度系数为k的轻弹簧将板连在竖直墙上，开始时弹簧处于原长，一质量为m的物块（可视为质点）从木板左端以初速度v0滑上长木板，最终恰好停在长木板的右端。通过传感器、数据采集器、计算机绘制了物块和木板的v﹣t图像，如图乙所示，其中A为物块的v﹣t图线，B为木板的v﹣t图线，物块与木板间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g。根据题目和图中所给的各已知条件，求： （1）物块与木板间的动摩擦因数μ； （2）木板的长度L； （3）从开始到，系统产生的热量Q； （4）若物块从木板左端以更大的初速度v1滑上长木板，则初速度v1取何值时，才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能。 【答案】（1）物块与木板间的动摩擦因数μ为； （2）木板的长度L为； （3）从开始到，系统产生的热量Q为； （4）若物块从木板左端以更大的初速度v1滑上长木板，则初速度v1取时，才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能。 【解析】解：（1）由图像可知物块做匀减速运动，t＝T时停止，所以 根据牛顿第二定律，有μmg＝ma 代入数据得 （2）物块以初速度v0滑上长木板，最终恰好停在长木板的右端，则板长 （3）当时木板速度达到最大，加速度为零，有kx＝μmg 得 从开始到，木块的位移 所以系统产生的热量 （4）当时物块刚好脱离木板，此时木板相对地面向右运动的位移最大，摩擦力对木板做的正功最大，木板与弹簧构成的系统获得最大的机械能，木块的位移 木板的位移 物块脱离木板，有s1﹣s2＝L 代入数据得 答：（1）物块与木板间的动摩擦因数μ为； （2）木板的长度L为； （3）从开始到，系统产生的热量Q为； （4）若物块从木板左端以更大的初速度v1滑上长木板，则初速度v1取时，才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能。 13．一游戏装置由倾角为θ＝37°直轨道AB、半径为R圆心在O点的竖直螺旋圆轨道、水平轨道BC、CE构成，其竖直截面如图所示，C是圆轨道与水平轨道的切点，B、C、D、E处于同一水平面，各连接处平滑过渡。在D点有一质量为m2的物块与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的另一端E连在竖直墙壁上，弹簧处于原长。G为圆轨道上的一点，OG连线与OC夹角α＝60°。开始游戏时从斜面上A点静止释放质量为m1的物块，物块m1与斜面AB间动摩擦因数为μ1，物块m1、m2与轨道DE的动摩擦因数均为μ2，其余接触面均光滑。已知R＝0.5m，m1＝0.2kg，m2＝0.3kg，μ1＝0.125，，两物块均可视为质点，不计空气阻力，简谐运动的周期公式，弹簧弹性势能表达式，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）若AB长L＝2.5m，求从A运动到B的时间； （2）若物块m1从斜面下滑后恰好能过圆最高点H，求过G点时轨道对物块的作用力大小FN； （3）若满足（2）中的条件，物块m1与m2碰撞粘在一起（碰撞时间极短），向右压缩弹簧到最短（弹簧始终在弹性限度内）。 ①求此过程中摩擦力做的功； ②求从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间。（结果可保留根式） 【答案】（1）从A运动到B的时间为1s。 （2）过G点时轨道对物块的作用力大小为9N。 （3）①此过程中摩擦力做的功为。 ②从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间为。 【解析】解：（1）在A﹣B过程中，根据牛顿第二定律有m1gsinθ﹣μ1m1gcosθ＝m1a，结合运动学规律，联立解得t＝1s。 （2）恰好通过最高点H时，根据牛顿第二定律有。 由G到H过程，根据动能定理得。 在G点由牛顿第二定律得，联立解得FN＝9N。 （3）①由C到H点，根据动能定理得，解得vC＝5m/s。 碰撞过程动量守恒，有m1vC＝（m1+m2）v，解得碰后共同速度v＝2m/s。 设碰后总质量m＝m1+m2＝0.5kg，从碰后到速度为零，根据能量守恒得，解得xm＝0.2m。 因此摩擦力做功。 ②物体向右运动时受力F＝kx+μ2mg，可视为简谐运动的一部分，由kA＝kxm+μ2mg（A为振幅），解得A＝0.4m。 由于，故从D点到最大位移的时间。 答：（1）从A运动到B的时间为1s。 （2）过G点时轨道对物块的作用力大小为9N。 （3）①此过程中摩擦力做的功为。 ②从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间为。 14．如图所示，动摩擦因数为μ的粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝2kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去力F。已知小物块到达D点时与轨道之间作用力为80N，AB＝9m，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求： （1）小物块到达B点时速度的大小； （2）摩擦因数μ的大小； （3）小物块从离开D点到落到水平地面上需要的时间。 【答案】（1）小物块到达B点时速度的大小为6m/s。 （2）摩擦因数μ的大小为0.25。 （3）小物块从离开D点到落到水平地面上需要的时间为0.4s。 【解析】解：（1）小物块运动至D点，由牛顿第二定律可得，解得：。 从B点到D点，根据动能定理有，解得：vB＝6m/s。 （2）小物块自A点运动至B点，应用动能定理可得，解得：μ＝0.25。 （3）小物块离开D点后做平抛运动，在竖直方向满足，解得：t＝0.4s。 答：（1）小物块到达B点时速度的大小为6m/s。 （2）摩擦因数μ的大小为0.25。 （3）小物块从离开D点到落到水平地面上需要的时间为0.4s。 15．在仓库卸货时常因抛掷而造成货物损坏，为解决这个问题，某同学设计了如图所示的缓冲转运装置，装置A紧靠仓库，转运车B紧靠A，A的上表面由光滑曲面OC段和粗糙水平面OD段组成，B上表面粗糙，右侧装有挡板，卸货时，可视为质点的货物由OC段上某点静止释放，已知A、B质量均为M＝80kg，A、B水平上表面等高且长度均为L＝5m，OC高度差H＝5m，A下表面与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.2，不计B与地面间的摩擦，货物与A、B水平上表面的动摩擦因数均为μ2＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2。 （1）要使货物在装置A上运动时A保持静止，货物质量m0应满足什么条件？ （2）若货物质量m＝20kg，为使货物能停在转运车B上且不与挡板相碰，则该货物释放点距OD的高度h应满足什么条件？ 【答案】（1）要使货物在装置A上运动时A保持静止，货物质量m0应满足m0≤80kg； （2）若货物质量m＝20kg，为使货物能停在转运车B上且不与挡板相碰，则该货物释放点距OD的高度h应满足2m＜h＜4.5m。 【解析】解：（1）货物在CO段下滑时，对A施加斜向左下的推力，由于靠着仓库，这一段A必然静止，货物滑到OD段时，对A施加向右的滑动摩擦力， 大小为f＝μ2m0g A与地面的最大静摩擦力fm＝μ1（m0+M）g，A保持静止，需f≤fm 解得m0≤80kg （2）m＝20kg＜80kg说明货物滑上B前，A 静止不动货物能滑上B，根据能量关系，有 mgh＞μ2mgL 解得 h＞2m① 设货物滑上B时的速度为v，根据动能定理 不计B与地面间的摩擦，最终货物与B共速，以v的方向为正方向，根据动量守恒 mv＝（M+m）v共 设货物与B相对路程为Δx，根据能量守恒，有 货物不与挡板相碰，说明Δx＜L 代入数据联立解得h＜4.5m② 须同时满足①②，因此h满足的范围是2m＜h＜4.5m 答：（1）要使货物在装置A上运动时A保持静止，货物质量m0应满足m0≤80kg； （2）若货物质量m＝20kg，为使货物能停在转运车B上且不与挡板相碰，则该货物释放点距OD的高度h应满足2m＜h＜4.5m。 16．某研究小组设计了一种测量弹簧玩具枪射出弹丸速度的装置，其简化原理如图所示。水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑相接，被压缩的轻弹簧将弹丸由静止弹出，弹丸脱离弹簧后向右运动，冲上半圆形轨道并沿轨道运动，到达最高点C后沿水平方向飞出，最后落到AB面的D点（D点未画出）。已知半圆形轨道的半径为R，重力加速度为g。不计弹丸在整个运动过程中的摩擦力和空气阻力。 （1）弹丸沿半圆形轨道从B点运动到C点的过程中，机械能是否守恒？简要说明理由。 （2）某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点C，求此时弹丸的速度大小vC。 （3）某同学通过测量D点到B点的距离x，可得出弹丸被射出时的速度大小v，请推导出二者之间的关系。 【答案】（1）弹丸沿半圆形轨道从B点运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒； （2）某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点C，此时弹丸的速度大小为； （3）D点到B点的距离x和弹丸被射出时的速度大小满足的关系为x＝2v（v）。 【解析】解：（1）不计弹丸在整个运动过程中的摩擦力和空气阻力，弹丸沿半圆形轨道从B点运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒； （2）某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点C，根据牛顿第二定律可得：mg＝m 解得弹丸的速度大小：vC； （3）弹丸离开C点后做平抛运动，根据平抛运动的规律可得：2R 水平方向，有：x＝vt 联立解得：x＝2v（v）。 答：（1）弹丸沿半圆形轨道从B点运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒； （2）某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点C，此时弹丸的速度大小为； （3）D点到B点的距离x和弹丸被射出时的速度大小满足的关系为x＝2v（v）。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.1 机械能守恒定律 【基础回顾】 1．机械能 重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 2．动能与势能的相互转化 通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 3．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 (2)表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 (3)条件：只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。 4．对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。 5．判断机械能守恒的方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) (3)机械能的定义法 机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。 【必备知识】 1、 机械能是否守恒的三种判断方法 ( 1 )利用机械能的定义判断:若物体动能、势能之和不变,则机械能守恒。 (2)利用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功(或做功代数和为 0 ), 则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断:若物体或系统与外界没有能量交换,物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化, 则机械能守恒。 二、轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒 两点提醒 （1）对同一弹簧，无论弹簧伸长还是压缩，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 【巩固强化】 题型1 判断机械能是否守恒 【例题精讲】 1．竖直放置的轻弹簧下端固定在地上，上端与钢板连接，钢板处于静止状态，如图所示。一物块从钢板正上方0.2m处的P点自由落下，打在钢板上（碰撞时间极短）并与钢板一起向下运动0.1m后到达最低点Q。已知物块和钢板的质量都为1kg，重力加速度大小为g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．物块与钢板碰后一起向下做减速运动 B．物块与钢板碰后一起运动的加速度一直增大 C．从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为3J D．从P到Q的过程中，物块、钢板、弹簧组成的系统机械能守恒 2．如图所示，物块与圆环通过光滑轻质定滑轮用细绳连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的细绳水平，竖直杆与滑轮间的距离为L。某时刻圆环由静止释放，圆环下落到B点时，速度达到最大，此时细绳与竖直杆成37°。已知圆环的质量为m，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力不计，下列判断正确的是（　　） A．物块的质量为 B．当圆环到达B位置时，物块所受合力为0 C．圆环下落过程中，圆环的机械能先增大后减小 D．圆环下落过程中，物块的机械能一直增大 3．如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m（M＞m）的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（　　） A．两滑块组成系统的机械能守恒 B．重力对M做的功等于M动能的增加 C．轻绳对m做的功大于m机械能的增加 D．两滑块组成系统的机械能损失的数值等于摩擦产生的热量的数值 4．宁波中心大厦是浙江省第一高楼（如图），总建筑距地面高度409m，地上80层，大厦内装有最大速度可达10m/s的超高速电梯。某次一乘客从3层搭乘该电梯直达63层仅需40s，则（　　） A．该电梯从地面到顶层的最短运行时间为40.9s B．该乘客全程的平均速率约为5.0m/s C．电梯上行过程，电梯对该乘客始终做正功 D．电梯匀速上行过程，该乘客的机械能保持不变 5．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发洲际弹道导弹，准确落入预定海域。该导弹射程约12000千米。下列说法正确的是（　　） A．射程12000千米指的是导弹的位移大小 B．研究导弹在空中的运动轨迹时，导弹可以看成质点 C．导弹上升过程中机械能守恒 D．导弹全程处于超重状态 6．（多选）风洞是进行空气动力学试验的最常用的工具，广泛应用于现代飞机、导弹和火箭的研发和生产中。在风洞中将一质量为m的飞行器（可视为质点）由静止释放，假设飞行器所受风洞阻力方向竖直向上，风洞阻力大小f与飞行器下降速率v的关系为f＝kv，测出飞行器由静止下降h后做匀速直线运动，重力加速度大小为g。关于飞行器下降h的过程下列说法正确的是（　　） A．飞行器的最大速率为v B．风洞阻力对飞行器做功为mgh C．飞行器运动过程中机械能守恒 D．飞行器运动时间为t 7．（多选）如图，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，a、b用刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，轻杆长为l，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，直到a着地的过程中，则（　　） A．小球a、b和杆组成的系统机械能守恒 B．轻杆跟墙壁夹角为30°时小球a的速度大小为 C．b的速度最大时，a离地面的高度为l D．a开始下滑至着地过程中，轻杆对b做功为mgl 题型2 单体机械能守恒 例题精讲】 1．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动，另一同样的小球乙在油中由静止开始下落。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。设地面处重力势能为零，在这两种情况下，下列说法正确的是（　　） A．甲球的重力势能变化量大 B．乙球的末机械能大 C．甲球的动能变化快 D．乙球重力势能变化快 2．某款游乐装置的模型如图所示，半径为R的光滑金属圆环固定在竖直平面内，一套在圆环顶端的小环由静止释放后，沿圆环轨道自由下滑。已知重力加速度大小为g，小环可看作质点，则下滑过程中小环的线速度大小v与其到圆环顶端距离L的关系为（　　） A．v＝L B．v＝R C．v D．v＝2 3．如图所示，运动员（视为质点）从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时水平飞出，落到C点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在运动员从A点运动到B点的过程中，运动员的动能一直增大 B．在运动员从A点运动到B点的过程中，运动员的机械能增大 C．离开B点后，运动员在空中运动的过程中受到的重力的功率增大 D．落到C点时，运动员的速度方向可能竖直向下 4．如图所示质量为0.5kg的石块从10m高山崖上以30°角斜向上方抛出，初速度v0的大小为5m/s。不计空气阻力，g取10m/s2。以下说法正确的是（　　） A．石块落地时的速度大小为20m/s B．只增大石块的初速度，石块落地时的动能不变 C．只改变石块初速度的仰角，石块落地时动量不变 D．只将石块初速度的仰角改为45°，石块落地时的速度大小为15m/s 5．如图所示，球员将质量为m的篮球以斜向上的初速度v0抛出，初速度方向与水平方向的夹角为45°，篮球在空中划出的弧线经过A、B、C三点，A与B在同一条水平线上，C是最高点。C到地面的距离为h，A、B到地面的距离均为，重力加速度为g，空气阻力不计，以地面为零重力势能面，下列判断正确的是（　　） A．篮球在最高点的机械能为mgh B．篮球在最高点的动能为 C．篮球从A运动到B的时间为 D．A、B之间的距离为 6．（多选）如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于半径R），均可视为光滑轨道，在两轨道右端的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，下列说法中正确的是（　　） A．若hA＝hBR，两小球都能沿轨道运动到最高点 B．若hA＝hBR，两小球在轨道上上升的最大高度均为R C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，hA的最小值为R，B小球在hB＞2R的任何高度释放均可 7．（多选）一质量为m的物体竖直向下加速运动，加速度大小为。物体下降h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体的重力势能变化了mgh B．物体的动能变化了 C．物体的机械能增加了 D．物体克服外力做功为 题型3 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 解题要点 1. 常见图例: 2. 四点提醒 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时, 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化, 物体和弹簧组成的系统机械能守恒, 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 (2)对同一弹簧, 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定, 弹簧的伸长量和压缩量相等时, 弹簧的弹性势能相等。 (3)弹簧弹力做功与路径无关,取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 (4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统, 当弹簧形变量最大时, 弹簧两端连接的物体速度相等; 弹簧处于自然长度时, 弹簧弹性势能最小(为零)。 【例题精讲】 1．如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 2．如图所示，光滑斜面固定在水平面上，一轻质弹簧下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块在斜面上A点上方某位置由静止释放，将弹簧上端压缩至最低点B（弹簧在弹性限度内），下列说法正确的是（　　） A．在接触弹簧前的过程中，物块的机械能增大 B．物块从A点运动到B点的过程中，弹簧弹性势能先增大后减小 C．物块能回到刚释放时的位置 D．物块从A点运动到B点的过程中，其动能一直减小 3．如图甲所示，水平面AB与竖直面内的半圆形导轨CDB在B点平滑相接，各处摩擦因数相同，D为半圆形导轨的中点。一质量为m＝1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩到A点后由静止释放，在弹力作用下获得向右的速度后脱离弹簧，从B点进入半圆形导轨，物体沿半圆形导轨从B运动到C过程中速度平方与其上升高度的关系如图乙所示，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．弹簧压缩到A点时弹簧的弹性势能为18J B．物体运动到C点时对半圆形导轨的压力大小为10N C．物体从B运动到C的过程中，合力对物体做的功为10J D．物体从D运动到C的过程中，物体的机械能减少值ΔE＜1J 4．如图所示，角度为60°的“V”字形粗糙杆竖直固定，质量均为m的两个相同小球用一轻弹簧连接套在粗糙杆上等高的位置，两个小球与杆之间的动摩擦因数均为，弹簧在AB位置时处于原长，CD、EF位置与AB位置的竖直高度均为h。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k且弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，两个小球从CD位置由静止同时下滑，下列说法正确的是（　　） A．两个小球在CD位置的加速度大小为 B．两个小球下滑到AB位置时动能达到最大 C．从AB位置下滑到EF位置，两个小球所受的摩擦力先减小后增大 D．从AB位置下滑到EF位置，两个小球克服摩擦力做的功为mgh 5．如图所示，物块静止在水平面上，绕过光滑定滑轮的细线一端连接在物块上，另一端连接轻弹簧，轻弹簧下面吊着小球，滑轮两边的细线竖直，物块及小球均处于静止状态，将小球缓慢向下拉，当物块对地面的压力恰好为零时，由静止释放小球，小球做简谐振动。已知小球上升到最高点时，弹簧恰好处于原长，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．释放小球瞬间，物块的加速度大小为g B．释放小球瞬间，小球的加速度大小为g C．物块的质量是小球的质量的3倍 D．小球向上运动过程中，重力势能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小 6．（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（　　） A．当x＝h+x0时，小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小 B．小球到达最低点的坐标大于h+2x0 C．小球受到的弹力最大值大于2mg D．小球动能的最大值为mghmgx0 7．（多选）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端垂直固定一挡板。初始时刻质量均为m的物块A、B、C按照图示方式静置于斜面上，C紧靠挡板放置，B、C之间通过一轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为k。现对A施加一沿斜面向下的恒力F，当A、B被压缩到最低点时撤去F，一段时间后当物块A运动到最高点时立即将其撤走，物块B运动到最高点时物块C恰好离开挡板。已知弹簧的弹性势能表达式为，x为弹簧的形变量，重力加速度大小为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时刻弹簧的形变量为 B．物块B运动到最高点时加速度大小为2gsinθ C．物块A与物块B分离瞬间两者的速度大小为 D．恒力F的大小为 题型4轻杆连接的物体系统机械能守恒 一．角速度相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 )转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足: 。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。: (4)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (5)由 知, 与 成正比。 二．角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景(关联速度情景) (1)两物体速度的关联实质:沿杆方向的分速度大小相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1．如图所示，滑块A、B的质量均为m、A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当A到达B所在的水平面时，B速度为零 B．B到达最右端时，A的速度大于 C．当A到达B所在的水平面时，A的速度为 D．B的最大速度为 2．如图1所示，西班牙双人斗牛比赛是一项冒险的游戏，两人坐在跷跷板上，一人通过轻杆将另一人抬高从而躲避公牛的攻击。为研究方便，可将两人和轻杆组成的系统简化成图2所示的球杆模型，质量为1.2m的小球A和质量为m的小球B固定在轻杆的两端，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动，两球与轴O间的距离均为l，不计空气阻力，重力加速度为g。将杆由水平位置静止释放，杆转过θ角度的过程中（此时两人均未落地），以下说法正确的是（　　） A．小球A的机械能增加 B．小球B的机械能减少 C．系统减少的重力势能为 D．小球A的末态动能为 3．如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为60°，杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t2时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t1时刻轻杆与水平方向夹角为30° B．t2时刻甲球的加速度大于g C．t3时刻甲球的速率为 D．0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 5．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球转动到最低点时，A球的速度最大 B．A球的最大速度为 C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大 D．A球的最大速度为 6．（多选）如图所示，质量均为m＝1kg小球a、b用长度为l＝2m的刚性轻杆连接，a、b竖直紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，开始a、b均处于静止状态。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，直到a落地的过程，已知重力加速度大小为g＝10m/s2，a、b均可视为质点，下列说法中正确的是（　　） A．小球a、b杆组成的系统动量守恒 B．轻杆跟墙壁夹角为30°时小球a的速度大小为 C．a刚与地面接触瞬间的速度为 D．b的速度最大时，a离地面的高度为 7．（多选）如图所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处。现在杆中点处施加一大小始终为（g为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力F，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力F所做的功为mgL B．拉力F撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为θ时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为sinθ：1 D．当轻杆与水平面夹角为θ时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 题型5轻绳连接的物体系统机械能守恒 一．速度大小相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 三点提醒 (1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 (3)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。 二．速度大小不等 解题要点:因两物体速度大小不相等,需分析物体速度关系,根据第一讲考点四相关知识,对速度进行分解, 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，轻质动滑轮下方悬挂重物A。轻绳一端固定在天花板上，另一端绕过两滑轮与重物B相连，悬挂滑轮的轻绳均竖直。已知A、B的质量均为m、摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g。由静止释放A、B，当B的位移为h时，则B机械能的减少量为（　　） A．mgh B．mgh C．mgh D．mgh 2．如图甲，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，在竖直平面内将质量为m的小球拉到A点，由静止释放小球（摆角很小），OA为不可伸长的细绳长为1.6m。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙。已知θ很小时用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，重力加速度g取10m/s2，小球可视为质点，忽略一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．F2+2F3＝3mg B．AB的弧长与BC的弧长相等 C．t0＝0.3πs D．OP之间的距离为0.8m 3．如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，B球距地面高度为h，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，A球质量为m，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前瞬间的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B球落地时的速度vB B．A球的加速度大小为2g C．绳对B球做的功为﹣mgh D．A球机械能的增加量等于3mgh 5．如图所示，水平长杆上套一物块Q，轻绳穿过光滑圆环连接物块P、Q。某时刻由静止释放P、Q，释放时左侧轻绳与水平方向的夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．P、Q的速度大小始终相等 B．θ＝90°时，P的速度最大 C．θ＝90°时，Q的速度最小 D．θ向90°增大的过程中，P的机械能一直减小 6．（多选）如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 7．（多选）如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能增加 B．轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 C．轻绳对小球A做的功为 D．物块B的机械能增加了 课时精练 1．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接质量为m的小球（视为质点），另一端固定在O点，先把小球移到与O点等高的A点由静止释放（弹簧处于原长），然后小球运动到O点的正下方B点，B点为小球运动的最低点。已知AB两点间的高度差为h，重力加速度为g。小球从A到B的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球机械能的减小量大于弹簧弹性势能的增加量 B．小球所受弹簧弹力的冲量方向水平向左 C．若弹簧弹性势能增加量为ΔEp，则小球在B点的动能为ΔEp﹣mgh D．若弹簧的原长为L，则小球在B点时的加速度大小为g 2．2025年2月27日至3月10日，第十二届残运会高山滑雪比赛在新疆乌鲁木齐丝绸之路国际滑雪场举行。如图所示为一简化后的滑雪的雪道模型示意图，竖直平面内半径R＝5m的光滑四分之一圆弧轨道与水平雪道相切于B点。质量m＝60kg的运动员由A点静止下滑，最后静止于水平雪道上的C点。已知运动员与地面BC间的动摩擦因数μ＝0.25。运动员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为g＝10m/s2，则运动员在B点时所受圆弧轨道的支持力大小FN和B、C两点间的距离x分别为（　　） A．FN＝1800N；x＝20m B．FN＝1800N；x＝40m C．FN＝3600N；x＝20m D．FN＝3600N；x＝40m 3．一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台上静止自由下落，不计空气阻力，则游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．橡皮绳的弹性势能减小 B．游客的机械能保持不变 C．游客的动能从橡皮绳绷紧时开始减小 D．橡皮绳弹性势能与游客的动能之和增加 4．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 5．如图，水平传送带以恒定速度v顺时针转动，传送带右端上方的挡板上固定着一轻弹簧。t将质量为m的小物块P轻放在传送带左端，P与传送带之间的动摩擦因数为μ，在接触弹簧前速度已达到v，P与弹簧接触后继续运动，弹簧的最大形变量为d，设P与传送带之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P从接触弹簧到第一次运动到最右端过程中（　　） A．传送带多消耗的电能为小于2μmgd B．摩擦力对P先做正功再做负功 C．P的速度不断减小 D．P的加速度逐渐增大 6．如图1所示，倾斜传送带常用于飞机上行李箱的搬运工作。一倾角为θ＝37°的传送带保持0.8m/s的恒定速率向上运行，工作人员以相同时间间隔将行李箱无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图2所示，A、B、C是传送带上3个进入货舱前匀速运动的行李箱，其中A与B间的距离小于B与C间的距离，行李箱A的质量为20kg，A与传送带间的动摩擦因数为0.8，传送带的长度为10m，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．与传送带间的动摩擦因数相同 B．行李箱A在传送带上留下的划痕长度为0.8m C．行李箱A从传送带底端运动至顶端的过程，摩擦力对行李箱A做的功为102.4J D．由于搬运A，驱动传送带的电机额外消耗的电能为1206.4J 7．如图所示，火车以速率v1匀速向前行驶，车厢内甲将物体从距车厢地面高h处相对自身以速率v2竖直向上抛出，经时间t，物体落到车厢地面。物体运动过程中，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．物体抛出时的速度大小为v1+v2 B．铁道边静止的乙观察到物体做匀变速直线运动 C．物体从抛出到落地过程机械能守恒 D．火车速率v1越大，则时间t越大 8．如图所示，水平地面上固定一倾角为θ且足够长的光滑斜面，斜面底部固定安装一轻弹簧，弹簧上端拴接一小滑块a，小滑块a处于静止状态。另有一质量为m的小滑块b，从斜面上A处由静止开始下滑，滑块b与滑块a碰撞后粘连在一起向下运动。已知弹簧的形变量始终在弹性限度内，弹簧形变量为x时，弹性势能Ep。如果以位置A为坐标原点，沿斜面向下为x的正方向建立坐标系，则滑块b的动能与位移x的关系图像如图乙所示。不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．滑块b位移为x2时，弹簧的弹性势能最大 B．滑块a的质量为m C．弹簧的劲度系数为k D．由滑块a、滑块b和弹簧组成的系统，从位置A到弹性势能最大的过程中，系统的机械能守恒 9．（多选）如图所示，箱子悬挂在水平地面正上方h处，小球通过轻弹簧连接在箱子顶部中点。现将箱子和小球由静止释放，箱子落地瞬间速度减为零，此后整个过程小球未碰到箱底，箱子对地面压力的最小值恰好为零。已知弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧弹性势能Epkx2，x为弹簧的形变量，箱子质量为M，小球质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．释放瞬间，箱子加速度大小为g B．箱子落地后对地面压力的最大值为2（M+m）g C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．整个装置损失的机械能为（M+m）gh 10．（多选）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．两链条在触地之前做加速度大小不变的加速运动 B．两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动 C．甲图中链条触地瞬间的速度大小为 D．乙图中链条触地瞬间的速度大小为 11．（多选）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达半圆形轨道最高点C。下列说法正确的是（　　） A．物体在C点的速度不为零 B．物体在C点所受合力为零 C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 12．如图甲所示，一个质量为M的木板静止在光滑的水平桌面上，用劲度系数为k的轻弹簧将板连在竖直墙上，开始时弹簧处于原长，一质量为m的物块（可视为质点）从木板左端以初速度v0滑上长木板，最终恰好停在长木板的右端。通过传感器、数据采集器、计算机绘制了物块和木板的v﹣t图像，如图乙所示，其中A为物块的v﹣t图线，B为木板的v﹣t图线，物块与木板间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g。根据题目和图中所给的各已知条件，求： （1）物块与木板间的动摩擦因数μ； （2）木板的长度L； （3）从开始到，系统产生的热量Q； （4）若物块从木板左端以更大的初速度v1滑上长木板，则初速度v1取何值时，才能让木板与弹簧组成的系统最终获得最大的机械能。 13．一游戏装置由倾角为θ＝37°直轨道AB、半径为R圆心在O点的竖直螺旋圆轨道、水平轨道BC、CE构成，其竖直截面如图所示，C是圆轨道与水平轨道的切点，B、C、D、E处于同一水平面，各连接处平滑过渡。在D点有一质量为m2的物块与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的另一端E连在竖直墙壁上，弹簧处于原长。G为圆轨道上的一点，OG连线与OC夹角α＝60°。开始游戏时从斜面上A点静止释放质量为m1的物块，物块m1与斜面AB间动摩擦因数为μ1，物块m1、m2与轨道DE的动摩擦因数均为μ2，其余接触面均光滑。已知R＝0.5m，m1＝0.2kg，m2＝0.3kg，μ1＝0.125，，两物块均可视为质点，不计空气阻力，简谐运动的周期公式，弹簧弹性势能表达式，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）若AB长L＝2.5m，求从A运动到B的时间； （2）若物块m1从斜面下滑后恰好能过圆最高点H，求过G点时轨道对物块的作用力大小FN； （3）若满足（2）中的条件，物块m1与m2碰撞粘在一起（碰撞时间极短），向右压缩弹簧到最短（弹簧始终在弹性限度内）。 ①求此过程中摩擦力做的功； ②求从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间。（结果可保留根式） 14．如图所示，动摩擦因数为μ的粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝2kg的小物块在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去力F。已知小物块到达D点时与轨道之间作用力为80N，AB＝9m，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求： （1）小物块到达B点时速度的大小； （2）摩擦因数μ的大小； （3）小物块从离开D点到落到水平地面上需要的时间。 15．在仓库卸货时常因抛掷而造成货物损坏，为解决这个问题，某同学设计了如图所示的缓冲转运装置，装置A紧靠仓库，转运车B紧靠A，A的上表面由光滑曲面OC段和粗糙水平面OD段组成，B上表面粗糙，右侧装有挡板，卸货时，可视为质点的货物由OC段上某点静止释放，已知A、B质量均为M＝80kg，A、B水平上表面等高且长度均为L＝5m，OC高度差H＝5m，A下表面与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.2，不计B与地面间的摩擦，货物与A、B水平上表面的动摩擦因数均为μ2＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2。 （1）要使货物在装置A上运动时A保持静止，货物质量m0应满足什么条件？ （2）若货物质量m＝20kg，为使货物能停在转运车B上且不与挡板相碰，则该货物释放点距OD的高度h应满足什么条件？ 16．某研究小组设计了一种测量弹簧玩具枪射出弹丸速度的装置，其简化原理如图所示。水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑相接，被压缩的轻弹簧将弹丸由静止弹出，弹丸脱离弹簧后向右运动，冲上半圆形轨道并沿轨道运动，到达最高点C后沿水平方向飞出，最后落到AB面的D点（D点未画出）。已知半圆形轨道的半径为R，重力加速度为g。不计弹丸在整个运动过程中的摩擦力和空气阻力。 （1）弹丸沿半圆形轨道从B点运动到C点的过程中，机械能是否守恒？简要说明理由。 （2）某次实验中，弹丸恰好能沿半圆形轨道通过最高点C，求此时弹丸的速度大小vC。 （3）某同学通过测量D点到B点的距离x，可得出弹丸被射出时的速度大小v，请推导出二者之间的关系。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $