山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高二上学期1月教学诊断测试数学试题

1月份教学诊断检测高二数学试题 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知数列。}是首项为5，公差为2的等差数列，则a1=() A若 B号 c D号 2.以下说法中，不正确的个数为() @“-=a+”是“a,b共线”的充要条件；②诺/乃，则存在唯一的实数入，使 得=6；③若a.b=0,b·=0,则a=c;④诺a,b,为空间的一个基底，则d+,b+ ,元+构成空间的另一个基底；⑤d·b·=·b· A.2 B.3 C.4 D.5 3.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn,若a1>0,S8=S10,则Sn中最大的是() A.S7 B.S8 C.Sg D.S10 4.设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点，若0D⊥OE,则抛 物线C的焦点坐标为) A.(经0) B.(分，0) C.(1,0) D.(2,0) 5.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2,a2022是方程x2-3x+2=0的两个根，则 l0g2a1+l0g2a2+l0g2a3+…+l0g2a2023的值为(） A婴 B.2023 C.2023 2 D.1022 6.已知圆C:(x-3)2+y-4)2=9,直线l:mx+y-2m-3=0.则直线被圆C截得的弦长 的最小值为() A.2V7 B.V10 C.2v2 D.V6 7.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问 题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升， 下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8 节竹子的容积之和为() A.名升 B升 c升 D.g升 高二数学试题（第1页，共4页） 8.设等差数列{an的前n项和为Sn,其中Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,m∈N*且m≥2，则数 列{。1_的前n项和的最大值为() Lanan+1) A酷 B话 c D.g 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9己知数列a的前n项和为5，且a1=1,=1+片n∈N),则() A.a2n a2n+1 B.2an=an-1+a+1(n≥2) C,3=-1 ”n 2 D数列得的前n项和为号 10.己知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2,AB⊥AC,点E为B1C1的中点，则下 列说法正确的是() A.AE=AB+AC+AA B.AB1/平面A1CE C.异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为 12 D.点A1到平面ACE的距离为5 5 11.以下四个命题表述正确的是() A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，-3) B.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线+)=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB,A、 B为切点，则直线AB经过定点(1,2) C.曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4 D.圆x2+y2=4上存在4个点到直线：x-y+V2=0的距离都等于1 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列{an}满足前n项和Sn=n2-3n+2,则数列{an}的通项公式为 13.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年-公元前190年）的著作圆锥曲线论》是古代 世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(飞>0且k≠ 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(-2,0),B(2,0),点P满足|PA= V②PB引，则点P的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 高二数学试题（第2页，共4页) 14.如图，己知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4,AA1=3,AD=2, ∠BAA1=∠DAA1=60°，E为棱C1D1的中点，AE在AB上的投影向量的模是 D 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 记Sn为等比数列{an}的前n项和.己已知S2=-3,S3=9. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn,判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列并说明理由. 16.(本小题15分) 己知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设数列b,满足b.=+1og24,求数列b,的前n项和7 高二数学试题（第3页，共4页） 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD/BC,PA=AD=CD=2,BC= 3E为PD的中点，点F在PC上，且熙= (①)求证：CD⊥平面PAD: (⑩)求二面角F-AE-P的余弦值； (四设点G在PB上，且g-号判断直线AG是否在平面AEF内，说明理 由. 18.(本小题17分) 设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n. (1)计算a2,ag,猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2man}的前n项和Sn 19.(本小题17分) 已知点F1(-1,0),圆F2:(x-1)2+y2=8,点Q在圆F2上运动，QF1的垂直平分线交QF2于点P. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)动点P的轨迹C与x轴交于A,B两点(A在B点左侧)，直线l交轨迹C于M,N两点(M,N不在x 轴上)，直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1=2k2,求证：直线过定点. 高二数学试题（第4页，共4页） 1月份教学诊断检测高二数学试题答案 1.A2.C3.C4.B5.B6.A7.A8.D 8.解：设等差数列[an}的公差为d,由题意可得am=Sm-5m-1=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15,其中m>2, :d=an+1-am=-2,其中m>2,由Sm=ma1+mm,2=0可得a1-m=-1,其中m>2, 又am=a1+(m-1)d=-13,可得a1-2m=-15,联立解得a1=13,m=14, aa=a1+0n-1d=15-2.设数列d}的前n项和为7： =++…+=哈-)+（哈）++-品儿 =-哈-)=-（结-）=-六+20而当1≤n≤6时，y=a单调递增，且z0而>0， 当n≥7时，y=202单调递增，且Z03<0,故m=6时，T,取得最大值为号 9.ABD【解析】解：由=1+(0m∈N),且a1=1,可知=1+>1，则{a}为正项递增数列， an 故am<a1,故A正确：由=1+片=片则n≥2时，a=…号a=片…导1=n 又a1=1符合上式，故an=n.n≥2时，a-1+an+1=n-1+n+1=2n=2an,故B正确： 5=,则炉-学故C错误：专==2-，故数列侣}的前n项和为号+号+…+片 S1 S2 =2(1-++…+片)=2(1-)=品故D正确， 10.ABD解：对于B,连接AC1,交CA1于F,连接EF,~E为C1B1中点，矩形ACC1A1中F为AC1中点，EF/AB1, 又EFc平面A1CE,AB1￠平面A1CE,故AB1/∥平面A1CE,故B正确： 对于C,由题可知直三棱柱ABC-A1B1C1中AB⊥AC,AB⊥AA1,AC⊥AA1, AB-AC=AB-AA=AC-AA=0,A C=A C+CC=AC-AAI. 由A知A正=AB+AC+AA,故1AE2=|AB+AC+AA =AB2+2AC2+AA2=1+1+4=6, IA C2=IAC-AAjl2=AC+AA-2AC-AA=4+4=8. AC.AE=(AC-AA)(AB+AC+AA1)=AC-AAI=2-4=-2. 故co<A化正>=隔=品6-得 AC-AE 故异面直线AE与A,C所成的角的余弦值为，故C错误： 对于D,方法一：以A为原点，以AC、AB、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标 高二数学试题答案（第1页，共4页） 系，则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,2),E(1,1,2),故AE=(1,1,2),AC=(2,0,0),AA=(0,0,2), 设平面4CE的法向量为元=（化y2,则元正=x+y+22=0, '(mAC=2x=0 取y=2,则x=0,z=-1,即m=(0,2,-1), 故点A到平面ACE的距离为d==号=5，故D正确。 方法二：取A1B1中点为H,连接EH,AH,过A1作A1M⊥AH于M, 易知EH/A1C1,A1C1//AC,故EH//AC,故平面ACE,即为平面ACEH, 由A1C1⊥A1B1,可知EH⊥A1B1,由直三棱柱可知AA1⊥平面A1B1C1,EHC平面A1B1C1,故EHL AA1, 又AA1∩B1A1=A1,AA1、B1A1C平面ABB1A1 故EHL平面ABB1A1,又A1MC平面ABB1A1,故A1M⊥EH 又A1M⊥AH,AH∩EH=H,AH、EHC平面ACEH, 故A1M⊥平面ACEH,即A1M的长即为点A1到平面ACE的距离， R肚△AAH中，AM1=2,AH=1,则AH=V5,故A1M=答=2码 5 故点4，到平面ACE的距离为S故D正确。 11.BC解：对于A,直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R),即(x+3)m+3x+4y-3=0, 由6,03=0解得化=33所以直线过定点(-33，A错误 对于B,因为点P为直线+=1上一动点，所以设P(4-2m,m,显然点P不能在圆C上，即m≠2或m≠号 因为PA、PB是圆C:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A、B,O为圆心， 所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C′上， 即弦AB是圆C和圆C′的公共弦.因为圆心C'的坐标是(2-m,罗)，且半径r=4-2m+严 2 所以圆C′的方程为(x-2+m2+y-2=422+量@，又2+2=4②， 4 所以②-①，得(2m-4)x-my+4=0, 即公共弦AB所在的直线方程为(2x-y)m+(-4x+4)=0, 所以由640，利形二2所以直线AB过定点12，B正确： 对于C,曲线C1x2+y2+2x=0,即(x+1)2+y2=1,则圆心C1(-1,0),半径为1， 曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0,即(x-2)2+(y-4)2=20-m, 则圆心C2(2,4),半径为V20-m,两圆的圆心距为v√(2+1)2+42=5， 高二数学试题答案（第2页，共4页） 因为圆C1:(x+1)2+y2=1与圆C2:(x-2)2+y-4)2=20-m有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系， 所以V(-1-2)2+(0-4)2=1+√20-m,解得m=4,C正确： 对于D,圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为R=2,圆心(0,0)到直线：x-y+V2=0的距离d= -示=1，又因为R-d=1,所以圆2+y2=4上有且仅有3个点到直线：x-y+V2=0的距离都 1N21 等于1，D错误： 12a=8m”n22 13.4W214号解：由题图可知AE=AA+AD+AE, A丽.AE=AB.AA+AB.AD+号A丽=4×3×+0+号×42=14， 所以正在正上的投影向量是警需-丽。所以正在丽上的授影狗量的模等于名×4=子 15.解：(1)设数列{an}的首项为a1,公比为q,因为S2=-3,S3=9, 所以1+419=-3 a1+a19+ag2=9解得8-2， a1=3,所以a=a19-1=3·(-2)-1, (2)因为g=-2,01=3,所以5n=4a1=-3-2=1-(-2）, 9-1 -2-1 所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，理由如下： 因为Sm+1=1-(-2)m+1,Sm+2=1-（-2)m+2, 所以Sn+1+S+2-2Sm=[1-（-2)m+1]+[1-(-2)m+2]-2[1-(-2)]=1+2·(-2)”+1-22.(- 2)”-2+2·(-2)”=0,即Sn+1+Sn+2=2Sn,所以Sn+1,Sn,Sm+2成等差数列. 16.解：(1)设{an}的公比为q(q>0),因为a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列， 所以a2+a4=2(a3+2),即2q+2q3=2(2q2+2)解得q=2,所以an=2"; ②(1b=+,T。=(+京++)+0+2+…+列=空+0-4m2-是 17 2 2 17.解：（①证明：PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,÷PA⊥CD, :AD⊥CD,PAOAD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,÷CD⊥平面PAD, (I四)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 400.0.E01,1).F(号.P0,2).B2,-10,正=(01,1，F=(f号， 平面AEP的一个法向量为元=(1,0,0)，设平面AEF的一个法向量为元=(x,y,z), (m·AE=y+z=0 m示=x+y+2=0取=1，得m=1,-), 设二面角F-AE-P的平面角为8，由图可知8为锐角， 高二数学试题答案（第3页，共4页） 侧c0s0=器=方=二面角F-AE-P的余弦值为号 ()直线AG在平面AEF内，理由如下： 点G在PB上，且路-G(-》AG=(原， 平面AEF的一个法向量为m=(1,1-1),元：AG=号-号-号=0，故直线AG在平面AEF内. 18.解：(1)a2=3a1-4=5,a3=3a2-8=7,猜想am=2n+1. 证明：：an+1=3an-4n,an+1-2(n+1)-1=3an-4n-2(n+1)-1 ·an+1-2(m+1)-1=3(an-2n-1)又因为a1-2-1=0, a+1-2(n+1)-1=a-2n-1=0,所以am=2n+1(n∈N): (2)2"an=(2n+1)·2m,Sm=3×2+5×22++(2n+1)2n@, 两边同乘2可得：2Sn=3×22+5×23+…+(2n-1)2m+(2n+1)2m+1②， ①-②得：-Sm=3×2+2×22++2·2n-(2n+1)2n+1 =6+x-2☐-（2n+1）2+1=-2-(2m-1)·2n1, 1-2 所以Sm=(2n-1)·2n+1+2. 19.解：(1)依题意得PF1+|PF2=IQF2=2√，则动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其中a=√2， c=1,b2=Q2-c2=1,所以动点P的轨迹C的方程为+y2=1, (2)设直线的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2), 则曲2心+22+2+m-2=0,由限与系煮的关系得背 免=-器0 2=景 由题意M,N两点不在x轴上，所以x1≠士V2,x2≠士√2，m≠士√，又点A(-V2,0),B(W2,0), 所以==产+=1得=- 从而由已知k1=2k得-”景=2产7即(-V2,-V②=为② 2y1 又x1=ty1+m,x2=ty2+m③，将③代入②得(t2+4)y1y2+(m-V2)t0y1+y2)+(m-V2)2=0 将@代入上式并整理得(t2+4)(m2-2)+(m-V②)t(-2mt)+(m-√②)2(t2+2)=0. :m-V2≠0(t2+4)(m+V②)+t(-2mt)+(m-√②)(t2+2)=0,整理得6m+2W2=0 “m=-号故直线恒过定点(-号，0). 高二数学试题答案（第4页，共4页)