辽宁省多校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.“3x>y,x2<y2”的否定为 A.3x>y,x2≥y B.Hx>y,x2≥y C.3x≤y,x≥y1 D.Hx≤y,x2≥y 2.已知集合A={x|x2-5x<0},B={x|2x-3>0},则A∩B A() B(0,) c(3+∞ D.(0,+∞) 3.下列区间中，包含函数f(x)=3x十log2(x十2)零点的区间是 A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(-1,0) 4.已知a=log3,b=log42,c=40.6,则 A.abc B.c>ba C.a>c>b D.c>ab 5.如图，现有四个电路图，已知p:灯泡L亮，9：开关S2闭合，则符合p是q的必要不充分条件 的电路图是 A B 6.已知a>0且a≠1，则函数y=a'十a与函数y=ax一a在同一平面直角坐标系中的部分图 象可能为 B 【高一数学第1页（共4页）】 7.已知函数f(x)满足Hx,y∈R,yf(x)一xf(y)=x一y,且f(0)+f(1)=0,则f(2)= A.3 B.4 C.5 D.6 8.在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为α千克，且该湖泊中的蓝藻每天以8%的增长率呈指数 型增长，经过n天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于3a千克，则n的最小值是（参考数据：1g2 ≈0.301,1g3≈0.477) A.14 B.15 C.16 D.17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知集合M={x∈N∈N,则 A.8∈M B.2∈M C.M的子集个数为4 D.M的子集个数为8 10.已知m,n是关于x的方程162一2b·42十b2一9=0的两个不相等的根.若m十n=2,则 A.b=5或b=-5 B.4mn=3 cm-a=号 D.2m+2"=32 11.已知函数f(x)= 22+2x+豆x≤1若1x2t4(x1<x<x<)是关于x的方 ln(x-1),x>1. 程f(x)=k的四个不相等的实数根，则 A.0<k≤3 B1+1=1 C.x1十x2十x3+x4的最小值为0 D.方程f(f(x))=0有6个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=1一之 51g x 的定义域为 4 2-3,x≤0， 13.已知函数f(x)= 则f(5)= 2f(x-2),x>0, 14.定义在R上的偶函数f(x)在[0，十∞)上单调递增，定义在（一∞，0）U(0,+∞)上的奇函 数g(x)满足当x>0时，g(x)=lnx.若f(5)=0,则不等式g(x)f(x)<0的解集 是▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)计算：21g√2-（π-√5）°+81+lg50. (2)已知10=3,10=2，试用a,b表示log3612. 【高一数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知正数x,y满足x十y=2. (1)证明：(x+2)2+4y>12. 4 (2)求y一x的最大值. 17.(15分) 已知幂函数fx)的图象经过点（分·），函数gx)=fx)- (1)证明：g(x)是偶函数， (2)用单调性的定义证明g(x)在(0，十∞)上单调递增. (3)求不等式g(x+2)一g(一x)≤0的解集， 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 太阳能帆板是航天器的重要组成部分，它利用光电效应将太阳能转化为电能，为航天器的运 行提供动力.卫星发射入轨后，携带的太阳能帆板在太阳的照射下会产生初始输出功率 P(0),卫星在太空中运行了t年后，太阳能帆板的输出功率P(t)满足lnP(t)=一0.01t十 lnP(0).已知某个卫星的运行年限为15年.（参考数据：取e-0.15=0.86,ea.o5=0.95,eo. <0.9<e-o.1) (1)求当该卫星到达运行年限时，所携带的太阳能帆板的输出功率（用P(0)表示）. (2)有科学家提出，为了保证该卫星的运行状态良好，卫星运行n(0<15)年后，在保证原 太阳能帆板正常运行的同时，加装一组与原太阳能帆板性能相同的新太阳能帆板，试解 决下列问题. (ⅰ)求该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率S(t)与卫星运行时长t(单位：年)的关 系式，并求当=10，且该卫星达到运行年限时，所携带的太阳能帆板的总输出功率（用 P(0)表示)： (ⅱ)若要使得从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，该卫星所携带的太阳能帆 板的总输出功率不低于1.76P(0),求正整数n的最小值. 19.(17分) 设P,Q是两个非空数集，若定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R,当a一b∈P时，f(a) 一f(b)∈Q,则称f(x)为P到Q的双界函数 (1)设P=[1,2],Q=[4,16],f(x)=tx十m. (ⅰ)证明：当t=5时，f(x)是P到Q的双界函数. (ⅱ)若f(x)是P到Q的双界函数，求t的取值范围. (2)若P={2},Q={3},f(x)是P到Q的双界函数，当x∈[0,2)时，f(x)=x+e,求 f(x)在[2026，十∞)上的最小值 (3)设集合A=B={n·2m},其中m∈R,n∈N.若P=Q=[2m,2m+1],f(x)是P到Q的 双界函数，证明：f(x)是A到B的双界函数， 【高一数学第4页（共4页）】数学试卷参考答案 1.B“3x>y,x2<y2”的否定为“Vx>y,x2≥y2”. 2A因为A={xl2-5x<0=0,5),B={x2x-3>0)=(号，+∞)，所以AnB=(号5)， 3.Df(一1)=一3<0，f(0)=1>0,根据函数零点存在定理可知，在（一1,0）内一定存在 f(x)的零点. 4.D因为40.6>1，log421og43<1,所以c>a>b. 5.C若p是q的必要不充分条件，则灯泡L亮不可以推出开关S2闭合，且开关S2闭合能推 出灯泡L亮，故选C. 6.B若a>1,则y=a'十a在R上单调递增，图象过点(0，a十1)，y=a.x一a的图象过点(1， 0),(0,-a),由-a<-1,可知B符合条件，A不符合条件.若0<a<1,则y=a十a在R上 单调递减，图象过点(0，a十1)，由a+1>1,可知D不符合条件，y=a.x一a的图象过点(1， 0),(0,一a),由-1<-a<0,可知C不符合条件. 7.A令x=1,y=0,得-f(0)=1,则f(0)=-1,f(1)=1.令x=2,y=1,得f(2)-2f(1) =1,则f(2)=2f(1)+1=3. lg 3 8.B由题意可得a1+8%)>≥3a,则nlg1.08≥lg3,所以n≥3lg3+2g2-2≈14.455，故n 的最小值是15. 9.BD由题可知，M={1,2,4},则2∈M,8￠M,M的子集个数为8. 10.BD令t=4“,则t>0,根据题意可得关于t的方程t2一2bt+b2一9=0有两个不相等的正 △=4b2-4(b2-9)>0, 根，所以32b>0, 解得b>3.易得4"·4"=b2-9,因为m+n=2,所以42= b2-9>0, b2-9,解得b=5或b=一5（舍去），A错误.易得4"十4”=2b=10,即4"十42-m=10,所以 =2或=8，解得m=或m=》当m=时a=号：当m=多时m=2放mm=是， 则4mm=3,B正确.m-n=1,C错误.2m+2”=2+22=√2+2√2=3√2，D正确. 11.ABD作出f(x)的大致图象，如图所示.因为f(1)=3,所以由图可知0<k≤3，A正确.因 为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)是关于x的方程f(x)=k的四个不相等的实数根，函 数y=+2x十号的图象关于直线x=一2对称，所以十=一1.-血一1)= ln(x4-1),则ln(x3-1)+ln(x4-1)=ln[(x-1)(x4-1)]=0,则(x3-1)(x4-1)=1,整 理得号+-1.B正确十十，十，=-4+十红=-4+（十2之）十x,)= 一2+4+，因为x4>>0,所以+3≥2，当且仅当x=x4时，等号成立，因为x≠ 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 x4,所以4+>2，则x1十x2十x3十x4>0,C不正确.当x≤1时，由f(x)=0,可得x= -2士3，当x>1时，由f(x)=0,可得x=2,则由f(f(x)=0,可得f(x)=-2士3或 f)=2因为72+2x+号=2x+2-号≥-号-2-8<-含0>-2+5> 一号，2<3，结合图象可知，了()=-2一5无实数根，f)=-2+5有2个不相等的实数 根，f(x)=2有4个不相等的实数根，故方程f(f(x)=0有6个不相等的实数根，D正确.。 ↑y 23 1-x≥0， 12.(0,1) 由1gx≠0，解得0<x<1,即f(x)的定义域为(0,1). x>0, 13.-20f(5)=2f(3)=4f(1)=8f(-1)=8×(2-1-3)=-20. 14.(-∞，-5)U(-1,0)U(1,5)根据题意可得 y↑ y=f(r) f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(一5)=0.因为 g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称.画 出g(x)的大致图象，如图所示，不妨设f(x)的图 象如图所示，易得g(x)与f(x)的函数值异号的区 间为（一∞，-5），（一1,0)，(1,5)，所以不等式 g(x)f(x)<0的解集是(-o∞，-5)U(-1,0)U(1,5). 15.解：(1)原式=lg2-1十(81)3十lg50…2分 =(lg2+lg50)-1十33…4分 =1g100-1十27=2-1十27=28.…5分 (2)由题意得a=1g3,… 6分 b=lg2,… 7分 则112-0器 9分 1g(4×3) 1g 4+1g 3 2lg(2×3)21g2+2lg3 11分 21g 2+1g 3 21g2+2lg3 12分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 8+26 2a+2b1 13分 16.(1)证明：因为x十y=2,所以x=2-y,…2分 则(x+2)2+4y=(2-y十2)2+4y=y2-4y十16=(y-2)2+12.… 4分 由x>0,y>0,x十y=2,可得0<y<2,…5分 则(y一2)2十12>12，… 6分 从而(x+2)2+4y>12. …7分 (2解：因为x十y=2,所以y-=2--=3-(+1+） …9分 因为x>0,所以x十1+4 7,………………11分 当且仅当x=y=1时，等号成立， 12分 则3-(x+1+)≤3-4=-1， …14分 做y一的最大值为一1.………………15分 17.(1)证明：由题可设f(x)=.因为f(x)的图象经过点（分·），所以=（分）”，解得 m=2,…1分 则f(x)=x2,g(x)=x2- 22, 则g(x)的定义域为（一o∞，0）U(0,十∞)，关于原点对称.…2分 义g(-x)=(x)二=)=x1 72=g(x）,…3分 所以g(江)是偶函数.…4分 (2)证明：/x1,x2∈(0，十0∞)，且x1<x2,…5分 则g,)8)=i--+房(i-(1+)=十：1-(1+ 1 …7分 因为0<x1<x2,所以x1+十x2>0,x1一x2<0,1十 >0,…8分 则g(x1)<g(x2),则g(x)在(0，十o∞)上单调递增.…9分 (3)解：由g(x十2)-g(-x)≤0，得g(x十2)≤g(-x).…10分 因为g(x)是定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的偶函数，且g(x)在(0，+∞)上单调递增，所 |x+2|≤|-x|, 以3x十2≠0， ………13分 x≠0， 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 解得x≤-1且x≠一2，…14分 故原不等式的解集为（一0∞，一2）U(一2，一1].…15分 18.解：(1)由lnP(t)=-0.01t+lnP(0),可得lnP(15)=-0.15+1nP(0),…1分 P(15) In P(15)-In P(0)=In P(0) =-0.15,…2分 2=e015=0.86,…3分 则P(15)=0.86P(0). 4分 故当该卫星到达运行年限时，所携带的太阳能帆板的输出功率为0.86P(0).…5分 (2)(ⅰ)因为卫星运行t年后，所携带的太阳能帆板的总输出功率为S(t), P(t),0≤t<n, 所以S(t)= 4…………0… 6分 P(t)+P(t-n),n≤t≤15， 由lnP(t)=-0.0lt十lnP(0),整理得P(t)=P(0)·e-.o,…7分 /P(0)·e-a0,0≤t<n, 则S(t)= 8分 P(0)·(e-ao十e-0ou+0.om),n≤t≤15. 若n=10,则该卫星达到运行年限时的太阳能帆板的总输出功率为S(15)=P(0)·(e0.5 十-005)=1.81P(0).…10分 故当n=10,且该卫星达到运行年限时，所携带的太阳能帆板的总输出功率为1.81P(0). …11分 (ⅱ)从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功 率S(t)=P(t)十P(t-n)=P(0)·e00+P(0)·e-0.o1-(n≤t≤15).…12分 显然函数P(t)=P(0)·ea.o与函数P(t一n)=P(0)·ea.o1-均在[n,l5]上单调递 减，所以S(t)在[n,15]上单调递减.…13分 要使得该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率不低于1.76P(0),则S(15)=P(15)十 P(15-n)=0.86P(0)十e-0.0115-m)·P(0)≥1.76P(0),…14分 则e-0.015-≥0.9.…15分 当n≥5时，-0.01(15-n)≥-0.1；当0<n≤4时，-0.01(15-n)≤-0.11.…16分 因为e01<0.9<e.1,所以正整数n的最小值为5。…17分 19.(1)(i)证明：当a-b∈P,即1≤a-b≤2时，f(a)-f(b)=(5a+m)-(5b+m)=5(a- b),则5≤5(a一b)≤10，即f(a)-f(b)∈[5,10]，…1分 因为[5,10]二[4,16]，所以f(a)一f(b)∈Q,所以当t=5时，f(x)是P到Q的双界函数. ……2分 (i)解：若f(x)是P到Q的双界函数，则当a一b∈P,即1≤a一b≤2时， 4≤f(a)一f(b)=(ta+m)-(tb十m)=t(a-b)≤16恒成立.…3分 公4 a-b’ 即 恒成立. …4分 16 ta-b 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 因为2兰6≤4.8≤。≤16.所以<8.即上的取值范周为[1.81.…5分 (2)解：依题意得，当a一b=2时，f(a)-f(b)=3, 所以f(b十2)-f(b)=3,所以f(x十2)=f(x)十3.…6分 函数y=x十e在[0,2)上单调递增，且2026为偶数，则f(x)在[2026，+∞)上的最小值 为f(2026).…8分 f(2026)=f(2024)+3=f(2022)+3×2=…=f(0)+3×1013,…9分 由f(0)=0+e°=1，得f(2026)=1十3039=3040，即f(x)在[2026，+∞)上的最小值为 3040.… …10分 (3)证明：根据题意得，当2m≤a-b≤2m+1时，2m≤f(a)-f(b)≤2m+1, 令a=x十2m+1,b=x+2",则2m≤f(a)-f(b)=f(x十2m+1)-f(x十2")≤2m+1, … …11分 令a=x十2m,b=x,则2m≤f(a)-f(b)=f(x十2m)-f(x)≤2m+1,…12分 所以2·2m≤f(x十2m+1)-f(x)≤2·2m+1,即2m+1≤f(x十2m+1)-f(x)≤2m+2.… …13分 令a=x+2m+1,b=x,则2m≤f(a)-f(b)=f(x十2m+1)-f(x)≤2m+1,…14分 所以f(x+2m+1)-f(x)=2m+1,当且仅当f(x+2)一f(x)=2时，等号成立，·15分 则f(x十n·2m)=f(x十(n-1)·2m)+2m=f(x十(n-2)·2m)十2·2m=…=f(x)十 …16分 所以f(x十n·2m)一f(x)=n·2m,所以f(x)是A到B的双界函数.…17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】