第2章一元二次方程 培优测试卷 2025-2026学年浙教版八年级数学 下册

浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．在一元二次方程中，常数项为（　　） A．2 B． C．5 D．-5 2．一元二次方程的解完全正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．-4 B．4 C．7 D．-7 5．已知关于x的方程与的解完全相同，则常数c的值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 7．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（　　） A．-b B．c C．b+c D．0 8．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（　　） A．2024 B． C．-2024 D． 9．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（　　） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．方程的根是　 　． 12．若关于x的一元二次方程 的一个根是1，则a的值为　 　. 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是　 　． 14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　 　。 15．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是　 　． 16．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4x2=12x： （2）2x（x-3）+x=3 （3）4x2-28x+13=0 （4）x2+x+2=0 18．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值． 19．已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 20．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。 （1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？ （2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？ 21．北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？ （2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）； （3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点 （1）求直线解析式； （2）连接，将线段沿轴正方向平移到 ①若，求满足条件的点的坐标； ②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．在一元二次方程中，常数项为（　　） A．2 B． C．5 D．-5 【答案】B 【解析】 由一元二次方程 可知， 常数项为 -2.故B符题意. 故答案为：B. 2．一元二次方程的解完全正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴或， ∴， 故选：B． 3．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 【解析】∵ x2+kx+k-1=0， ∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2， 当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0， ∴方程有两个实数根. 故答案为：A 4．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．-4 B．4 C．7 D．-7 【答案】C 【解析】∵ x2-7x-4m2=0； ∴由韦达定理得，； 故答案为：C. 5．已知关于x的方程与的解完全相同，则常数c的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解析】∵ ， ∴x1=1，x2=m， 将x1=1，x2=m代入 得， 整理的， 1-4m+4m2=m2， 3m2-4m+1=0， (m-1)(3m-1)=0， 解得，m=1(不符合）或m=， 即m=代入①得 ； 故答案为：B. 6．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是 故答案为： D. 7．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（　　） A．-b B．c C．b+c D．0 【答案】D 【解析】∵b2=4c， ， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0． 故答案为：D. 8．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（　　） A．2024 B． C．-2024 D． 【答案】B 【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024， ∴20242a+2024b+c=0， ∴ ∴ ∴是方程cx2+bx+a=0的实数根， 故答案为：B. 9．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（　　） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】①， 方程有两个相等的实数根． ①正确； ②一元二次方程（为常数）最多有两个解， ②错误； ③方程的解为， 将代入得，即：， 将代入得，即：， ∴，则， 即： ③正确． 故答案为：B． 10．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A、∵，， ∴，，即，， ∵，∴， ∵，无法确定符号，∴的值无法确定，∴此选项不符合题意； B、∵，，∴，，即，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴此选项不符合题意； C、∵，，，，即， ，， 而， ，，， ；∴此选项符合题意； D、∵，，∴，，即，， ∵，∴， ∵，无法确定的符号， ∴的值无法确定， ∴此选项不符合题意. 故答案为：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．方程的根是　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】 ， 解得：， 故答案为：． 12．若关于x的一元二次方程 的一个根是1，则a的值为　 　. 【答案】-1 【解析】将x=1代入 方程 ，得1-a+2a=0， 解得 a=-1. 故答案为：-1. 13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是　 　． 【答案】且 【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且，解得：且． 故答案为：且． 14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　 　。 【答案】11 【解析】由题意得， 或 解得： 当 时， 不能构成三角形， 当 时，三角形的周长为 故答案为： 11. 15．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是　 　． 【答案】4或5 【解析】由题意得：丙的长为，丙的宽为， ∵丙地的面积为，列方程得：，即， 解得：，， 所以x的值为4或5 ． 故答案为：4或5 16．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　． 【答案】3或6或11 【解析】∵ 一元二次方程有两个有理根， ∴， ∵该方程有2个有理根，其中为自然数， ∴是完全平方数， 令（m为整数）， ∴， ∴将该方程看作关于的一元二次方程， ∴， ∴为完全平方数， 令（k为整数）， ∴， ∴或 解得：或 当，，解得：或（舍）； 当，，解得或， 综上：或或， 故答案为：3或6或11． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）4x2=12x： （2）2x（x-3）+x=3 （3）4x2-28x+13=0 （4）x2+x+2=0 【答案】（1）解：移项得： 提取公因式，得到： 解方程和，得到：和 （2）解：展开得：，即 十字相乘法得： 解方程和，得到：和 （3）解：方程系数为 ∴ ∴ 解方程， （4）解：将方程两边乘2得，再乘-1得： 十字相乘法得： 解方程和，得到和 18．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值． 【答案】（1）证明：， 方程总有两个实数根． （2）解：， ， ，． 方程两个根的绝对值相等， ． 或． 19．已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ， 把代入一元二次方程中，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 20．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。 （1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？ （2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)， 由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450， 化简、整理，得：2x2-65x+275=0， 解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)， 答：纸盒的高为5cm. （2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)， 由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912， 化简、整理，得：x2+20x-44=0， 解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)， 答：裁去的正方形的边长为2cm. 21．北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？ （2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件． （2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得， ∴当时，方程有两个实数根. （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解得：，． ∵， ． 23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）； （3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根 （2）解：， 解得：，， 方程的“友好点”为 （3）解：由题意，∵直线， ∴过定点，∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点 （1）求直线解析式； （2）连接，将线段沿轴正方向平移到 ①若，求满足条件的点的坐标； ②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：依题意，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为； ​​​​ （2）①解：直线解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∵将线段沿轴正方向平移到， ∴的纵坐标为， 设， ∴ 解得：或 ∴或 ∵， ∴或 ②设点平移的距离为， ∴ ∵，， ∴，， 如图，当时， 解得： 如图，当时， 解得：或（舍去） 当时， 解得：或（舍去） 综上所述，点平移的距离为或或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $