假期作业十三 导数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

三0022 12.解：因f(x)=1二工+k1nx, x f(x)=二x-9-）+é=红1 x21 1若≤0，则在[合e]上恒有f)<0, 所以f)在[日]小上单调递减， 所以fm=e-l号+ne=是+-1， fx)s=f(日)e-k-1. (2)若>0，由<日得>e, 则工一友 所以在[日e]小上单调递减。 所以fx)m=f(e)=1e+lne=】+k-1, e fs=f()）=e-e-1 综上所述，当<&时，x)m=是十k-1, f(x)max=e-k-1. 13.解：(1)f(x)=3ax2+2bx-3, 依题意，f(1)=(-1)=0,即3a+26-3=0, 13a-2b-3=0, 解得6所以f)=x3-3x, 1b=0. f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1或1. 若x∈(-∞，-1)U(1,十∞)，则f(x)>0, 故f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上是增函数； 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, 故f(x)在(-1,1)上是减函数. 所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=一2是极小值. (2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(xo,yo),则点M的坐标满足y0=x8-3xo, 因f(x0)=3(x6-1), 故切线的方程为y-y0=3(x6-1)(x一x0）. 注意到点A(0,16)在切线上，有 16-(x8-3.x0)=3(x6-1)(0-x0). 化筒得x8=一8，解得x0=一2. 所以，切点为M(-2,-2),切线方程为9x-y十16=0. 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnx,x>0. 六f(x)=2x+1-1-22+x-1_2x-D(z+D f(x)在(0，）上单调适减，在（合+∞）上单调逆 fm=f(）-n+n2 (2由巴知得f)=2z十a-<0在[1,2]上恒成立， ∴a≤-2x在[1,2]上恒成立.令gx)=-2红，x∈ [1,2],则8(x)=--2<0,gx)在[1,2]单洞逆 减，g(x)min=g(2)=- 名a≤一子，即实数a的取 7 值范国为(0，一引 高二数半 高考冲浪 1.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 则f(x)=3(x-1)(x一3)， 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值，点，故A正确； 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 故f(x2)<f(x),故B错误； 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确； 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2一x)> f(x)成立，故D正确.■ 2.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零点；B错，a<0时x=0应为极小值点；C错，任 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 假期作业十三导数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.B2.C3.B4.A 5.C[f(x)=f(2-x)+4x-4,求导得f(x)=-(2-x)+ 4,即f(x)十f(2一x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 数，则f(-x)=-f(x),求导得f(x)=f(一x),所以 f'(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x-2),结合 ①式可得，f(x)十f(x-2)=4,所以f(x-2)+f(x-4)= 4,两式相减得f(x)=f(x一4)，所以f(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f(1)=2,所以f(2025)=f(1)=2.] 6.A[f()=(x+m+1De-n(+1x>0.图为函 数f(x)=(x十m)e2-n(lnx十x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程为y=（2e一2)x十1-e,所以 f0)=(m士2)e-2n=2e-2,解得m=0所以f(x) {f(1)=(m+1)e-n=e-1, 1n=1, =xe-1nx-,则f(x)=(x十1)e2-1-1=(z+1) (e-子）令g)=c-子(e>0,则g)=e+是 >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.又 g合)=6-2<0，g(1)=e-1>0,则存在m (21使得g()=0,即存在∈（合1使得 (xo)=0,则e=1,故xo=ln是=-1no.当0<< x0时，f(x)<0,当x>x0时，f(x)>0,所以函数f(x) 在(0，xo)上单调递减，在(x0,十∞)上单调递增，所以 f(x)min=f(xo)=xoe2。-lnxo-x0=l.又因为不等式 f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为1.] 7.BD 8.ABC 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√2一x2梯形面积 S=(r+x)=-2x2-r+r -,令S=0得 √2-x2 x=?.当x∈(0，)时，S>0,S单调递增，当x∈ (2,r）时S<0,S单调递减.S在x=2时取得最大 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为下· 答案：r 10.解析：f(x)=3x2-a≥0在[1，+o∞)上恒成立， 即a≤3.x2在[1，十∞)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 11.解析：，总利润y(万元)与营运年数x之间的关系式为 y=-x2+12x-25, 平均利润兰=-x一2+12=-(+)+12， (2-1+◆-1+5=0，得x=5 ∴运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元. 答案：52 3 飞密快乐假期 12.解：(1)因为f(x)=a2x2十ax-3lnx+1,所以定义域为 (0,十∞)， 所以f(x)=2a2x十a-3=2a2x2+au-3 x =(2ax+3)(a.x-1) 因为a>0,x>0,所以2ax+3>0, x 令f(x)>0→ax-1>0→ax>1→x>1 f(x)单调递增. 令f)0>a-1K0>a<1→女， 因为x>0,所以0<x≤石，f(x)单词递减. 综上f在(0，日)上单调递减，在（日，十o)单调递增。 (2)由1)得知f)有最小值f(日)》 f(日)1+1-3n&+1=3+3ne. 若f(x)的图象与x轴没有公共，点，而3+3lna>0, lna>-1,a>1 e a的取值范周是（日+o∞） 13.1D解：f(x)=是，f(2)=号=2，解得a=4. (2证明：令g)=a(仙x-1+) 1-1 即az2>0,解得x>1, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增. 所以g最小值为g)=0,所以fx)≥a(1-士) (3)解：由题意可知e<ex,化简得1<ln,a> 1 后是令)=品则N)= nx-(x-1D:立， (In x)2 In z-1+1 x 所以h'(x)= (In x)2. 由(2)知，在x∈(1,0)上，lnx-1+1>0, 所以h'(x)>0,即函数h(x)在(1，e)上单调递增， 所以h(x)<h(e)=e-1.所以a≥e-1. 所以a的取值范围是[e一1，十∞). 14.解：(1)因为f(x)=-+a2+bx+1,所以(x) 一x2+2ax十b,根据极值，点定义，方程f(x)=0的两个 根即为x1=一1，x2=2. 因为f(x)=-x2+2ax十b,代入x1=-1,x2=2,可 得{-12a十6=0， {-4+4a+b=0, 1 解得二2·经验证符合题意，所以了(x)=-专2十 1b=2. 合2+2x+1. （2)根据题意得g)=-子r3+22+2x+1-m, x∈[-2,4]. 因为g)有三个零点，所以方程m=一子3十弓2+ 2x十1在区间[-2,4幻内有三个实数根，即函数f(x)= 号+72+2z+1的图象与直线y=m在区间[-2， .5 4]内有三个交点」 ∫(x)=一x2十x十2，则令 4 (x)>0,解得-1<x<2;令f (x)<0,解得x>2或x<-1, 2 所以函数f(x)在（一2，一1）， (2,4)上单调递减，在(-1,2) -3-20123456x 上单调递增. 1 又因为f(-1)=-6f(2)= -5 号f-2)=号f0=-号 所以函数f(x)在[-2,4]内的大致图象如图所示. 若使函数f)=-弓x2+22+2x+1的图象与直线 y=m在区间[-2，内有三个交点，则需使-日<m≤ 吾即m(日引 高考冲浪 1.解：(1)a=1,f(x)=ex-x-1,切，点(1，e一2)，f(x)= ex-1,k=f'(1)=e-1 所以要求的切线方程为y-(e一2)=(e一1)(x-1),即y =(e-1)x-1. (2)f(x)=ex-a,当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单 调递增，此时无极值 .a>0,令f(x)=0,x=lna f(x)在(-∞，lna)上单调递减，(lna,十∞)上单调递增， .f(x)极小值=f(lna)=a-alna-a3<0, .1-lna-a2<0 令g(a)=-a2-lna+1,g'(a)=-2a-1<0 a g(a)在(0，十o∞)单调递减，而g(1)=0, .g(a)<0a>1 ∴a的取值范围(1，十∞). 2.解：(1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→f(x)=x2 -x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx-1≥0.设 g(x)=x十lnx-1,x>0,由y=x与y=lnx均为增函 数，故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0台x≥1，故解集为[1，+∞). (2)由题意，f(x)=2x-(m+2)十” x 2x2-(m+2)x十m_（x-1)(2x-m）」 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=z-1D2x-m>≥0>x≥1， 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故f(x) 无极大值不成立； 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时，f(x)=2x二1)2≥0恒成立，fx在(0， 十∞)单调递增，故f(x)无极大值不成立； ②当0<m<2时， f)=z-1)C2x-m≥0>x≥1或0<x≤受， x fx)在(0，受]和[1，+∞)单调递增，在（受，1）单调递 减，故f)在x=受处取得极大值： ③当m>2时，fx)-红=1D(2=m≥0→x≥婴或0 <x1, f)在(0,1]和[受+∞）单调递增，在(，受)单调递 减，故f(x)在x=1处取得极大值； 综上：m∈(0,2)U(2,+∞).受快乐假期 假期作业十三 导数的人 〈《《思维整合室 知识梳理 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实 际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系式y=f(x), (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0: (3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的 函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值： (4)回归实际问题作答. 2.不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为 函数的极值或最值问题 (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参 数分离出来，将参数范围问题转化为研究 新函数的值域问题， 要点记忆 1.实际问题中的最值. (1)注意函数定义域的确定. (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一 个极值点，那么只要根据实际意义判定是 最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值进行比较， 2.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思 想及函数的单调性 《技能提升台 技能提升 1.已知函数f(x)=x3+a.x2+(a+6)x+1有极 大值和极小值，则实数a的取值范围是() A.(-1,2) B.(-∞，-3)U(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞，-1)U(2,+∞) ·3 有志者事竟成。 立用（二） 完成日期： 月 日 2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与 年产量x(单位：万件)的函数关系式为y= -号2+81x一286，则该生产厂家获取的最 大年利润为 () A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元 3.已知函数f(x)=x2+mx+lnx是单调递 增函数，则m的取值范围是 ) A.m>-2√2 B.m≥-2√2 C.m<2√2 D.m≤2√2 4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要 使其体积最大，则其高为 A20 3cm B.100 cm C.20 cm D.cm 5.已知f(x)为R上的奇函数，f(x)为f(x) 的导函数，若f(x)=f(2一x)十4x-一4，则 f(2025)= A.1 B.-2025 C.2 D.2025 6.已知函数f(x)=(x+m)e-n(lnx+x)的 图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=(2e -2)x+1-e,若不等式f(x)≥a恒成立， 则a的最大值为 A.1 B.-1 C.2 D.e 7.(多选)下列命题正确的是 A.函数在某区间上或定义域内的极大值是 唯一的 B.函数的极大值不一定比极小值小 C.对可导函数f(x),f(xo)=0是x。点为 极值点的充要条件 D.函数的最大值不一定是极大值，函数的 最小值也不一定是极小值. 三0022 8.(多选)若函数f(x)=a.x3+bx2十cx十d有 极值，则导函数f(x)的图象可能是() 9.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下 底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积 最大时，梯形的上底长为 10.已知f(x)=x3一ax在[1，+∞)上是增函 数，则a的最大值是 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投 入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利 润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y= 一x2+12x一25，则每辆客车营运 年，可使其营运年平均利润最大，最大利润 为 万元， 12.设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx十1，其中 a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点， 求a的取值范围. ·37 高二救学) 13.已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对 数的底数. (1)过点A(2,f(2)的切线斜率为2，求实 数a的值； (2)当x>0时，求证：f(x)≥a(1-): (3)在区间(1，e)上e-ex<0恒成立，求 实数a的取值范围. 火是快乐限期 00= 4.已知x=一1，x=2是函数f(x)=名中 2.(2025·上海卷，19)已知f(x)=x2-(m十 2)x+mlnx,m∈R. ax2十bx十1的两个极值点. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的 (1)求f(x)的解析式； 解集； (2)记g(x)=f(x)-m,x∈[-2,4]，若函 数g(x)有三个零点，求实数m的取值 范围 高考冲浪 (2)若函数y=f(x)满足在(0，十∞)上存在 1.(2024·新课标Ⅱ卷，16)已知函数f(x)= 极大值，求m的取值范围； e*-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围. ·38·