拓展寒假作业 相似三角形11大模型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 相似三角形11大模型 一、 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 二、8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 三、 AX模型 （一）模型特征 类型 “AX”形 条件 AD∥BC 图示 结论 △AEF∽△CEB；△GFD∽△GBC 四、 子母模型 （一）模型特征 类型 斜A型相似 条件 当时， 图示 结论 五、一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 六、射影定理模型 模型特征 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 七、三角形内接矩形模型 模型特征 条件 在中，DEFG是其内接矩形 图示 结论 AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 八、燕尾模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 ( 过点 E 与点A辅助线作法一样 ) 过点B作辅助线 ( 过点 D 与点 B 辅助线作法一样 ) 过点C作辅助线 过点F作辅助线 九、手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 ( AD 在 内且 拉手线无交点 AD 在 外 且 拉手线无交点 AD 在 外 且 拉手线有交点 ) 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 十、十字架模型 模型特征 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 A字模型 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 【答案】B 【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键． 根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴, ∵，，， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，点在上，，交于，且，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键，利用，得出，再代入值求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 8字模型 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积与底的关系，相似三角形的判定与性质，掌握“同高三角形的面积比等于底的比”是解题关键． 由​得出线段比，再通过平行线判定相似三角形，得到对应边的相似比，最后结合“相似三角形面积比为相似比的平方”，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键．如图所示（见详解），根据相似三角形的性质，三角形的高的比等于相似比，由此可求的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意得，正方形，， ，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于， ∴四边形和是矩形， ∴，， ∵，，，设，则， ∴， ∴，即，解得， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，若，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【详解】（1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 题型三 AX模型 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． (1)求证：； (2)若的面积为9，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形基本性质，相似三角形的证明及性质，熟练掌握相似三角形的证明是解题关键； （1）通过平行四边形的基本性质得到，进而得证，从而可证得相似； （2）先证明，然后再通过比例性质得到相似比，最后可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）结合菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质即可得证； （2）设菱形的边长为，则，，证明，由相似性质求出的值，可得，再由推得即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； （2）解：设菱形的边长为，则，， ， ， ， ，解得， ， ，， 由（1）得， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 12．（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 子母模型 13．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 14．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似三角形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，根据相似三角形的性质有为相似比的平方，由此可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故与的相似比为， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，的高相交于点H，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用相似寻找证明相似的条件． （1）根据已知条件得到，由于，于是得到； （2）由可得，再利用可证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，即． 又∵， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 题型五 一线三等角模型 17．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 19．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据等边三角形的性质证明即可求解； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， ∴；或， ∵或 解得， ∴的值为； （3）在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确利用“一线三等角”基本图形求解． 20．（25-26九年级上·北京通州·月考）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ∽； （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 题型六 射影定理模型 21．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似三角形的性质以及相似比的应用．利用互余关系证明：，可证，然后利用相似比，就可求出的值． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， ∴， 解得∶， 故答案为：16． 22．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； (3)在（2）的条件下试求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点E作，交于点H，推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点C，延长交于点M，设，得到，，，由勾股定理，得到求出，推导出为等腰直角三角形，且，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，，E为的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ； （2）解：过点E作，交于点H，如图 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）过点C作于点C，延长交于点M，如图 设， ∵， ∴， ∴ ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， 即． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，． (1)如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积； (2)如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：； (3)如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)取得最小值 【分析】（1）分别求出和的面积，再求和即可； （2）连接，，证明即可； （3）取中点，连接，，分别求出和的长度即可求出最小值． 本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、射影定理、几何变换、三角形三边关系等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 【详解】（1）解：如图1，作于． ， ， ， ，，， ， , , ，， ， ， 在和中： ， ，， , ， ， ． 故答案为：3． （2）如图2，连接，连接交于点，设与交于点． ，，为中点， ，，， 于， ， ， ，即， 在和中： ， ，， ， ， ， ， ， 在和中： ， ． （3）如图3，取中点，连接，，连接交于点，作于点，设交于点． 由轴对称性质可知：,垂直平分，即，， ， ， ，即， 于点， ， ， ，即， ， , 设，则，， 设，则， 由射影定理可知：，即， 解得：或（舍去）， ，， ， ， 为中点，， ，，， ， , ， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 题型七 三角形内接矩形模型 25．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】1.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据矩形的判定定理解答即可； （2）证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ， ， 四边形为矩形． （2）解：，四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 的周长为8， 的周长为16． 28．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当面积为时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长． 【答案】(1) (2)这个零件的边长为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，由对应高之比等于相似比得，据此求解即可 【详解】（1）∵，高， ∴． ∵矩形零件， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为． 题型八 燕尾模型 29．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，D、E分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点F，且，，若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作交于点，先证明，得到，求出，再证明，得到，求出，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 30．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如果，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)的长为 【分析】本题主要考查菱形的性质、全等三角形、相似三角形，熟练应用菱形的性质是解题的关键． （1）首先利用菱形的性质得到对应边、对应角相等和对应边平行，进而得到，再利用平行和角度转化，即可得到； （2）首先利用可以得到，再利用平行线成相似三角形得到，进而得到，再利用即可得到； （3）首先利用菱形的性质得到，进而将转化为即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，，，， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴的长为． 31．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 32．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例的性质，过点作交于点．由平行线分线段成比例得到，，结合中点从而得，，由此证得即可求出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点． ，． 又，点是的中点， ， ． ． 题型九 手拉手模型 33．（24-25九年级上·山东临沂·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 【答案】（1）；；（2）①  ；②；（3） 【分析】（1）①根据“边角边”证明，可得； ②根据全等三角形的性质得设交于点O，根据，结合三角形内角和定理求得可得结果； （2）先证明，可得，，根据三角形的外角的性质得，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据三角函数得，接下来求出，证明，求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）解：①，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴ 设交于点O， ∵， ∴ 即； 故答案为：； （2）①解：结论：，理由如下： ∵ ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：，； ②由①得，， ∵ ∴，． 在中，． 在中，； （3）解：根据勾股定理，得， 在中，， ∴． ∵, ∴． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，灵活选择相似三角形的判定定理是解题的关键． 34．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）在钝角三角形中， 为钝角，，．小坤和小朋同学进行了一项有趣的构造：分别以为边构造了如图一的等边三角形和等边三角形，他们发现一个有趣的结论：虽然的长度发生变化，但点和点之间的距离始终保持不变（即）． 为进一步探究，进行了另一种构造：分别以为边构造了如图2的正方形和正方形，请解答以下问题： (1)求点和点之间的距离； (2)当的长度变化时，点和点之间的距离是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； (3)在的长度变化过程中，当F、A、H在一条直线上时，如图3，设与交于点，求 的长． 【答案】(1) (2)不变，的长为 (3) 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明即可； （2）连接，，证明即可； （3）连接，，，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）连接，如下图： 正方形和正方形中， ，，， ∴， 即， 在和中， ∴ ∴； （2）不变，的长为 连接，，如下图： 四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，如下图： 四边形和四边形均为正方形， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，， ， ∴ 解得， ∴． 35．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 36．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 题型十 十字架模型 37．（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与探究 探究：    （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，且，，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． 迁移： （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O．若，，求的长． 应用： （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，垂直平分于点O．若，，请直接写出的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）7；（3） 【分析】（1）证明出，得到，，进而推出； （2）根据题意证明出，得到，代数求出，进而求解即可； （3）如图所示，连接，证明出，得到，代数得到，设，则，，求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即； （2）∵点F为的中点，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴； （3）如图所示，连接    ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 设，则 ∴ ∵垂直平分于点O ∴ ∵ ∴，即 解得或（舍去） ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 39．（25-26九年级上·江苏南通·月考）在矩形中，点是上的一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）记于点，则，所以，由四边形是矩形，可得，然后通过同角的余角相等得到，从而证明； （）由得． 【详解】（1）解：如图，记于点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的值为． 40．（2024·广东梅州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型十一 动态模型 41．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 42．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ②当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 43．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 【答案】 0或4 5或2 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）分两种情况：当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 故答案为：或； （2）当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：5或2． 44．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在矩形中，，，点M为边上一动点（点M与点B、C不重合），连接，过点M作，垂足为M，交或的延长线于点N． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，再由同角的余角相等可得，即可得证； （2）先求出，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二 折叠模型 45．（2025九年级·全国·专题练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用——证明三角形角平分线分线段成比例及角平分线分线段成比例的运用，掌握平行线分线段成比例及折叠性质是解题的关键． （1）过点C作，交BA的延长线于点E．通过证明，再结合平分线分线段成比例即可求证； （2）利用折叠前后图形全等并利用（1）问的结论即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图，过点C作，交BA的延长线于点E． ， ． 平分， ， ， ． （2）解：由折叠，得． E是BC的中点， ． 由折叠可知，CD是的平分线， ， ． 46．（2021·广东·模拟预测）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点F处，交于点E．连接，与延长线交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理和相似三角形的判断和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点F处， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，证得是解题的关键． 47．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由矩形的性质得，由折叠的性质得，再根据余角性质可得，进而即可求证； （）由相似三角形的性质可得，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 由折叠得，， ∴． 48．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为． (1)如图1，当点到、的距离相等时，求的长． (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）过点作于点F，延长交于点E，证明，得出，设，根据列方程求出即可； （2）过点作于点M，延长交于点N，证明，得出，设，则，列方程求出即可求出结论． 【详解】（1）解：过点作于点F，延长交于点E， 则， 在矩形中，， ， ∴四边形是矩形， ， 当点到、的距离相等时，即， 由折叠得：， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ； （2）解：过点作于点M，延长交于点N， 同（1）四边形是矩形， ， 同（1）知：， ， 由折叠，， 设，则， ， ， ， 解得：，即， 的面积． 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明，接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，已知直线，直线分别交直线于三点，直线分别交直线于三点，如果，，，那么长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例，列出比例式，再将，，代入即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵，高， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形边长为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键，作于点H，先证明，求出，再证明，求出，最后根据勾股定理求出结论． 【详解】解：作于点H， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，注意与相似要分情况讨论． 根据勾股定理可得，设，则，根据与相似，分两种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 由折叠的性质得， 设，则， 与相似， 分两种情况讨论： ①若， ，即， 解得， ； ②若， ，即， 解得， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，是边上一点，交于点，且 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确利用相似三角形的性质求解． 可得，然后求出，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质证明相似即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理，得到，，证明，得到，由（1）知，，得到，进而得出，即可证明； （3）根据相似三角形的性质，可证明，得到，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、是正方形的对角线， ∴和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 1．（25-26九年级上·四川达州·月考）中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． (1)如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） (2)如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； (3)如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，即可得到； （2）证明，即可求出，再利用即可求出； （3）设和交于点H，设，求出，，再求出，，即可求出，再利用勾股定理求出，所以． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3）解：设和交于点H， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形性质，菱形性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 2．（25-26九年级上·山东济南·月考）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2)成立，证明见解析； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【分析】此题是相似形的综合题，考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先设经过秒，△与△相似，则，，，分两种情况，若△△和△△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （2）设经过秒，分、或时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上，过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有，点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12厘米． 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析；； (2)． 【分析】（）设，交于点，当，则有，由四边形是矩形，得，所以，由，则，得，所以，证明，然后通过性质即可求证； 由知，，，所以，然后通过相似三角形性质即可求解； （）取的中点，连接，作，交于，所以，根据四边形是矩形，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，由题意得点和点关于对称，，所以，则有，由知，，得，不妨设，，则，由勾股定理得，则有，从而得． 【详解】（1）证明：如图， 设，交于点， 当，则有， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解：由知，，， ∴， ∴； （2）解：如图， 取的中点，连接，作，交于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点， ∴点和点关于对称，， ∴， ∴， 由知，， ∴， 不妨设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，矩形与折叠，轴对称的性质，同角的余角相等，平行四边形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（25-26九年级上·山东·月考）【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【答案】问题背景：，证明见解析；迁移应用：①，；②． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理． 问题背景：根据得到，即，根据用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； 迁移应用：①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，即可求解； ②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可． 【详解】解：问题背景：，证明如下： ， 又，， ． 故答案为：； 迁移应用：①在中，， ∵，， ， ∵D、E、M分别是、、中点， ∴， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 即． 故答案为：，； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：100min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 相似三角形11大模型 一、 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 二、8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 三、 AX模型 （一）模型特征 类型 “AX”形 条件 AD∥BC 图示 结论 △AEF∽△CEB；△GFD∽△GBC 四、 子母模型 （一）模型特征 类型 斜A型相似 条件 当时， 图示 结论 五、一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 六、射影定理模型 模型特征 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 七、三角形内接矩形模型 模型特征 条件 在中，DEFG是其内接矩形 图示 结论 AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 八、燕尾模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 ( 过点 E 与点A辅助线作法一样 ) 过点B作辅助线 ( 过点 D 与点 B 辅助线作法一样 ) 过点C作辅助线 过点F作辅助线 九、手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 ( AD 在 内且 拉手线无交点 AD 在 外 且 拉手线无交点 AD 在 外 且 拉手线有交点 ) 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 十、十字架模型 模型特征 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 A字模型 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，点在上，，交于，且，则 ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型二 8字模型 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，若，则与的面积之比为 ． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 题型三 AX模型 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． (1)求证：； (2)若的面积为9，，求的面积． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 12．（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 题型四 子母模型 13．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是 （    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，．若，则 ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，的高相交于点H，连接．求证： (1)； (2)． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 题型五 一线三等角模型 17．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 19．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 20．（25-26九年级上·北京通州·月考）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 题型六 射影定理模型 21．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则 ． 22．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 23．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； (3)在（2）的条件下试求． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，． (1)如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积； (2)如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：； (3)如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值． 题型七 三角形内接矩形模型 25．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 26．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 27．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长． 28．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当面积为时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长． 题型八 燕尾模型 29．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，D、E分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点F，且，，若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 30．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如果，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求． 31．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 32．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值． 题型九 手拉手模型 33．（24-25九年级上·山东临沂·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 34．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）在钝角三角形中， 为钝角，，．小坤和小朋同学进行了一项有趣的构造：分别以为边构造了如图一的等边三角形和等边三角形，他们发现一个有趣的结论：虽然的长度发生变化，但点和点之间的距离始终保持不变（即）． 为进一步探究，进行了另一种构造：分别以为边构造了如图2的正方形和正方形，请解答以下问题： (1)求点和点之间的距离； (2)当的长度变化时，点和点之间的距离是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由； (3)在的长度变化过程中，当F、A、H在一条直线上时，如图3，设与交于点，求 的长． 35．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 36．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 题型十 十字架模型 37．（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与探究 探究：    （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，且，，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． 迁移： （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O．若，，求的长． 应用： （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，垂直平分于点O．若，，请直接写出的长． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 39．（25-26九年级上·江苏南通·月考）在矩形中，点是上的一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 40．（2024·广东梅州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 题型十一 动态模型 41．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 42．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 43．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 44．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在矩形中，，，点M为边上一动点（点M与点B、C不重合），连接，过点M作，垂足为M，交或的延长线于点N． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十二 折叠模型 45．（2025九年级·全国·专题练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 46．（2021·广东·模拟预测）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点F处，交于点E．连接，与延长线交于点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 47．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 48．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为． (1)如图1，当点到、的距离相等时，求的长． (2)如图2，若，求的面积． 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，已知直线，直线分别交直线于三点，直线分别交直线于三点，如果，，，那么长为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为 ． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点B的对应点D恰好落在边上，当与相似时，的长为 ． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，是边上一点，交于点，且 ，则 ． 9．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 1．（25-26九年级上·四川达州·月考）中，点E是线段延长线上的一个动点，连接，过点A作交射线于点F． (1)如图1，若四边形是正方形，写出与之间的数量关系： ；（直接写出结论） (2)如图2，若四边形是矩形，且，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明； (3)如图3，若四边形是菱形，且，过点A作于点E，过点A作，交过D点与垂直的直线于点F，求． 2．（25-26九年级上·山东济南·月考）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 3．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 6．（25-26九年级上·山东·月考）【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． 【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $