河北省沧州市海兴县部分学校2025～2026学年高二上学期1月调研考试数学试题

2025~2026学年第一学期高二年级1月调研考试 数学试题参考答案、提示与评分细则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D A B C D ABD AD ABD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.【答案】B πV3 【解答】解：因为直线的倾斜角为云，所以直线的斜率k=tan ,所以直线的一个方向向量为Q, 6 63 =0,5),与其共线的方向向量为5，). 2.【答案】B 【解答】解：由a,,c共面，向量a=(1,0-1),b=(-1,2,3),c=1,2,)共面， 可得存在实数1，，使得c=ā+b,即1,2，)=(-，2，-+3四， [1=2-4 则{2=2μ，解得元=2,4=1，t=1,即c=1,2,1),所以c=V12+22+1=√6. t=-+3u 3.【答案】c 【解答】解：设直线与椭圆的交点为4，)，，)，￡+上=1①，三+上-1②， 36m 36 ①-②可得，任，+)-+y-2,则当业=-".X+, 36 x-x236y+y2 点(4,2)为点4，)，B,)的中点，则+=4，当+业丝=2， 2 2 直线+2-8=0的斜率为}则兴=宁板号%是解得m=9, 厅以椭园方程为：5+。1，即c=G-b=36=9=27,解得c=33,故该椭圆的焦距为63 4.【答案】D 【解答】解：因为平面α的一个法向量元=1，-2,2)，点A1,0,1)在平面内，B(2,1,3), 所以=012，所以点8到平面a的距离为d-121. 11,-2,2)1 5.【答案】A 【解答】解：因为Sn=n2+n,当n=l时，a=S=2, 当心2时，a,=S。-S1=2+n-[n-1)2+n-1]=2n,n=1时也符合上式， 所以{a}的通项公式为2n. 6.【答案】B 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第1页（共8页) 【解答】解：由圆C:(x-6)2+(y-2)2=9,可得圆心C(6,2),半径5=3， 由圆C,:x2+y2-6x+4y+9=0,化简为(x-3)2+(y+2)2=4,可得圆心C,(3,-2),半径3=2， 则1CC,=√3-2+(-2-2》=5=5+5，故圆C,与圆C,的位置关系为相切. 7.【答案】c 【解答】解：因为A,B,C,D是空间不共面的四点，又点P满足：PA-4DA=2PB-3CA, 所以BA-PB=4(DB+BA)-3(CB+BA,故BP=-4BD+3BC, 所以根据空间向量的共线定理可得P,B,C,D四点共面. 8.【答案】D 【解答】解：个，g分别为双曲线C等片=a>06>0的左、右焦点，P为c左支上一点，满足 RP明-牙∠RQg-,△P5的三个内角都是号 从而|PQ曰HPF,结合双曲线定义得1PE|-|PR=2a,故1QE=2a, 又1OR-10R上2a,故1R非4a,结合∠R0g=2红， 3 故由余弦定理得(2)2+(42-2×2a×4a×cos 行-，化简得4c=28a,解得e=台厅. a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 【解答】解：点P,Q到1的距离相等，则1过四的中点，或1的斜率与0=的斜率相等，0的中 点为(-1,2)，过点(-1,2)的直线为A,D选项： 由于P口的斜率为}，则B选项符合条件. 10.【答案】AD 【解答】解：因为a=1,a1=2S,meN),所以当n=1时，a=2S=2a=2, 当心2时，a1=S1-3=a,-a,所以a-,2,所以a=3, 22 2 2 2x3,n≥2’故D正确； 「2，n=1 因为a4,=2a,所以从第二项起，数列{a,}是公比为3的等比数列，所以a= 因为a,=2x3”-2随着n的增大而增大，所以a无最大项，故C错误： 0+2 所以S=,1=3,故B错误：因为S=2-2=3, 2 S d 2 所以数列{S}为等比数列，故A正确. 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第2页（共8页) 11.【答案】ABD 【解答】解：作出图形，如下图所示： 对选项A,由图可知该半圆围成的几何体为圆锥， S 设圆锥底面半径为r,则2πr=4π，r=2,.CE=4, P为4s的中点，0为D的中点，R0/5D,且P0=2=C8, F .∠CFE=90°，.△CEF为等腰直角，：.选项A错误； 对选项B,若SA1平面CEF,则∠AFO=90°， 、E 在直角△AOF中，可知AO=OF=AF=2,.∠AFO=60°，.选项B错误： AB尺-0二 对选项C,F为SA的中点，O为AD的中点， .FO1/SD,又SD平面EC,OC平面EFC,.SD/平面EFC,.选项C正确： 对选项D,:CE⊥AD,CE⊥SO,又AD∩SO=O,∴.CE⊥平面SAD,又CEC平面CEF, .平面CEF⊥平面SAD,.D到直线FO的距离即为D到平面CEF的距离， 又FO/1SD,.D到直线FO的距离等于O到直线SD的距离，即为√，.选项D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】②③. 【解答】解：对于①，a=g+e,b-e+e,c=e-e=g+e-,+e)=a-b, 所以ā，b,c共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误： 对于②：假设a,b,c共面，则存在实数x,y,使得c=a+b, (0=x+y 则(0,1,1)=x1,1,0)+y0,0,1),即1=x,显然不成立， 1=y 此方程无解，所以ā，五，c不共面，可以作为基底，故②正确： 对于③：假设a,b,c共面，则存在实数x,y,使得c=xa+b, (0=2x+y 则(0,1,1)=x(2,2,0)+y(,0,1),即1=2x,显然不成立， 1=y 此方程无解，所以ā，五，c不共面，可以作为基底，故③正确： 13.【答案】9. 【解答】解：设等差数列a)的公差为d,由8-4+a)-9如-126，得a-14, 又4=4+4d,得d=14-2=3,所以a,=4+k-0d=2+3k-D=3k-1=26,解得k=9. 5-1 14.【答案】00：6 【解答】解：设点M(,0),m>0,A(,),B(x2，y), 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第3页（共8页) 当直线1的斜率不为0时，设其方程为x=y+,代入椭圆方程并整理可得(+5)y2+2y+m2-5=0, △=4mr-42+5m-列>0，y+%=m5,=+5 2mt m2-5 所以1+1 1 1 1+5=1+y-2与] AMFBMF+(m++1+1y 2”G. m2-5 因为当直线1绕点M旋转时，有1 MT+BMT=(为常数)， +1 当t=0时， 1,110 IAMP BMP-5-m' 当t=1时， MTi26-mm5'所以52m 1 1 22 6 610 (5-m2ym2-55-m2' 解特-号，所以u0,代入 110 AMI BM=5-m-6 当直线1的斜率为0时也成立，经检验，适合题意 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)x+y2-8x+6y=0;(2)0或15 【解答】解（1)根据题意，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 圆C经过三点O(0,0),M1,1),N(4,2) (2分) F=0 D=-8 则有1+1+D+E+F=0,解得E=6 (4分) 16+4+4D+2E+F=0 F=0 所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0… (6分) （2)圆的方程化为标准方程得（化-4）2+0y+3)2=25,则圆心C(4,-3)…半径r=5, 当切线斜率不存在时，方程为x=1…（7分) 圆心C(4,-3)到直线x=1的距离为3≠5，不符题意… (8分) 当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=k(x-1),即-y-k+2=0. （10分) 圆心C4,-3)到切线的距离+3-k+2=5,解得k=0或5。 (12分) Vk2+1 8 综上所述，切线方程的斜率为0或号 (13分) 16.【答案】(1)证明见解析；(2)0-12+2：(3)1-1 221.(0n+1) 【解答】解：(1)证明：由a=1,且a1=S+Sn1,可得=S+S2=2a+4,=2+4…（1分) 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第4页（共8页) 解得a=2(-1舍去)… (2分) 由dG1=S1+S,可得a=S+S1n≥2)， 两式相减得C1-d=a1+a(n22)… (4分) 因为a,>0,所以a1+a,≠0，所以a1-a=10心2)，上式对n=1也成立， 所以数列{a}是首项和公差均为1的等差数列…(5分) (2)由（1)知，数列{a}的通项公式为4=n,则bn=2”·n… (6分) 可得B,=2x1+22×2+23×3+…+2”.n, 则2B,=22×1+2×2+24×3+…+21.n, 两式相减得-B.=2+2+2++2-21.n=20-29）-2,n=0-一m21-2 (7分) 1-2 所以B=(n-1）21+2… (8分) (3)由(1)知a,=n,所以&=0+四 … (10分) 2 则c=2= n+2_2n+1)-n_11 (12分) 2+2S2n0n+1)2+n(n+1）2”n2+1.(0n+1) 所以c吉3gg。 1 1 1 2”,n2.0+1)）224.(0m+1） （15分) 7.【答案】()P为PB上靠近P点的四等分点，理由见解答：(2)：(3)12 【解答】解：(I)当F为PB上靠近P点的四等分点时，EF/平面PAD.理由如下： 因为3PE=EC,，F为PB上靠近P点的四等分点，所以EF/BC… (1分) 又因为底面ABCD是菱形，所以AD/BC,所以EF/AD… (2分) 因为ADC平面PAD,EF止平面PAD,所以EF/平面PAD… (3分) (2)取AD中点O，,连接OB,OP, 因为△PAD为等边三角形，所以OP⊥AD,OA=1,OP=√5…(4分) 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD,OPc平面PAD,所以OP⊥平面ABC, 又因为OBC平面ABCD,所以OP⊥OB…（5分) 因为边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°， 所以△AOB为直角三角形，所以AD LOB…6分) 又因为OP⊥AD,OPc平面POB,PBc平面POB,OP∩PB=P,所以AD⊥平面POB, 又因为PBc平面POB,所以AD⊥PB,即PB⊥BC,计算可得OB=√5，PB=√6.(7分) 设点A到平面PBC的距离为h,则V=e,即}Sch= 1 3 S4Bc·OP, 3 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第5页（共8页) 所以×x2×V6=×x2xV5xN5,解得h-5,所以点A到平面PBC的距离为 … (8分) 32 2 2 (3)由(2)知，OA,OB,OP两两互相垂直， 则分别以OA,OB,OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P0,0,5),C(-2,3,0),A0,0,0),D(-1,0,0), 所以PC=(-2,5,-5),OP=(0,0,V5),AD=(-2,0,0)… (9分) 设PE=PC(0≤≤1)，则PE=(←2元，√3，-V5) (10分) 所以oE=op+PE=(21,V32,5-5),得E(-21,V3元，3-5)， 则AE=(21-1,5,5-5)… (12分) 又因为OP1平面ABC,则平面ABCD的一个法向量为？=(0,0,1)， 设AE与平面ABCD所成的角为B, 则sin0=cos(AE,n)= 13-5 30 解得=}…(14分) V(-2元-1)2+322+(3-3)2 所以PB=PC,BC=2PC,所以PB:BC=1:2… (15分) 3 18【答米】0若+号-1：2)08，@号. 【解答】解：(1)因为点R(-1,0),E4,0),动点P到点F和E的距离之和为4， 所以|FE,=2,|PE+|PE=4>2FE1,所以动点P的轨迹是以乃和E,为焦点的椭圆…（2分) 故可设6园的方程为普+若=ab>0, 则c=1,2a=4,所以a=2,B=d2-c2=3,所以曲线c的方程为+ =1…(4分) 43 (2)①由（1)知，a=2c,b=V3c,得△AFE为正三角形， 则由DE LAF,得直线DE为线段AE的垂直平分线， f所以|DA曰DE,且|EAEE|… (6分) 则△ADE的周长为1ADI+IAEI+|DEDE,|+|EE,|+|DEDF|+|EF,I+(DFI+|ED =(Dr|+|DE2)+0Ef|+|ED=4a=8........ (8分) ②(ID当直线oD,OB的斜率一条为0，另一条不存在时，△ODE的面积为b=V3…(10分) (Ⅱ)当直线OD,OE的斜率存在且都不为零时，设直线OD:y=, 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第6页（共8页) y=kx 12k2 于+每3+4092，即”@言 42+3' 则0D=,12+12=12k+D 4k2+342+342+3 … (12分) 同理可得，OB:-122+) 3k2+4 (14分) 故△oDB的面积为兮0D08=9g+42022+D+云 6(k2+1) 6(K2+1) 6 12(k4+2k2+1)+2 k4+2k2+1 6 6 (16分) 2 1 12++2k2+1 12+ 2+ 1 2 当且仅当启， 即k=1时取最小值.综上，△oD的面积的取值范围为号，]…(17分) 19.【答案】(1)兰+=1：(2)①答案见解析：②不存在，理由见解析. 43 【解答】解：(1)因为椭圆c的离心率为}，且过点4N5,5, 层+1 所以e-后号，解符a=2b=5.c-1 (3分) a 2 a=b2+c2 则椭圆℃的方程为长+三1… (4分) (2)①若直线1与C交于不同两点P(,)、Q(x2,y2), 当直线1的斜率不存在时，此时x=x2,y=-y,因为+=4， 所以sHx上2,1yH上6 …（5分) 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=+m(m≠0)， (x2 y 联立4+3-1，消去y并整理得(3+4k)x+8m+4m-12=0, y=k你+m 此时△>0，解得3+4k2>m2… (7分) 8kn 由韦达定理得+名=3十顶 4m2-12 (8分) 3+4k2 因为x2+x=4, 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第7页（共8页) 64k7m_82-24_3227m2-24m+96+72=4, 所以+=3+，)广-26+4ky3+4掀 3+4k2)2 整理得(4-342+3-2)=0，解得2=3或3+4k2=2m2…(9分) 当直线的解华不存在时，8g头=盟6=， 当直线1的斜率存在时，易知点o到直线的距离d= V1+k2 所以5ePOd=1++r4 v1+k2 m 8kmL-4.4m2-12_25m3+4k2-m2 21V 3+4k2 (11分) 3+4k2 3+4k2 若太子，此时sg-25m6-m5m6m不是定值： 6 3 若3+4k=2m2,此时S02W3到V27心-三B为定值… (12分) 2m ②设M化，)，因为点M在椭圆上，所以至+=1， 43 因为So0=Sgow=Suon=V5=SiBc' 3 所以点。到三边的距离等于对应边上的高长的} (13分) 。+X+=0 则o为△POM的重心，此时 3 y。+4+业=0 3 由(2)知3+42=2m,则，=-k+x)=,8-86-4 (15分) 3+4k22m2-m %=0)+02(203e=品即a皓3， 8k'm nn 43 所以m+=1,又3+4k2=22,此时联立无解… (16分) 4 3 所以不存在点M使得条件成立. 故椭圆C上不存在点M,满足So0=SoM=Sop=V5… (17分) 以上各解法仅供参考，各解答题如有其它解法且正确，清按相应步骤给分。 高二年级1月调研考试数学试题参考答案、提示与评分细则第8页（共8页)姓名」 座位号 (在此卷上答题无效) 机密·启用前 2026.1 2025~2026学年第一学期高二年级1月调研考试 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.已知直线的倾斜角为严，则直线的一个方向向量为() A.(N3,1) B.1,V3) C.1,-3) D.(V3,) 2.若向量a=1,0,-1),b=(-1,2,3),c=1,2,)共面，则1c=() A.6 B.√6 C.30 D.√30 3.已知椭圆二+上-1的焦点在x轴上，直线x+2y-8=0被该椭圆截得的弦被点4,2)平分，则该椭圆 36m 的焦距为() A.33 B.9 C.65 D.12 4.已知平面α的一个法向量元=Q,-2,2),点A1,0,1)在平面内，则点B(2,1,3)到平面x的距离为 ( A3 1 B C.4 D.1 5.已知数列{a,}的前n项和公式为S=n2+n,则{a,}的通项公式为() A.a =2n B.a=n C.a.=2n-1 D.4.=2n+1 6.已知圆C:(x-6)2+(0y-2)2=9和圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0,则它们的位置关系是() A.外离 B.相切 C.内含 D.相交 7.已知A,B,C,D是空间不共面的四点，点P满足：PA-4DA=2PB-3CA,则() 【数学试题第1页（共4页）】 A.P,A,B,C四点共面 B.P,A,B,D四点共面 C.P,B,C,D四点共面 D.P,A,C,D四点共面 8.已知天，男分别为双曲线C手若-1a>6>0)的左、右焦点，P为C左支上一点，满足∠PR 3 PR与c的右支交于点Q,若∠FQR=于，则c的离心率为( ) A.3 B.5 C.6 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知点P1,3)与Q(-3,1)到直线1的距离相等，则1的方程可以是() A.2x+y=0 B.x-2y-3=0C.2x+3y-5=0D.3x-2y+7=0 10.设数列{a}的前项n和为S。,若4=1，a1=2S.(n∈N),则下列说法正确的是() A.{}为等比数列 B.S.=3" C.4,既有最大值也有最小值 [1,n=1 D.a=2-3,n22 11.如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C,D, E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点 的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是() A.△CEF为正三角形 B.SAL平面CEF C.SD//平面CEF D.点D到平面CEF的距离为2W3 D 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间向量中，能作为基底的一组向量是一： Da=e+e,,b=e,te,c=e,-e; ②a=1,1,0),b=1,0,1),c=(0,1,1): ③a=(2,2,0),b=1,0,1),c=(0,1,1). 13.已知等差数列{a}的前n项和为S,且a=2,S,=126,若4=26，则k= 14.已知船圆C号+y-1,过：轴止半销上一定点M作直线，交椭圆c于4，g两点，当直线！绕 点M旋转时，有®=以为常数，则定点M的坐标为一，无 【数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知圆C经过三点O(0,0),M1,1),N4,2). (1)求圆c的方程： (2)过点P1,2)作圆C的切线，求切线方程的斜率. 16.（15分)已知正项数列{a}的前n项和为Sn,a=1,且d1=Sn+Sn+1 (1)证明：数列{a,}是等差数列： (2)若b,=2”a,求数列{b}的前n项和B; (3)若c,=,a。，求数列{c}的前n项和C. 2+2S 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平 面PAD⊥平面ABCD,∠BAD=60°，点E在线段PC上. (1)若3PE=EC,在PB上找一点F,使得EF11平面PAD,并说明理由： (2)求点A到平面PBC的距离： 3》若直线4迟与平面ABcD所成的角的正弦值为Y0,求P吸：C的值， D 【数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，己知点F(-1,0),E1,0),动点P到点和E的距离之和为4， 记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)设直线l与曲线C交于D,E两点. ①若点A(O,√5)，直线1过点F且与直线AE垂直，求△ADE的周长： ②若OD⊥OE,求△ODE面积的取值范围. 19.(17分》已知精园C普若-e6:的商心率为时且过点5，。 (1)求椭圆C的方程： (2)若直线1与C交于不同两点P(x,)、Q(x,,),且满足x+x=4,O为坐标原点，则： ①△P0g的面积Se是否为定值？ ②椭圆C上是否存在点M（异于点P、O),满足Saoo=Sow=So=V5,如果存在，请判断△POM 的形状：如果不存在，请说明理由. 【数学试题第4页（共4页）】