山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高一上学期1月质量检测数学试题

高一数学教学质量检测 2026.1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“是第一象限角”是“是锐角”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2.函数的定义域是(    ) A. B. C. D. 3.函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 5.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯该木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少，若要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤(    ) A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 7.如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的值域为，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列计算正确的有(    ) A. B. C. 若，，则 D. 若，则 10.已知角满足，则(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，则(    ) A. 函数有个零点 B. 若函数有个零点，则 C. 关于的方程有个不等实数根 D. 若关于的方程有个不等实根时，实根之和为，有个不等实根时，实根之和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数，的值域为          ．(区间表示） 13.已知，且，则           ． 14.已知函数，若恒成立，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知． 求的值； 若，求的值． 16.本小题分 已知函数，满足． 求的解析式； 判断函数的奇偶性； 解不等式． 17.本小题分 已知函数 求函数的最小正周期； 求函数的单调递增区间； 若，求函数的最值及其相应的值． 18.本小题分 已知函数． 若，求的取值范围； 若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． 求的取值范围； 证明：． 19.本小题分 设函数且，，已知，． 求的定义域； 是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是锐角，则是第一象限角，但是第一象限角，不一定是锐角，如， 故“是第一象限角”是“是锐角”的必要不充分条件． 2.【答案】 【解析】解：由已知可得，所以且， 所以函数的定义域是． 3.【答案】 【解析】解：易得函数在上单调递增，且函数图象连续， 由题知，，，，， 因为，所以是函数的零点所在的一个区间． 4.【答案】 【解析】解：在上单调递减，则； 单调递增，所以；又单调递减，所以， 所以． 5.【答案】 【解析】解：因为，，所以为等边三角形， 因为，所以，所以弧与弦围成的弓形的面积为： ． 6.【答案】 【解析】解：每过滤一次可使水中杂质减少，设要使水中杂质减少到原来的以下至少需要过滤次，则．又，所以． 7.【答案】 【解析】解：由题意得，且， 解得，所以，所以，因为， 所以， 所以． 8.【答案】 【解析】解：当时，， 因为，则，，所以，， 因为函数的值域为，所以当时，的值域要包含， 在上单调递增，则， 那么要能取到内的值，就需， 因为单调递增，， 所以，即， 解得或，所以实数的取值范围是， 9.【答案】 【解析】解：，选项错误； ，选项正确； 若，，则，选项正确； 若，则，所以，选项正确． 10.【答案】 【解析】解：由，得， 所以，则，化简整理得， 所以，或，当时，， 当时，， 当时，， 当时， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：对于，由函数解析式可画出函数图象如下： 显然函数图象与轴仅有三个交点，可得A正确； 对于，若函数有个零点，可得函数与函数有两个交点， 可得或，因此 B错误； 对于，令，由可得， 易知； 结合图象可知函数有三个零点， 不妨取， 结合图象可知两个零点在抛物线对称轴的两侧， 且在函数的对称轴的右侧， 易得； 易知与函数的图象有个交点， 与函数的图象有个交点， 与函数的图象有个交点， 因此关于的方程有个不等实数根，即C正确； 对于，若关于的方程有个不等实根时， 可得或， 当，利用对称性可知实根之和， 当，实根之和为， 当有个不等实根时，可得， 实根之和为， 即可能或，可得D错误． 12. 【答案】 或解：因为，所以，所以函数的值域为 13.【答案】  解：因为，所以， 令，则，化简得，即，解得或舍去， 故，解得，符合题意．故答案为： 14.【答案】 ，当且仅当，即时取等号， 所以， 不等式可化为， 所以恒成立，而， 当且仅当，即时取等号，因此，所以的最大值为：． 15.【答案】解：因为，......3分 所以．......6分 因为，所以 ．......13分  16.【答案】解：因为， 所以，所以，......2分 设，则， 则，所以，即；......5分 因为函数的定义域为，满足，......7分 且，所以该函数为奇函数；......10分 因为，则，......12分 所以，解得或，.....14分 又因为，所以的解集为：．......15分  17.【答案】解：；......3分 由，，......5分 得，......7分 函数的单调递增区间为；......9分 ，，......12分 ，......13分 当，即时，函数有最大值，......14分 当时，即时，函数有最小值． ......15分 18.【答案】解：对于，令， 则可化为， 若，则，即， 解得，得到，解得，......2分 则的取值范围为．......4分 若关于的方程有两个不相等的实数根， 则方程有两个不相等的正实数根， 得到与有两个不相同的横坐标大于的交点，......6分 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，......8分 而，最小值为，故，......10分 因为方程有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等的正实数根，......12分 而我们把方程的两个根设为，， 则设的两个根为， 由韦达定理得，即，......14分 结合，得到，......16分 即，解得，原命题得证．......17分 19. 【答案】解：由，得，即， 由，得，即，......2分 ，解得，或舍，，......4分 ．，，......5分 故的定义域为......6分 假设存在实数，，使得在区间上的值域是 由易知在上单调递增，......8分 ......10分 即．......12分 令，，， 即，为方程的两个不等实数根且， 令，......13分 则解得．即，......15分 即，故存在实数符合条件，的取值范围是 ......17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $