2025-2026学年 浙教版八年级数学上册期末综合复习 课件

这是一份初中数学浙教版八年级上册期末复习课件，包含知识结构梳理、要点提炼、例题巩固及综合提升等内容，以三角形、不等式、坐标与函数为核心，搭建系统复习支架，助力学生夯实基础。 资料特色突出，融合数学核心素养，通过“三线合一”“截长补短”等方法培养推理能力，结合勾股定理应用、一次函数求解等实例提升几何直观与模型意识，助力八年级学生巩固知识、提升综合解题能力，也为教师提供系统复习资源，适应学生承上启下的学习需求。

数学浙教版八年级上册 期末 等腰三角形 等腰三角形定义、性质、判定定理 等边三角形定义、性质、判定定理 直角三角形 性质与判定 全等的判定 勾股定理及其逆定理 一元一次不等式 不等式 一元一次不等式组 函数 定义 表示 平面直角坐标系 图形与 坐标 一次函数 图象 性质 全等三角形 性质 判定方法 三角形 概念与表示 性质 知识结构 三角形内角和定理 三角形内角和外角 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系. 注意 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角性质 三角形的内角和等于180°. 知识要点提炼 定理 三角形三边关系 (1)理论依据：两点之间线段最短. (2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. (3)证明线段之间的不等关系. 注意 三角形任意两边之和大于第三边. 知识要点提炼 三条重要线段 三角形的重要线段 (1)一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心. (2)一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点. (3)三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种： ①锐角三角形交点在三角形内； ②直角三角形交点在直角顶点； ③钝角三角形交点在三角形外. 知识要点提炼 性质 全等三角形的性质与判定 全等三角形对应边相等，对应角相等. 判定 (1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等. (2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等. 注意 AAA、SSA不能判定三角形全等. 知识要点提炼 角平分线和线段垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线 线段垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 角平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 知识要点提炼 概念 等腰三角形 等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形. 等边三角形：三边相等的三角形叫作等边三角形. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线. 等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是持殊的等腰三角形. 注意 知识要点提炼 等腰三角形 性质 ①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； ②等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) ③等边三角形的各个内角都等于60°. 判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). ③三个角都相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识要点提炼 判定 线段垂直平分线的判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等;逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意这两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到. 注意 几何语言： 因为PA=PB 所以点P在AB的垂直平分线上. A B P 知识要点提炼 直角三角形 性质定理(2)的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 注意 性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (3)含有 30°的直角三角形中， 30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 知识要点提炼 判定 直角三角形 (1)有一个角是90°的三角形是直角三角形； (2)两个角互余的三角形是直角三角形； (3)在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 知识要点提炼 定理 勾股定理 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边的平方. 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2. (1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系； (2)理解勾股定理的一些变式：b²c²-a²，a²c²-b². 注意 知识要点提炼 逆定理 勾股定理 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. (1)当a2 + b2<c2时，此三角形为钝角三角形； (2)当a2 + b2>c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 注意 即：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 知识要点提炼 判定定理 直角三角形全等的判定 若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等. 此定理只适用于直角三角形，直角三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS， HL. 注意 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 知识要点提炼 性质 不等式的基本性质 若不等式两边同时乘以0，则不等式转化为等式. 注意 知识要点提炼 一元一次不等式 步骤 解一元一次不等式的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3) 移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. (1)在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用. (2)解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其常数项不要漏乘；②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意 知识要点提炼 一元一次不等式组 解法 解一元一次不等式组的方法步骤： (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集. (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 不等式组的解集的可能情况： a b a b a b a b x＞b x＜a 无解 a＜x＜b 大小小大中间找 大大小小无处找 小小取小 大大取大 知识要点提炼 (1)P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)； (2)P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)； (3)P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b). 坐标轴对称的点的坐标特征 坐标轴对称点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； (2)第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a). 注意：a≠0. 象限的角平分线上点坐标的特征 知识要点提炼 向右平移a个单位：(x，y)→(x+a，y) 向左平移a个单位：(x，y)→(x-a，y) 向上平移b个单位：(x，y)→(x，y+b) 向下平移b个单位：(x，y)→(x，y-b) 规律 用坐标表示平移 左减右加，上加下减 (1)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； (2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 平行于坐标轴的直线上的点 平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的 平移问题来解决. 注意 知识要点提炼 不同类型的函数表达式中自变量取值范围的求法: 函数自变量的取值范围 类型 特点 举例 取值范围 整式型 分式型 偶次根式型 综合型 等号右边是整式 y = 2x2+3x-1 全体实数 等号右边是分式，且自变量在分母的位置上 使分母不为0的全体实数 等号右边的自变量出现在偶次根式的被开方数中 使被开方数为非负数的全体实数 等号右边是复合式 使各式都有意义的公共解 知识要点提炼 对于一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)， 当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小. 性质 一次函数 函数 名称 函数解析式和自变量的取值范围 图象 性质 一 次 函 数 y=kx+b (k≠0) x 取一切实数 k＞0 k＜0 当k＜0时，y 随x 的增大而减小 当k＞0时，y 随x 的增大而增大 x y o x y o 知识要点提炼 若点P(2－a，3a＋6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是( ) A．(3，3) B．(3，－3) C．(6，－6) D．(3，3)或(6，－6) 依题意，|2－a|=|3a＋6|， 所以2－a=3a＋6或2－a+3a＋6=0， 所以a=-1或a=-4， 所以，点P的坐标是(3，3)或(6，－6)． 故选D. D 重点知识巩固 图中各数代表所在正方形的面积，则A表示数(         )  A. 25　　    B. 49　　    C. 81　　    D. 100 解：由勾股定理可知A代表的正方形的面积=36+64=100， 故选D. D 重点知识巩固 一个三角形的两条边长分别是7 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，求这个三角形的第三边的长是多少？ 设第三边的长是x cm， 则第三边取值范围为7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10， 又三角形的周长为7＋3＋x＝10＋x，而x为整数，10＋x为偶数，所以，x只能取偶数6，8，则第三边的长为6或8. 重点知识巩固 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 重点知识巩固 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数． 重点知识巩固 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE. 作AM⊥BC于点M. 因为AB＝AC，所以BM＝CM. 又因为BD＝CE，所以DM＝EM. 又因为AM⊥BC，所以AM是DE的垂直平分线，所以AD＝AE. 重点知识巩固 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点， 且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 延长BD至点E，使BE＝AB，连结CE，AE. 因为∠ABE＝60°，BE＝AB， 所以△ABE为等边三角形，所以∠AEB＝60°. 又因为∠ACD＝60°，所以∠ACD＝∠AEB. 因为AB＝AC，AB＝AE，所以AC＝AE， 所以∠ACE＝∠AEC，所以∠DCE＝∠DEC，所以DC＝DE，所以AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB. 重点知识巩固 方法总结 “三线合一”法：“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，在解决等腰三角形边角问题时，常添加底边上的高或中线或顶角平分线中的一条线段，实现异曲同工之妙的作用. “截长补短”法：在等腰三角形中证明线段的和差关系时，常需将其转化为相等，利用等腰三角形的性质求解，其方法是将两短线补合成一条线段或将长线段截成与所证两短线段相等. 重点知识巩固 (3)当y＜1时， -x+5<1， x>4. 重点知识巩固 方法总结 由直线上P(a，b)，Q(c，d)两已知点或x，y两组对应值，求直线的表达式，其方法是待定系数法，设直线表达式为y＝kx＋b，将P，Q的坐标或x，y的对应值代入y＝kx＋b，列出关于k，b的方程组，求出k，b即可写出表达式． 重点知识巩固 在DC上截取DE＝BD，连结AE. 因为AD⊥BC，BD＝DE，所以AD垂直平分BE， 所以AB＝AE，所以∠B＝∠AED. 因为AB＋BD＝CD，DE＝BD，所以AB＋DE＝CD， 而CD＝DE＋EC，所以AB＝EC，所以AE＝EC. 设∠EAC＝∠C＝x°，所以∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x°， 所以∠B＝2x°，∠BAE＝180°－4x°. 因为∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝120°， 所以180－4x＋x＝120，解得x＝20，则∠C＝20°. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． E 综合能力提升 如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(0，0)，B(3，6)，C(10，8)，D(13，0)，求这个四边形的面积． E F 综合能力提升 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. (1)如图①，求证：PD＝QD； (2)如图②，过点P作直线BC的垂线， 垂足为E，当P，Q在移动的过程中， 线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 综合能力提升 F 综合能力提升 F 综合能力提升 某公司需要从甲、乙两个仓库向A，B两地分别运送100 t和50 t的物资．已知该物资在甲仓库有80 t，乙仓库有70 t．从甲、乙两个仓库运送物资到A，B两地的运费如下表： (1)设从甲仓库运送到A地的物资为x t，求运送的总运费y(单位：元)与x(单位：t)之间的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)请你设计出运费最低的运送方案，并求出最低运费． 目的地 运费(元/t) 甲仓库 乙仓库 A地 140 200 B地 100 80 综合能力提升 (1)设从甲仓库运x吨往A地，则从甲仓库运往B地的有(80－x)吨，从乙仓库运往A地的有(100－x)吨，运往B地的有(x－30)吨， 所以y＝140x＋200(100－x)＋100(80－x)＋80(x－30)， 即y＝－80x＋25600，x的取值范围是30≤x≤80. (2)由(1)得y＝－80x＋25600，y随x增大而减小， 所以当x＝80时，总运费最小， 当x＝80时，y＝－80×80＋25600＝19200， 此时方案为：把甲仓库的全部物资运往A地，再从乙仓库运20吨往A地，乙仓库余下的50吨全部运往B地. 综合能力提升 $