精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

重庆市鲁能巴蜀中学校2025－2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查工作需要采用全面调查方式的是（ ） A. 某企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 B. 质检部门对各厂家生产的电磁炉使用寿命的调查 C. 环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查 D. 电视台对正在播出的电视剧收视率的调查 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列数据中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 随着人工智能技术的飞速发展，华兴科技股份有限公司也投入大量资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，则该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为12，点是边的中点，点是边上靠近点的三等分点，连接、分别交对角线于点、，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人，他们分别是秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小明将这五位历史名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，则小明从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物恰好是宋太祖的概率是_____． 12. 若，为两个连续的正整数，且，则________． 13. 如图，，，若，则________． 14. 已知，且，则的值为________． 15. 如图，为的直径，点为上一点，且．直线与相切于点，点在的延长线上，且，连接交于点，连接交于点．若，则的半径为________，线段的长为________． 16. 我们规定：一个各个数位互不相等且均不为0的四位数，若满足，，则称这个四位数为“八面玲珑数”．则最小的“八面玲珑数”为________；一个“八面玲珑数”，调换数字得到新数，记，，若为整数，且满足也为整数，则满足条件的为________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 在学习了角平分线的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了探究与思考．请你完成以下作图和填空： （1）如图，在锐角的边上有一点（不与点重合），过点作的垂线，垂足为点．请你用尺规在射线上截取，过点作，垂足为点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若平分，求证：．请你完成以下证明． 证明：由题意得，， ∴________． 又∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴__________， ∴， ∴． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人・校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分、、、四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 成绩 信息2：八年级、两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 40% 九年级 88 88 35% （1）完成填空：________，________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 临近元旦，某水果店新上架了奇异果和草莓进行销售．已知顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元． （1）求奇异果和草莓每千克的售价各是多少元？ （2）为了吸引顾客，该水果店决定将水果降价销售，其中每千克草莓的降价金额是每千克奇异果降价金额的1.5倍，小明花了175元购买奇异果，300元购买草莓，两种水果一共购买了15千克，求每千克奇异果的降价金额是多少元？ 22. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动，点沿射线运动，点、均以每秒1个单位长度的速度同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动，设点的运动时间为，连接，，设的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）． （2）甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作，交轴于点，作轴于点，点为直线上一动点，轴上有一点，当取最大值时，求点的坐标与的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，点是边上的中点，点是边上一点（不与点、重合），连接、交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，若，过点作交于点，过点作交于点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，点为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，当取得最小值时，连接，取的中点，将绕点顺时针旋转得，连接，，其所在直线交于点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025－2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据三视图的定义，观察图形的主视图逐项判断即可． 【详解】解：该几何体的主视图是， 故选：B． 3. 下列调查工作需要采用全面调查方式的是（ ） A. 某企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 B. 质检部门对各厂家生产的电磁炉使用寿命的调查 C. 环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查 D. 电视台对正在播出的电视剧收视率的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查比较省时省力，但得到的调查结果比较近似，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. 某企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查，要采用全面调查方式，符合题意； B. 质检部门对各厂家生产的电磁炉使用寿命的调查，要采用抽样调查，不符合题意； C. 环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查，要采用抽样调查，不符合题意； D. 电视台对正在播出的电视剧收视率的调查，要采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．结合位似的性质可得△与△的相似比为，进而可得△与△的面积比为． 【详解】解：△与△是以点为位似中心的位似图形， △△，， ，， △△， ， △与△的相似比为， △与△的面积比为． 故选：D． 5. 如图，是的直径，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，掌握圆周角定理是解题关键． 先通过圆周角定理和，求出的度数，再结合，利用平行线的内错角相等，得到的度数． 【详解】解：点为圆心，， ， ， ． 故选：． 6. 下列数据中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法．比较科学记数法表示的数值时，先比较指数部分，指数大的数值更大；若指数相同，再比较系数部分． 【详解】解：∵ 选项A、B、C、D的指数分别为5、4、6、5， ∴ 指数最大为6， ∴ 选项C的数值最大． 故选：C 7. 随着人工智能技术的飞速发展，华兴科技股份有限公司也投入大量资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，则该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2024年投入为1200万元， 2025年投入为万元， 2026年投入为万元， ∴ ， 故选：A 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 由反比例函数解析式得比例系数 ，故函数图象在第二、四象限． 点 和 的横坐标为负，纵坐标为正；点 的横坐标为正，纵坐标为负． 因此 ，且由反比例函数性质，在第二象限内 随 增大而增大，得到，比较得 ． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． ∴ 反比例函数 中 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ． 比较 和 ∶ ∵ ，，且 ， ∴ ，即 ． 综上，． 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为12，点是边的中点，点是边上靠近点的三等分点，连接、分别交对角线于点、，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为12， ∴， ∴， ∵点是边的中点，点是边上靠近点的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．说法①，当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)，分别计算当时满足条件的M值；说法②，时，条件为 （），分别计算当时和当时，M可能的式子即可；说法③，按，2，3，4分类计算即可． 【详解】解：①当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)； 条件简化为 ： 当时， （个）； 当时， （3个）； 当时， （2个）； 当时， （1个）； 总计个，说法①正确． ②时，条件为 （） 当时，M可能为，，，， 当时，M可能为， 求和得， 故说法②正确； ③按，2，3，4分类计算∶ 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为1； 总计个，说法③正确． 综上所述 ，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人，他们分别是秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小明将这五位历史名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，则小明从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物恰好是宋太祖的概率是_____． 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】∵秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，共五位历史名人简介，其中是宋太祖的有1张， ∴小明从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物恰好是宋太祖的概率是； 故答案为． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 12. 若，为两个连续的正整数，且，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，，，若，则________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理可以得出，即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：根据平行线分线段成比例定理可得： ， 即：， 解得， ． 故答案为：20． 14. 已知，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和代数式的求值． 根据已知条件，结合绝对值的性质，通过分类讨论解出x和y 的值，再代入求值． 【详解】解：由 和 ，分两种情况讨论： 若 ，则 ，代入得 ，与 矛盾，故不成立； 若 ，则 ，代入得 ，与 联立，解得 ，； 则 ． 故答案为： 15. 如图，为的直径，点为上一点，且．直线与相切于点，点在的延长线上，且，连接交于点，连接交于点．若，则的半径为________，线段的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设，利用直径所对圆周角是直角和相切的定义，证得，根据勾股定理求出，再利用线段比例即可求解； （2）连接、、、，先证得四边形为正方形，根据勾股定理求得，再证，最后利用线段比例即可求解， 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∵是和的公共角， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 将，，代入， 可得即， 解得， ∵， ∴， ∴的半径； 连接、、、、 则 ∵ ∴ ∵为的直径，且 ∴ ∵直线与相切于点 ∴ ∴ ∴四边形为正方形 ∴ 在中，根据勾股定理得 ∵，， ∴ ∵ ∴即 ∵是和的公共角 ∴ ∴即 ∴ 故答案为；． 16. 我们规定：一个各个数位互不相等且均不为0的四位数，若满足，，则称这个四位数为“八面玲珑数”．则最小的“八面玲珑数”为________；一个“八面玲珑数”，调换数字得到新数，记，，若为整数，且满足也为整数，则满足条件的为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，数的整除，掌握相关知识是解决问题的关键．四位数最小需高位尽可能小，所以千位a取1，得；剩余数字中十位c取2，得，组成，满足所有条件；用 简化为， 由得，找出S所有可能的值，结合条件是倍数筛选S、T组合 ，用条件验证，得唯一解，对应． 【详解】解∶最小“八面玲珑数”： 四位数需满足，且各数位互不相等、均不为0， ∴千位最小取1，则(且均不为0) ， ∵该数各个数位互不相等， ∴不能为1或7，并要满足且，均不为0， ∴则数对只能是或及其倒序， ∴十位c最小取2，则， ∴最小“八面玲珑数”为； 满足条件的M求解： 设 则， 条件1： 为整数， 则 为整数； 条件2：为整数； ∵， ∴，其中，2，3，5，6，7(排除因，因) ， 故S可能值为， 同理T可能值与S相同，但数字不重复． 结合条件2：为整数，得为的倍数， ∵，且在确保数位互不相等的前提下，在所有可能的S与T的组合中，通过检验，仅有和的组合满足“是的倍数”这一条件， ∴与只能取和， 当时，或当时，； 结合条件1：为整数， 当，时，不被7整除 ； 当，时，能被7整除， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，再求和即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． ∴所有整数解的和为． 18. 在学习了角平分线的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了探究与思考．请你完成以下作图和填空： （1）如图，在锐角的边上有一点（不与点重合），过点作的垂线，垂足为点．请你用尺规在射线上截取，过点作，垂足为点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若平分，求证：．请你完成以下证明． 证明：由题意得，， ∴________． 又∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴__________， ∴， ∴． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2），， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作线段，作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据作线段的方法以及过直线外一点作已知直线的垂线的方法即可作图； （2）根据角平分线性质得到，然后证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人・校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分、、、四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 成绩 信息2：八年级、两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 40% 九年级 88 88 35% （1）完成填空：________，________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）88.5，88， 补全条形图如图： （2） 解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下： 两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； （3）估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出等级的人数，补全条形图即可； （2）利用中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，八年级等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：， ∴； 九年级中等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，整式的混合运算，代入求值，零指数幂和负指数幂，掌握相关知识是解决问题的关键．先将前面两部分进行整式的乘法运算，然后合并同类项；分式的部分先计算括号内的减法，再进行分式的除法；最后进行通分化为最简分式；将的值运算结果为3，然后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵ ， 当时， 原式． 21. 临近元旦，某水果店新上架了奇异果和草莓进行销售．已知顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元． （1）求奇异果和草莓每千克的售价各是多少元？ （2）为了吸引顾客，该水果店决定将水果降价销售，其中每千克草莓的降价金额是每千克奇异果降价金额的1.5倍，小明花了175元购买奇异果，300元购买草莓，两种水果一共购买了15千克，求每千克奇异果的降价金额是多少元？ 【答案】（1）奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元； （2）每千克奇异果的降价金额是5元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和二元一次方程组的应用，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元，顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设每千克奇异果的降价金额是元，则每千克草莓的降价金额是元，两种水果一共购买了15千克，据此列出方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：设奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元， 则 解得 答：奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元； 【小问2详解】 设每千克奇异果的降价金额是元，则每千克草莓的降价金额是元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：每千克奇异果的降价金额是5元． 22. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动，点沿射线运动，点、均以每秒1个单位长度的速度同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动，设点的运动时间为，连接，，设的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）；； （2） 解：在平面直角坐标系中画图如下（注意与x轴的交点为空心）： 当时，函数随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查菱形的基本性质，一次函数图象与反比例函数图象问题，能够通过题意得到函数解析式是解题关键； （1）分别考虑当两种情况与的函数关系式；求出的面积与的面积可直接求得与的关系式； （2）画出函数图象，并描述函数性质； （3）根据图象法解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中， ∴， ∴， 当时，在上运动，此时， 此时的面积为：， 当时，在上运动，此时， 此时的面积为：， ∴； ∵点沿射线运动， ∴， ∴的面积为：， 的面积为：， ∴与的面积之比； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，函数的图象在函数图象上方， 故当时，的取值范围为或． 23. 如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）． （2）甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1） （2）甲无人机先到观测点D，理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∴甲无人机用时为：； 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴乙无人机用时为：， ∵， ∴甲无人机先到观测点D． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）延长交于点，延长交于点，然后解，求出，再解即可； （2）先解，求出，即可求解，即可求解甲无人机用时；然后证明，解，求出，则,即可求解乙无人机用时，即可比较． 【小问1详解】 解：延长交于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中，； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作，交轴于点，作轴于点，点为直线上一动点，轴上有一点，当取最大值时，求点的坐标与的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于点F，求出，令点P的坐标为，根据二次函数的性质求出取最大值时的点的坐标，作点Ｄ关于直线的对称点，连接，证在一直线上，关于点对称，出中心对称的性质求出点的坐标，根据，求出即可求出的最小值； （３）若，则分情况讨论：点在的上方或点在的下方． 【小问1详解】 解：把点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点F， ， ， 在中，， ， 在中，， ，即， ， ， 令点P的坐标为， ， ， 当，即时，的最大值为， ，此时，点N与点C重合， 点P的坐标为； 如图，作点Ｄ关于直线的对称点，连接， 点为直线上一动点， ， ， 当点在线段时，最小， 连接，则， ， ， ， ， ， 在中，， ，即， 由对称性，得在一条直线上， 关于点对称， ，即， ， 当取最大值时， 的最小值为； 【小问3详解】 解：， 将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向左移动２个单位，再向上平移4个单位， 新抛物线的解析式为， 作关于轴的对称线段，则， 若，则分情况讨论：点在的上方或点在的下方． 点在的上方，过点A作，交新抛物线于，则T即为所求的点，， 与关于轴对称，直线的解析式为， 的解析式为， 关于对称轴对称， 的坐标为 设的解析为， 把点代入，得，， 的解析式为， 联立方程组，消去得，， 解得，，（不合题意，舍去）， 当时，， ； 点在的下方，， ， ， ，即， 令交轴于点 ，‘ ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立方程组，消去得， 解得（不合题意，舍去） 当时，， 综上，若，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，最大值、最小值问题，图象的平移，全等三角形的判定和性质，轴对称，求图象交点坐标等知识，分类讨论是解本题的关键． 25. 如图，在中，，，点是边上的中点，点是边上一点（不与点、重合），连接、交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，若，过点作交于点，过点作交于点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，点为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，当取得最小值时，连接，取的中点，将绕点顺时针旋转得，连接，，其所在直线交于点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，结合三角形的内角和、三角形外角的性质求解即可； （2）利用证明，结合等腰三角形“三线合一”的性质，再利用证明，继而求得是等腰直角三角形，即可解答； （3）根据已知条件证得，确定出点N的轨迹是直线，当时，有最小值，利用三角形中位线定理，勾股定理求出相关线段的长度，由绕点A旋转，得出点M的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，点P的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，再利用相似三角形的判定与性质得出点B，Q，D，A四点共圆， 即点Q的运动轨迹是以点O为圆心，为直径的圆，此时，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理求出的长度，过点作，证明得出的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 解： 是等腰三角形 是的外角 【小问2详解】 解： ， 在和中 ， ，点是边上的中点 是等腰三角形 ， 即 连接，如图 在和中 ， 即 是等腰直角三角形 【小问3详解】 解： ，，D为中点， ，，则， ， ， 如图，将绕点A逆时针旋转得，连接， 点N的轨迹是直线， ， ， 在和中 ， ，此时B，A，三点共线， ， 当时，有最小值， ， 在中，， ， 为中点，， 由三角形中位线定理可知，， 在中，，则， ， 在中，由勾股定理得，， ， 在中，由勾股定理得，， 为中点，， ，， 绕点A旋转， 点M的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，点P的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， ，， ， ， 又， ， ， 点B，Q，D，A四点共圆， 点Q的运动轨迹是以点O为圆心，为直径的圆， 此时， 在中，， ， ， ，， ， ， ，则， ， 在中，由勾股定理得，， ， 如图，过点作， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，含的直角三角形的相关计算，线段的最值，三角形的面积等知识，综合性强，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $