20.1勾股定理及其应用（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦八年级下册勾股定理第1课时，核心内容为勾股定理的推导与应用。导入结合《周髀算经》历史情境，从直角三角形角的关系过渡到边的关系，通过方格图面积探究搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生发现规律。 其亮点在于融合数学文化与探究活动，以赵爽弦图证明勾股定理，培养学生几何直观与推理意识。通过含30°、45°角的直角三角形练习，强化运算能力与模型意识。助力学生发展逻辑思维，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第1课时 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第二十章 勾股定理 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 20. 2 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的应用 章节导读 勾股定理 勾股定理的实际应用 利用勾股定理作图或计算 学 习 目 标 1 2 3 理解勾股定理的推导过程，掌握勾股定理的数学表达形式（）； 能够运用勾股定理解决直角三角形中的边长计算问题； 在探究勾股定理的几何直观模型过程中，培养观察、归纳与逻辑推理能力. 章节导入 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五. 后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理. 本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识. 导入新课 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角，其余两个角互余. A B C 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 导入新课 在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示: 红色直角三角形的三边长分别为3，4，5 它们三边对应的正方形的面积分别为、、 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足： 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 新知探究 探究 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形，，的面积之间有什么关系？，，呢？，，呢？ 提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积 新知探究 以面积计算为例： = = = 故 同理： 类似的，任意作一个三角形，它们的三边也满足以上关系吗？ 新知探究 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？ = = = 则 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.  新知探究 猜想 条件：如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为 结论：那么 A B C 那么该如何证明这个猜想呢？ 下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法. 新知探究 赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以按此方式围成一个正方形，其中黄色部分也是正方形. 如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 探究 准备四个相同的直角三角形，将它们四个拼接成一个正方形，你会以什么样的方式拼接该正方形？ 赵爽弦图是如何证明勾股定理的呢？下面我们探究它的证明过程. 新知探究 探究 赵爽弦图证明勾股定理. 把边长分别为，的两个正方形连在一起 其面积为 这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形和一个正方形 将图中左、右两个三角形移到图中所示的位置 所得到的正方形的面积是 故 证明思路1： 新知探究 探究 赵爽弦图证明勾股定理. 证明思路2： 从赵爽弦图本身出发，假设其中直角三角形的三边分别是 小正方形的边为 新知探究 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”. “赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的. 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 新知总结 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么 A B C 符号语言： 在中， 则（、为直角边，为斜边） 典例分析 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 【分析】利用勾股定理，即可在知道两边的情况下求第三边 所以. 解：（1）在中，根据勾股定理 所以 （2）在中，根据勾股定理， ，从而 巩固练习 1.在中，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【 （1）解：在中，，， 可知 ∴． （2）解：在中，，， 巩固练习 2.如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积是多少？ 即正方形A的面积为25 【分析】由勾股定理求出是解决问题的关键．由勾股定理求出即可求解 解：如图所示： 根据题意得： 在中，由勾股定理得： 巩固练习 3.在平面直角坐标系中，已知点与点之间的距离为多少？ 【分析】取点，连接，，构造，然后根据点的坐标与勾股定理即可求解 解：如图所示，取点，连接， ∵， ∴， ∴在中， 巩固练习 4.如图，在中，． (1)若，，求和； （1）解：在中，，， ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 【分析】结合勾股定理以及含30°直角三角形的性质解答 巩固练习 (2)若，，求和 （2）解：在中，， ∴ 设 ∵ ∴ 解得 ∴ 【分析】结合勾股定理以及含45°直角三角形的性质解答 课堂总结 勾股定理 在中，， 则 如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么 感谢聆听! $