精品解析：上海市莘松中学2025-2026学年七年级上学期数学周测（17）

2025学年第一学期七年级数学第十七周周练卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知=3，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 5. 下列语句中，正确的是（ ） A. 中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D. 经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 6. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（ ）． A. B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 用代数式表示：的平方减去的倒数的差__________________． 8. 关于x的不等式2x－m≤－1的解集如图所示，则m的值是______． 9. 计算：______． 10. 将化为只含有正整数指数幂的形式为______． 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值为零，则的值等于______． 13. 计算：______． 14. 五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程________． 15. 若，则代数式的值为______ 16. 若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________． 17. 如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么______． 18. 把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是______． 三、解答题（本大题共9小题，19-24每小题6分，25题8分，26-27每小题10分，满分64分） 19. 计算： 20. 解不等式：． 21. 计算： 22. 解方程：． 23. 如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形． （1）将向右平移个单位长度，画出平移后的． （2）将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的． （3）试问能否经过一次旋转后与重合，若能，请在图中用字母表示旋转中心并写出旋转角的大小；若不能，请说明理由． 24. 如图，已知是直角三角形，其中． （1）画出绕点A顺时针方向旋转90°后的； （2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是 （保留π）； （3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）． 25. 阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 26. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 27. 小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题： （1）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点．过点的直线与边分别相交于点，四边形的面积与平行四边形的面积之比为___________； （2）如图，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且在同一直线上． 请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； 延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图所示，当四边形的面积为10，四边形的面积为2时，求三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学第十七周周练卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 2. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 3. 若关于的不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的解集的确定，掌握口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集是解决本题的关键． 通过求解不等式组，根据解集条件确定参数范围即可． 【详解】解：由题意得，解第一个不等式： 解得， ∴第一个不等式的解集为， 第二个不等式的解集为， 当时，交集为，符合题意； 当时，交集为，不符合题意． ∴． 故选D． 4. 已知=3，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得. 【详解】 ， ， ， 则原式. 故选：. 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用. 5. 下列语句中，正确的是（ ） A. 中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D. 经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义及性质，根据中心对称图形和轴对称图形的定义及性质逐一判断即可． 【详解】A、中心对称图形是绕一个定点旋转后与自身重合，而非与另一个图形重合，说法错误，该选项不符合题意； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身（高是线段），说法错误，该选项不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，旋转后与自身重合，说法正确，该选项符合题意； D、 轴对称变换中，对称点的连线被对称轴垂直平分，而非对称轴被对称点的连线垂直平分，说法错误，该选项不符合题意． 故选：Ｃ 6. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 用代数式表示：的平方减去的倒数的差__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式，即可求解． 【详解】解：的平方减去的倒数的差即， 故答案为：． 8. 关于x的不等式2x－m≤－1的解集如图所示，则m的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先解出不等式的解集为，再由数轴可得不等式的解集为x≤1，从而得到，即可求解． 【详解】解：2x－m≤－1， 解得：， 根据题意得：关于x的不等式2x－m≤－1的解集为x≤1， ∴， 解得：m=3 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了含参数的一元一次不等式，解题的关键是根据数轴所表示的解集正确列出关于m的方程． 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法公式，将原式变形为，再利用平方差公式运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 将化为只含有正整数指数幂的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据，进行转化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是得出且．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时牢记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式的值为0可得出且，解方程即可得出结论． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得：且， 故答案为：1． 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式减法，因式分解，分式的化简，根据运算法则计算，再利用因式分解，将分子分解，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 五一期间，小雨一家自驾游到北京游玩，总路程600千米．前半程按计划速度行驶，为提前到达目的地，后半程将车速提高了，因遇到高速拥堵，耽搁40分钟，最终恰好在计划时间到达．设原计划速度为千米每小时，则根据题意可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时，根据时间路程速度，分别计算出原计划需要的时间，前半程的时间和后半程的时间，进而列出方程即可． 【详解】解：设原计划速度为千米每小时，则提速后的速度为千米每小时， 由题意得，， 故答案为：． 15. 若，则代数式的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由条件可得，再化简，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 16. 若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，根据不等式的性质得，求解关于的不等式即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和旋转的性质，根据旋转的性质得出，，根据中点的定义可得，则．熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∵点C恰好成为的中点， ∴，则． 故答案为：． 18. 把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．根据题意分类讨论，画出图形即可直观解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，19-24每小题6分，25题8分，26-27每小题10分，满分64分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式四则混合运算，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键：先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，涉及因式分解，掌握相关知识是解题关键．先计算小括号内分式化简后计算减法，再结合提公因式因式分解，再计算分式乘法，约分化简即可． 【详解】解： ． 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，计算正确以及记得对最后的解进行验证是解题关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：． ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 23. 如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形． （1）将向右平移个单位长度，画出平移后的． （2）将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的． （3）试问能否经过一次旋转后与重合，若能，请在图中用字母表示旋转中心并写出旋转角的大小；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求． （3）能，旋转中心，旋转角为 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移和旋转： （1）根据图形平移的基本性质作图即可； （2）根据图形旋转的基本性质作图即可； （3）连接，作线段的垂直平分线；连接，作线段的垂直平分线，可知两条垂直平分线必交于一点，该点即为点，的数值为旋转角． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 能 连接，作线段的垂直平分线；连接，作线段的垂直平分线，可知两条垂直平分线必交于一点，该点即为点，的数值为旋转角． 由勾股定理可得，，． 因为， 所以． 所以旋转角为． 24. 如图，已知是直角三角形，其中． （1）画出绕点A顺时针方向旋转90°后的； （2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是 （保留π）； （3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） （3）36π 【解析】 【分析】（1）依据旋转的性质，即可画出绕点A顺时针方向旋转90°后的； （2）根据旋转的性质得，，，再利用弧长公式计算出弧的长度，弧的长度，所以线段在旋转过程中所扫过部分的周长＝＋弧的长＋＋弧的长； （3）由于，则，然后利用扇形面积公式和线段在旋转过程中所扫过部分的面积＝﹣进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵绕A顺时针方向旋转90°后得到， ∴，，， ∴弧的长度，弧的长度， ∴线段在旋转过程中所扫过部分的周长 ＝＋弧的长＋＋弧的长 ， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴线段在旋转过程中所扫过部分的面积 ＝﹣ ＝﹣ ＝36π． 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是利用面积的和差计算不规则图形的面积． 25. 阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式的解集． （2）求不等式的解集． 【答案】（1）不等式的解集为； （2）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】（1）根据“异号两数相除，积为负”化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：根据“异号两数相除，积为负”可得 ①，或②． 解②，得无解．解①，得， ∴不等式的解集为：； 【小问2详解】 解：根据“同号两数相除，商为正”可得 ①，或②． 解①，得．解②，得， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 26. 某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】方案最节省工程款 【解析】 【分析】设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得，经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元）， 但乙单独做超过了日期，因此不能选． 方案的工程款为（万元）， 所以选择方案． 【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程＝速度×时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题． 27. 小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题： （1）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点．过点的直线与边分别相交于点，四边形的面积与平行四边形的面积之比为___________； （2）如图，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且在同一直线上． 请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； 延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图所示，当四边形的面积为10，四边形的面积为2时，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 根据（1）中的结论画出图如图所示， ； 三角形的面积为4 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，对角线相交于点，得，从而得到，即可证明出，同理可证明出，，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案； （2）根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可；由四边形是平行四边形得，由四边形为平行四边形，得，从而可得，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积为． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，对角线相交于点， ， ， 在和中 ， （AAS）， 同理可得，， ，，， ，， ， 即四边形的面积与平行四边形的面积之比为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于， 其中，， ， 即； 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 同理可得，四边形、四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， 三角形的面积为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $