精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 3. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 4. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 5. 已知数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设求出得到数列具有周期性，再利用周期性即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以数列是周期为6的周期数列， 所以. 故选：B. 6. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 7. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符 所以，即是的充要条件. 故选：C 8. 过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心到轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 11. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是上的点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，为上一点，过作两条直线分别与交于两点，若直线的斜率为，直线的斜率和为1，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得焦点坐标，设出点的坐标，利用直线斜率公式，结合两点距离公式，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，由题意可设，，， 由直线的斜率为，则，解得， 由直线与直线的斜率之和为，则，解得， 所以，可得. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【详解】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对边分别a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）过作于，则，又，所以 【小问1详解】 因为，所以， 即，化简得， 又， 所以，又，，故， 【小问2详解】 如图：过作于，则，， ，又，所以. 16. （1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点，质点向右移动了个单位长度后位置记为，向左移动了个单位长度后位置记为）．已知质点每次向右移动的概率为．记为质点从原点出发，移动2次后的位置，求满足随机变量的期望大于0的的取值范围； （2）1个质点从平面直角坐标系中某点出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，进而求出，解不等式得解； （2）样本空间的样本点总数为，质点移动4次后回到起点，需满足向上与向下移动次数相等，向左与向右移动次数相等。通过分类讨论所有满足条件的移动组合并计算其情况数，求出有利事件总数，最后利用古典概型公式计算概率。 【详解】（1）由题可知的可能取值为， 所以， 的分布列如下： 所以，得. （2）移动四次，样本空间的样本点总数为，每个样本点出现的可能性相等，且为有限个， 记质点经过4次移动后回到点为事件，要4次回到起点，则向左移动次数与向右移动次数相等， 且向上移动的次数与向下移动的次数相等， 包含下列情况：①4次移动中向上，下，左，右各一次，②向上和向下各2次，③向左和向右各2次； 情况①有种，情况②有种，情况③有种； 所以事件包含的样本点个数为，所以， 所以质点经过4次移动后回到点的概率为. 17. 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. （1）求这4联可以凑成甲对联的概率； （2）记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）8联中随机取出4联，有种取法，其中含有甲对联有种取法，可求概率； （2）由X可能的取值，计算对应的概率，结合分布列利用公式求数学期望. 【小问1详解】 8联中随机取出4联，有种取法， 取出4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法， 所以这4联可以凑成甲对联的概率为. 【小问2详解】 的所有取值可能为0，1，2. ，，. 的分布列为 X 0 1 2 P . 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 19. 如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. （1）求新的几何体的体积； （2）记与底面所成角为，求的取值范围； （3）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用割补法来求得新的几何体的体积. （2）作出与底面所成角，求得的表达式，进而求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，取 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 4. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. -4 D. 4 6. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A. B. C. D. 7. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 8. 过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 11. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是上的点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，为上一点，过作两条直线分别与交于两点，若直线的斜率为，直线的斜率和为1，则的值为______. 13. 在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 14. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对边分别a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且满足，求值． 16. （1）1个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动1个单位长度（相对于原点，质点向右移动了个单位长度后位置记为，向左移动了个单位长度后位置记为）．已知质点每次向右移动的概率为．记为质点从原点出发，移动2次后的位置，求满足随机变量的期望大于0的的取值范围； （2）1个质点从平面直角坐标系中某点出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度，求该质点经过4次移动后回到点的概率． 17. 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. （1）求这4联可以凑成甲对联的概率； （2）记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. （1）求新的几何体的体积； （2）记与底面所成角为，求的取值范围； （3）当时，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $