精品解析：四川省叙永第一中学校2026届高三上学期第二次诊断模拟考试数学试题

叙永一中高2026届二诊断模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别找到当且时和当且时，与的公共元素，即可得解. 【详解】因为集合或， 当且时，与的公共元素为； 当且时，与的公共元素为， 所以. 故选：B 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算以及复数的虚部概念即可求解． 【详解】因， 则， 所以z的虚部是． 故选：B． 3. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，再结合指数和对数运算公式，即可求值. 【详解】因为，所以，所以， 又是奇函数，所以. 故选：B 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正六棱台还原成正六棱锥，再利用正六棱锥的结构特征及体积公式计算得解. 【详解】将正六棱台还原成正六棱锥，则正六棱锥的下底面是边长为4的正六边形，侧棱长为， 其高，以正六棱台上底面为底面的正六棱锥底面边长为2， 侧棱长为，其高， 因此该正六棱台的体积. 故选：C 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 54 B. 51 C. 57 D. 59 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案. 【详解】 即， 故选：C. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由于与等高，， 所以，    又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， ， 在中，， 化简可得，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】利用抛物线方程可求出点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断D. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以C的准线方程为，故A正确； 对于选项B：令，得，所以， 由抛物线定义得：，故B错误； 对于选项C：由选项B知，所以直线OA的斜率为，故C错误； 对于选项D：若B，D，F三点共线，则的最小值为通径，令得， 所以，所以的最小值为8，故D正确. 故选：AD． 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在元的频率为 B. 的值为150 C. 采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D. 该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 函数仅有1个零点 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断AB，求导确定函数单调性和极值，可判断CD. 【详解】， 由题意可得：， 解得， 即， 则， 令，得 当时，，当，， 即在单调递增，在单调递减， 且极大值， 且，， 所以在，各有一个零点，故C错误， 由C可知：， 因为在单调递增，所以函数在区间上单调递减，D正确， 故选：ABD 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为___________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式求解. 【详解】设通项为， 令，得，则． 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化切为弦得，根据两角差的正弦公式求得，然后利用两角和的正弦公式计算即可． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情况，即可得解. 【详解】用分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有种结果，则在一轮游戏中，共包含（个）等可能的基本事件.其中，甲得分，即包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，则甲每轮得分的概率为.同理可得，甲每轮得分的概率也是，得分的概率为. 设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形： ①甲有两轮得分，一轮得分，概率为； ②甲有一轮得分，两轮得分，概率为， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质列方程求公差，进而求出的通项公式. （2）求出的通项公式，数列的前项和，再解不等式求n的范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则，即， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，等比数列的公比，，， 数列是首项、公比都为的等比数列，则， 由，得，则，即，而数列单调递增， 又，，因此， 所以所求最大正整数为4. 16. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为，，， 所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再根据平面平面得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，由（1）知，平面且， 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设， 则． 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设点到平面的距离为， 则，解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 17. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【答案】（1）； （2） 设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）根据四点共线，要证，即证，设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 18. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 【答案】（1） （2）应该选择，理由：选择时，甲整场比赛获胜的概率为 ； 当选择 时，甲整场比赛获胜的概率为； 所以作差得，， 由于，，，所以， 即对于甲而言，应该选择； （3）证明：若甲、乙两人每局比赛获胜的概率相等，所以前2n局就能定整场比赛正负的概率相同， 即甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为， 由题可得，若要以第局定整场比赛的胜负， 则前2n局得分必定为的形式，概率为， 因为 “甲在局内获胜”“乙在局内获胜”“比赛进行到第局” 是互斥且穷尽的事件， 所以，即， 由于，则，得证． 【解析】 【分析】（1）由题意得甲每局比赛获胜的概率为0.6，根据独立事件乘法公式计算即可； （2）分别计算出时， 时甲获胜的概率，再利用作差法比较可得结论； （3）由于对称性可知甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为，若要以第局定整场比赛的胜负，则，由此计算得，判断即可得证. 【小问1详解】 甲每局比赛获胜的概率为0.6， 由于甲以获得整场比赛胜利， 所以，第4局的胜者必然是甲，则前面3局中甲赢2局，输1局， 故甲以获得整场比赛胜利的概率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明：由，可得，， 当时，， 根据“下凸函数”的充要条件可知函数在上为“下凸函数”． ②证明：因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙永一中高2026届二诊断模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 54 B. 51 C. 57 D. 59 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在元的频率为 B. 的值为150 C. 采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D. 该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 函数仅有1个零点 D. 函数在区间上单调递减 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为___________（用数字作答）． 13. 已知，则______. 14. 甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 16. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 18. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $