精品解析：湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期末质量监测高一数学试卷

2026年上学期期末质量监测试卷高一数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试卷共6页．满分150分，时量120分钟． 2．答案一律在答题卡上书写，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 3. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直观图的面积，再根据斜二测画法的性质求解原三角形面积. 【详解】因为轴，所以直观图的面积为, 原图形面积为直观图面积的倍，所以原图面积为. 故选：B. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，又，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误； 对于D：若，，则或， 若，则在平面内存在直线，使得，又，则， 又，所以； 若，又，所以； 综上可得，由，，，可得，故D正确. 故选：D 6. 在正方体中，二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的线面关系找出二面角的平面角计算即可. 【详解】如图，在正方体中，连接交于， 由为正方体，从而，， 又，平面， 平面，因为平面， 从而，从而为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则，，， 从而. 即二面角的正切值为 7. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 8. 某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（ ） A. 在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C. 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D. 在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】在第一轮比赛中，都没有答对的概率为,故A错误； 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为，故B错误； 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为，故C正确； 在两轮比赛中，答对四题的概率为， 所以在两轮比赛中，至多答对三题的概率为，故D错误； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 10. 在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 边上的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 11. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 又因为，故. 13. 已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到， 从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解. 【详解】正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧， 点，，，，都在球的球面上， 为球的直径， 设球的半径为，则， 设为的中心，则平面，平面， 两个三棱锥的体积之比为，， ， 在中，连接并延长交于点，，则， 为的中心，为的重心，， 在中，， ，，， . 故答案为： . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）27.5，37.5; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用众数和百分位数的概念，直接求解即可； （2）利用分层抽样，求出第3，4组中分别抽取的人数，利用古典概型求概率即可. 【小问1详解】 根据题意可估计众数为； 因为前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数为； 【小问2详解】 因为第3组与第4组的频率之比为3∶2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人， 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名市民中选取2名作重点发言的所有情况为： ，，，，，，， ，，，共有10种， 其中第4组的2名市民，至少有一名被选中的情况有： ，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 16. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1） （2）派甲参赛获胜的概率更大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论； （3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则； 【小问2详解】 因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 所以， ， 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 【小问3详解】 设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 于是“两人中至少有一人赢得比赛”， 由（2）知，， 所以， ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． ，，则，， 在中，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 【答案】（1）； （2） ， 得，同理可得， ； 所以， 则，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入变换计算可得； （2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由向量夹角余弦公式即可得出结论； （3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得. 【小问1详解】 根据题意可得，，， 代入变换可得，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即，又，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测试卷高一数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试卷共6页．满分150分，时量120分钟． 2．答案一律在答题卡上书写，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 在正方体中，二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 8. 某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（ ） A. 在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C. 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D. 在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 10. 在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 边上的高为 11. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________. 13. 已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 16. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率； （2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $