专题10.1 直线的方程 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.1 直线的方程

 

 

1. 直线的倾斜角

⑴定义：当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.

⑵范围：直线倾斜角的范围是.

2. 直线的斜率

⑴定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母表示,即.

倾斜角是的直线斜率不存在.

⑵坐标法：经过两点的直线的斜率公式为.

当时,直线的斜率不存在.

⑶直线的方向向量：若是直线l上的两点，向量是直线的方向向量.

3. 直线方程的五种形式

【重要结论】

1.倾斜角与斜率之间的函数关系

,图象如右图：

⑴;

⑵斜率在区间上单调递增.

2.特殊位置的直线方程

(1)    与轴重合的直线方程为：；

(2)    与轴重合的直线方程为：；

(3)    经过点且平行与轴的直线方程为：；

(4)    经过点且平行与轴的直线方程为：；

(5)    经过原点且斜率为的直线方程为：.

4. 两条直线的位置关系

 

5. 两条直线的交点

直线(、不全为0),(不全为0)，

与的位置关系与方程组的解的个数的对应关系：

①    相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

②    平行⇔方程组无解；

③    重合⇔方程组有无数个解.

6. 距离

距离

公式

使用条件

两点,之间的距离		求任意两点间的距离
点到直线的距离		在求点到直线的距离时，直线的方程转化为一般式
两条平行直线和之间的距离		求平线直线间的距离，方程中前的系数保持一致

7. 对称问题

⑴点关于点对称

若两点，关于点中心对称，则，

⑵点关于线对称

若两点，关于直线对称，则线段的中点在直线上，且直线直线，即．

⑶线关于点对称

直线关于点对称的直线为，则：

思路1：设直线，对称中心到这两条直线的距离相等，

即:

思路2：从直线上任取两个点，，则这两个点关于对称中心的对称点,在直线上．

⑷线关于线对称

直线和关于直线对称，包括两种情形：

①，此时直线到直线和的距离相等；

②直线，，三条直线交于一点，设交点为，则在直线上任取一点（异于点），其关于直线的对称点在直线上．

【重要结论】

1. 若所求直线过点,且与直线平行,则方程为.
2. 若所求直线过点,且与直线垂直,则方程为.
3. 直线系方程

⑴与直线平行的直线系方程是．

⑵与直线垂直的直线系方程是B ．

⑶过直线与的交点的直线系方程为，但不包括.

4. 五种常用对称关系

(1)    点关于原点的对称点为．

(2)    点关于轴的对称点为，关于y轴的对称点为．

(3)    点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．

(4)    点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．

(5)    点关于点的对称点为．

1. 【人教A版选择性必修一 习题2.1 第4题 P58】若点，，三点共线，则的最小值等于          ．
2. 【人教A版选择性必修一 习题2.2 第13题 P68】已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为          ．

 

 

【方法储备】